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Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes - Contenido educativo
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Ejemplo para transformar un sistema de ecuaciones lineales con denominadores y paréntesis en otro sistema equivalente más sencillo.
En este vídeo estudiaremos qué son los sistemas de ecuaciones equivalentes.
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Son aquellos que tienen la misma solución.
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En muchas ocasiones nos interesa transformar el sistema original en un sistema equivalente
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en el cual las ecuaciones sean más sencillas.
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Para transformar las ecuaciones, tenemos que recordar las reglas de transformación de
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las ecuaciones, que son las siguientes.
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Podemos sumar o restar el mismo número a un polinomio a los dos miembros de la ecuación,
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o bien podemos multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuación por un número distinto
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de cero.
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Es importante fijarse si el sistema de ecuaciones original puede transformarse en un sistema
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equivalente, con ecuaciones más sencillas, de la forma número por x más número por
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y igual a número, antes de aplicar cualquiera de los métodos algebraicos vistos anteriormente.
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Nuestro sistema de ecuaciones original 4x más 4y igual a 8 y 8x menos 8y igual a cero,
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es un sistema equivalente al sistema de ecuaciones x más y igual a 2, x menos y igual a cero,
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pues ambos tienen la solución x igual a 1 y igual a 1.
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Para transformar el sistema nos damos cuenta que podemos dividir toda la primera ecuación
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entre 4.
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Así nos queda 4x entre 4, una x, 4y entre 4, y, y 8 entre 4, 2.
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De la misma forma nos damos cuenta que la segunda ecuación podemos dividirla toda entre
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8, dando como resultado x menos y igual a cero.
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Siempre que nos den un sistema debemos fijarnos que ambas ecuaciones están dispensadas de
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la forma número por x más número por y igual a número, para la primera ecuación, y número
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por x más número por y igual a número para la segunda ecuación.
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a, b, c, a' , b' , c' representan números enteros, lo más pequeños posibles, y no
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fuese así debemos transformar el sistema en otro sistema equivalente, antes de aplicar
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cualquier método algebraico.
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Como ejemplo vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, el objetivo
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es simplificarlo de la forma número por x más número por y igual a número, en ambas
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ecuaciones, siendo los coeficientes números enteros.
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Como podemos observar la primera ecuación es una ecuación que tiene denominadores.
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Para quitar los denominadores calculamos el mínimo como múltiplo de 2 y 4, que nos da
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4, y ponemos denominador 4 en todos los términos de la ecuación.
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Una vez realizado esto vamos a calcular los nuevos numeradores, para ello dividimos 4
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entre el denominador antiguo que era un 2, nos queda como resultado 2.
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Multiplicamos 2 por los términos x más y, fijaros que lo escribimos entre paréntesis.
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A continuación vamos a dividir 4 entre el denominador 4, que nos queda 1, por lo tanto
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el numerador se queda como estaba, x menos y.
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Para el término de la derecha del igual dividimos 4 entre el denominador que tiene el 17, que
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es un 1, porque es un número entero, eso nos queda 4, por lo tanto 4 por 17 da como
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resultado 68.
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La segunda ecuación es una ecuación con paréntesis, comenzamos quitando el paréntesis,
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para ello multiplicamos 2 por x y 2 por 3, es decir, nos queda 2x más 6 igual a 4y.
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Continuamos transformando el sistema en otro equivalente, para ello la primera ecuación
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quitamos los denominadores, multiplicando todos los términos por 4, y nos queda la
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ecuación 2 por x más y más x menos y igual a 68.
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Para la segunda ecuación pasamos el término 4y que está a la derecha del igual a la izquierda,
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entonces pasa restando, así podemos escribir 2x menos 4y, fijaros que el término 6 que
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estaba a la izquierda del igual lo vamos a pasar ahora a la derecha, así nos queda que
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esto es igual a menos 6.
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Continuamos simplificando el sistema, fijaros que la primera ecuación es una ecuación
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con paréntesis, procedemos a quitar el paréntesis de la primera ecuación multiplicando 2 por
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x y 2 por y, así nos queda 2x más 2y, copiamos los demás términos, más x menos y igual
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a 68.
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La segunda ecuación ya está escrita de la forma número por x más número por y igual
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a número, no obstante podemos observar que todos sus términos son divisibles entre 2,
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así que dividimos todos ellos entre 2, y nos queda x menos 2y igual a menos 3.
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De esta manera conseguimos que sus coeficientes sean más pequeños.
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A continuación terminamos de simplificar la primera ecuación del sistema sumando los
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términos semejantes, 2x más 1x nos queda 3x, 2y menos 1y nos queda 1y, esto es igual
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a 68.
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De esta manera hemos conseguido un sistema equivalente al sistema de ecuaciones original
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mucho más sencillo, con las ecuaciones escritas de la forma número por x más número por
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y igual a número, los coeficientes son números enteros lo más pequeños posibles.
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Resolveremos ahora el sistema por el método de sustitución, despejando la incógnita
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x en la segunda ecuación nos queda menos 3 más 2y, escribiremos la primera ecuación
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sustituyendo la x por la expresión menos 3 más 2y, nos queda 3 por menos 3 más 2y,
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fijaros que lo escribimos entre paréntesis porque el 3 multiplica los dos términos,
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más y igual a 68, quitamos el paréntesis multiplicando 3 por menos 3 y 3 por 2y, nos
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queda menos 9 más 6y más 1y que teníamos igual a 68, simplificamos la ecuación sumando
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los términos semejantes 6y e y, así nos queda menos 9 más 7y igual a 68, terminamos
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de resolver la ecuación de primer grado, 7y es 68 más 9, donde el menos 9 ha pasado
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a la derecha sumando, así nos queda 7 igual a 77 y ahora el 7 pasa dividiendo y nos queda
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como resultado 77 entre 7 que da igual a 11. Recordar que resolver el sistema es dar el
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valor de las dos incógnitas, así hallada la y tenemos que hallar la x a través de
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la expresión menos 3 más 2y, por tanto escribimos x igual a menos 3 más 2 por 11
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que es lo que vale la y, realizando los cálculos x es igual a menos 3 más 22, es decir x es
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igual a 19. Halladas las soluciones x igual a 19 igual a 11 vamos a realizar la comprobación
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sustituyendo en las ecuaciones originales del sistema, así en la primera ecuación
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tendremos 19 más 11 entre 2 más 19 menos 11 entre 4, esto nos tiene que dar igual a
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17, 19 más 11 da 30 entre 2 más 8 que es 19 menos 11 entre 4, esto nos tiene que dar
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17. Así tenemos 15 más 2 igual a 17, es una igualdad numérica verdadera. Sustituimos
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las soluciones en la segunda ecuación por lo tanto tenemos ahora 2 por 19 más 3 que
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nos tiene que dar igual a 4 por 11 que es el valor de la y. Realizamos la operación
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del paréntesis, nos queda 2 por 22, esto tiene que ser igual a 4 por 11 que es 44,
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2 por 22 son 44 lo cual nos queda una igualdad numérica verdadera. Hemos comprobado de esta
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manera que la solución x igual a 19 igual a 11 es correcta.
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- Autor/es:
- Miguel Gras Gigosos
- Subido por:
- Miguel G.
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- Fecha:
- 6 de enero de 2024 - 18:32
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
- Duración:
- 09′ 54″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
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