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AL2. 3 Matriz adjunta - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos la matriz
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adjunta. En esta videoclase vamos a estudiar la matriz adjunta de una matriz que no necesariamente
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tiene por qué ser cuadrada. Aquí vemos una matriz n por m, n filas y m columnas. Para el cálculo de
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la matriz adjunta tenemos que, en primer lugar, definir el menor complementario de un elemento
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de esta matriz. Dado un cierto elemento a sub ij en la fila iésima y en la columna jésima, se define
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su menor complementario como la submatriz que resulta de eliminar su fila y su columna, en este
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caso, la fila iésima y la columna jésima. Va a ser una submatriz que va a tener una fila y una columna
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menos que la matriz original, así que si esta matriz hubiera sido 3 por 4, los menores complementarios
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van a ser todos 2 por 3. Si esta matriz fuera cuadrada de orden 4, todos los menores complementarios
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serán cuadrados, también serán submatrices también cuadradas de orden 3, una unidad menos, y estos
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menores complementarios se van a denotar como alfa sub ij. No va a ser una letra del alfabeto
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latino sino que va a ser la letra del alfabeto griego que corresponde a esta letra minúscula
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e ij la misma posición que la del elemento. Si por ejemplo aquí tenemos esta matriz a cuadrada
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casualmente y queremos determinar alfa sub 1 1 el menor complementario del elemento a sub 1 1 es
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la submatriz que resulta de eliminar primera fila y primera columna, 1, 3, 8, 9. Es una
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submatriz cuadrada de orden 2, puesto que A es una submatriz cuadrada de orden 3. Si
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en lugar de alfa, 1, 1, quisiéramos ver cuál es alfa, 2, 1, segunda fila y primera columna
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sería el menor complementario de este elemento que hay aquí, tachamos su fila, tachamos
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su columna y lo que tenemos es una submatriz cuadrada de orden 2, 4, 6, 8, 9. Bastante
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sencillo. A partir de los menores complementarios lo que vamos a definir es lo que se llama el
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adjunto de un cierto elemento. La forma de notación del adjunto de un elemento también es ligeramente
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distinta, ya no es una letra minúscula sino que en este caso sigue siendo una letra latina pero
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en este caso es mayúscula. Cuidado en no confundir a sub ij, a sub 1 1, a sub 1 2 con una matriz.
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A sub 2 por 3, cuidado, siempre con el por explícito me indica una matriz porque es una letra mayúscula
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y lo que tengo en el subíndice son sus dimensiones porque tengo este por explícito 2 por 3
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Si yo leyera A sub 2 3 sin el por, lo que tengo es por definición el elemento adjunto del elemento A sub 2 3
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La anotación es un poco complicada pero la tenemos que aceptar
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Ese adjunto del elemento sub ij, que denotamos a mayúscula sub ij, se calcula como el determinante del menor complementario,
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que hemos visto hace un momento, afectado por un signo, que se calculará como menos 1 elevado a i más j, la suma de fila de columna.
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Supongamos que quiero calcular el adjunto de, en esta matriz A, el elemento a sub 1, 1.
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¿Qué es lo que debo hacer? Bueno, pues en primer lugar voy al elemento 1, 1, tacho su fila y su columna.
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lo que me queda es el menor complementario. Calculo el determinante, en este caso 1 por 9 menos 3 por
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8 y al resultado le tengo que afectar de un signo posiblemente, puesto que tengo que multiplicar por
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menos 1 elevado a suma de fila y columna 1 más 1 que es 2. Menos 1 al cuadrado es más 1, el signo no
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cambia. Si multiplico más 1 por el determinante del menor complementario el signo no va a cambiar.
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¿Cuándo va a cambiar el signo? Pues cuando la suma de fila y columna no sea un número par, sino que sea un número impar
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Sería el caso del adjunto del elemento a sub 2, 1
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¿Cómo lo calcularía? Me voy al elemento 2, 1, que está aquí, tacho su fila, tacho su columna
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Calculo el determinante del menor complementario, 4 por 9 menos 6 por 8
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Y en cuanto al signo, en este caso será menos 1 elevado a 2 más 1, suma de fila y columna
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Menos 1 al cubo, como es impar, es menos 1.
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Y aquí el determinante del menor complementario sí está afectado por un signo, puesto que estoy multiplicando por menos 1.
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En este caso, suma de fila y columna es un número impar, el determinante del menor complementario, cuando vaya a calcular el adjunto, va a cambiar de signo.
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Menos 1 por, y en este caso, 4 por 9 menos 6 por 8.
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Los determinantes de los menores complementarios hay que calcularlos todos.
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Pero para el signo, este signo que puede o no afectar al determinante del menor complementario, hay una regla mnemotécnica bastante sencilla.
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Vamos a comenzar por este primer elemento, la primera fila, primera columna. Primera fila, primera columna, 1 más 1 es igual a 2, menos 1 al cuadrado es igual a más 1.
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Todos los adjuntos de los elementos 1, 1 no van a cambiar de signo con respecto al determinante, puesto que menos 1 elevado a 2 es más 1.
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Es un signo positivo. Si con respecto de cualquier elemento con signo positivo me muevo una unidad hacia la derecha, una fila, perdón, hacia abajo o una columna hacia la derecha, el signo va a cambiar.
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Y en lugar de ser positivo va a ser negativo. ¿Por qué? Porque si me muevo a la derecha estoy en la misma fila, pero la columna es una unidad mayor.
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Al hacer la suma de fila más columna, si antes era par ahora será impar. Mientras que si me muevo hacia abajo, el número de la columna es el mismo, pero el número de la fila ha aumentado una unidad.
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Así que si antes fila más columna era par, ahora fila más columna va a ser impar. Fijaos, el elemento 1, 2, 1 más 2 es 3, impar. Y aquí será el elemento 2, 1. 2 más 1 también es 3, impar.
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Así que si desde este elemento que es par me muevo una posición a la derecha o una posición hacia abajo, voy a alcanzar una posición donde voy a tener un signo negativo.
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Y el determinante del menor complementario lo voy a afectar por un signo menos.
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Si me muevo una posición a la derecha o arriba o abajo o incluso a la izquierda de cualquier elemento con signo negativo, ahora lo que voy a alcanzar es una posición con signo positivo.
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¿Por qué? Pues o bien estoy en la misma fila y tengo una columna con una unidad más o una unidad menos,
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y si antes la suma era impar, ahora la suma de fila más columna va a ser par,
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o bien estoy en la misma columna y lo que alcanzo es una fila, una unidad superior o una unidad inferior,
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y si antes la suma era impar, ahora la suma va a ser par.
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Lo mismo reza en el caso en el que yo esté en una posición con signo positivo, puede ser esta, por ejemplo.
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En ese caso, si me muevo una posición a la derecha, izquierda o arriba o abajo, voy a alcanzar una posición con signo negativo.
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Fijaos, si no cambio la fila y la columna es una unidad superior o inferior, si antes tenía una suma par, ahora tendría una suma en par.
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Lo mismo, si no cambio la fila y alcanzo una columna, una unidad superior o una unidad inferior, si antes tenía una suma par, ahora tendría una suma en par.
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A final de cuentas, ¿qué es lo que quiere esto decir? Pues que teniendo en cuenta que este primer elemento va a tener signo positivo y a partir de aquí, siempre que me mueva una posición a derecha, izquierda, arriba o abajo, va a cambiar el signo, lo único que tengo que hacer es pensar.
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Signo más, me muevo hacia la derecha. Signo menos, signo más. Ahora me muevo hacia abajo. Signo menos, me muevo hacia la izquierda. Signo más, signo menos. Me muevo hacia abajo. Signo más, me muevo hacia la derecha. Signo menos, signo más. Y así sucesivamente.
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Aquí, por ejemplo, más, menos, más, menos, me muevo a la derecha, menos, más, menos, me muevo hacia arriba, más, menos, más, da igual el orden, da igual cómo me mueva.
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Al final, lo que voy a hacer es considerar que todos estos signos van a estar siempre alternos.
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Comenzando, fijaos, siempre con un signo más en esta esquina.
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Bien, hemos definido el menor complementario de un elemento de una matriz, no necesariamente cuadrada.
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Hemos definido el adjunto de un cierto elemento, en este caso,
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sin necesariamente de una matriz cuadrada,
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puesto que vamos a calcular el determinante del menor complementario.
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Y para que el menor complementario tenga determinante,
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tiene que ser cuadrado y necesariamente la matriz originaria debe ser cuadrada.
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Bien, ¿cuál es la matriz adjunta de una matriz cuadrada?
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Bueno, pues es la matriz formada por sus elementos adjuntos.
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Una vez que calculamos todos los elementos adjuntos,
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los colocamos dentro de la posición correspondiente y la matriz que así obtenemos es la matriz adjunta.
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Nosotros vamos a representar la matriz adjunta de esta manera, como a y como superíndice un más,
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ese más va a indicar matriz adjunta. En algunas ocasiones podremos ver adj como tal cual,
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como adj de adjunta y entre paréntesis el nombre de la matriz, pero nosotros por simplicidad
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utilizaremos siempre a super más para indicar la matriz adjunta.
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Con esto que hemos visto ya se podrían calcular las matrices adjuntas de estas dos matrices cuadradas.
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En este primer caso tengo una matriz de orden 3.
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Todos los adjuntos se van a calcular como determinantes de menores complementarios de orden 2, muy sencillo.
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En este caso tengo una matriz cuadrada de orden 4 y lo que vamos a hacer es calcular todos los adjuntos
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como determinantes de menores complementarios de orden 3, factible, aunque con un poco más
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de trabajo. Esto lo veremos en clase y también lo veremos resuelto en alguna videoclase posterior.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis
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en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un
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saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 21
- Fecha:
- 22 de agosto de 2024 - 16:29
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 11′ 11″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 26.36 MBytes
