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EvAU Junio 2022 - Matemáticas II - Ejercicio B2 - Contenido educativo

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Subido el 18 de agosto de 2023 por David M.

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Realizamos el ejercicio B2 de Matemáticas II EvAU junio 2022
Publicado también en, https://www.youtube.com/c/LaWebdelProfedeMates

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bienvenidos a otro nuevo vídeo de la web del profe de mates en esta ocasión vamos a realizar el 00:00:00
ejercicio b2 de la convocatoria ordinaria de la evau madrid 2022 en su convocatoria 00:00:21
ordinaria en junio y dice así sea f de x igual a x partido de x cuadrado más uno todo ello en 00:00:27
el denominador apartado a compruebe si f de x verifica la hipótesis del teorema de bolzano en 00:00:34
el intervalo menos 1 1 cerrado apartado b calcule y clasifique los extremos relativos de f de x en 00:00:40
r o sea que habrá que calcular los máximos y los mínimos si es que los tiene la función y en el 00:00:47
apartado c determine el área comprendida entre la gráfica de la función f de x y el eje o x en el 00:00:53
intervalo menos 1, 1. Apartado A. ¿Qué dice el teorema de Bolzano? Vamos a ello. Dice 00:01:00
que si tenemos una función que va del intervalo AB en principio a todos los reales, de tal 00:01:14
modo, que es continua, ¿en dónde? Pues en el intervalo AB, ¿vale? Y además ocurre que f de A por f de B es menor que 0, 00:01:23
entonces, ¿qué es lo que ocurre? Entonces existe un valor C que pertenece al interior del intervalo AB, 00:01:39
en el que f de c es 0 00:01:49
recordar que es un teorema de existencia 00:01:54
no te dice cómo se calcula este valor c 00:01:57
tampoco te dice que sea único 00:01:59
por lo tanto el teorema de Bolzano no nos otorga la unicidad 00:02:01
de la existencia de este valor 00:02:05
pueden ser varios valores 00:02:07
bueno, pues vamos a ver si cumple las hipótesis del teorema de Bolzano 00:02:09
es decir, la función es continua en el intervalo 00:02:14
menos 1, 1. La función cumple que f de a por f de b es menor que 0. Bueno, pues vamos a verlo. 00:02:17
Primero, f de x es continua en el intervalo menos 1, 1. Pues sí, claramente. F de x, que es x partido 00:02:24
de x cuadrado más 1, es continua al ser cociente, división de funciones continuas. 00:02:35
El numerador es x, que es un polinomio, es una recta. 00:02:54
x cuadrado más 1, que es el denominador, es una función cuadrática, que también es un polinomio, que es continua. 00:02:58
Y además, observar que si hubiera algún tipo de problema, tendría que darse a nivel denominador. 00:03:05
Cuando x cuadrado más 1 fuera 0, ahí es donde se daría el problema. 00:03:10
Pero eso entonces sería equivalente a que x cuadrado sería igual a menos 1. 00:03:17
o sea que x sería más menos la raíz de menos 1 00:03:21
que eso no existe en los reales 00:03:26
así que es continua al ser cociente de funciones continuas 00:03:29
en el que x cuadrado más 1 igual a 0 nos lleva a una solución que no es real 00:03:33
así que podemos asegurar la continuidad de f de x 00:03:38
y ahora calculemos cuánto es f de menos 1 00:03:42
y multipliquemos por f de 1 00:03:46
F de menos 1 es menos 1 partido de menos 1 al cuadrado más 1. 00:03:49
Ahora, multipliquemos por F de 1, que sería 1, 1 al cuadrado más 1. 00:03:56
Uno de ellos da menos 1 medio, ¿verdad? 00:04:03
Porque menos 1 al cuadrado es 1 y 1 más 1 es 2. 00:04:07
Y el otro es 1 partido de 2. 00:04:10
Esto da menos 1 cuarto, que es negativo. 00:04:14
Así que se dan las dos condiciones, las dos hipótesis 00:04:17
Que se tienen que dar las dos condiciones del teorema de Bolzano 00:04:22
No nos dicen nada de cuál es la consecuencia 00:04:25
Pero vamos, que podemos afirmar que existe un valor c que está en el intervalo 00:04:27
Menos 1, 1 abierto, de tal modo que f de c es igual a 0 00:04:33
Es decir, que existe un valor que está entre menos 1 y 1 00:04:39
De tal modo que x partido por 1 más x cuadrado es igual a 0. 00:04:46
¿Quién es ese valor? Eso no lo dice el teorema de Bolzano, pero como esto es una ecuación que nosotros sabemos resolver, 00:04:53
sabemos que si 1 más x cuadrado lo pasamos a multiplicar, queda que x es igual a 0. 00:05:01
O sea que el valor c es el 0. ¿Lo veis? 00:05:05
Bueno, eso no nos lo habían preguntado, pero lo vamos a tener en cuenta para el tercer apartado. 00:05:09
Vamos ahora con el apartado B. Nos pedían los extremos relativos de f de x igual a x partido de x cuadrado más 1. 00:05:14
Todos sabemos que para hacer eso necesitamos la derivada, así que derivemos f, es la derivada de una división, derivada del numerador por el de abajo sin derivar, menos el numerador sin derivar por el denominador derivado que será 2x y abajo ponemos el denominador al cuadrado. 00:05:31
Esto nos lleva a que en el numerador quedará x al cuadrado más 1 menos 2x al cuadrado. 00:05:57
Abajo lo vamos a dejar exactamente igual, esa es la derivada. 00:06:05
Simplificamos al máximo, queda entonces 1 menos x al cuadrado en el numerador, en el denominador x al cuadrado más 1 al cuadrado. 00:06:09
Lo segundo que hacemos es anular la derivada. 00:06:19
¿Para qué? Para buscar los posibles valores de máximo o mínimo, de extremo relativo. 00:06:28
Bueno, pues si f' de x es igual a 0, es lo mismo que si 1 menos x cuadrado partido de x cuadrado más 1 al cuadrado es igual a 0. 00:06:44
eso nos llevará a que 1 menos x cuadrado será igual a 0 00:07:01
y eso a su vez a que 1 es igual a x cuadrado 00:07:06
así que la x va a salir más o menos 1 00:07:09
estudiamos ahora que hay en los valores de acisa 00:07:14
x igual a 1 y x igual a menos 1 00:07:19
para ello vamos a representar la recta real 00:07:21
vamos a marcar esos dos valores 00:07:25
la recta real queda dividida en dos semirrectas y un intervalo 00:07:26
Vemos también que no hay que marcar absolutamente nada más en la recta, ya que la función es continua en todos los reales. 00:07:31
Así que procedemos entonces a estudiar el signo de la primera derivada en cada uno de esos intervalos o semirrectas. 00:07:39
En concreto, en menos infinito menos 1, de menos 1 a 1 y de 1 a más infinito. 00:07:46
La derivada, ya sabemos que es 1 menos x cuadrado 00:07:54
Que se podría factorizar el numerador como 1 menos x por 1 más x 00:07:59
El denominador nos viene bien así 00:08:03
Porque como está al cuadrado, siempre va a ser positivo para todo valor real 00:08:06
Y vamos a ver si eso, la derivada, es positiva o negativa 00:08:10
Si es positiva, la función es creciente 00:08:15
Si es negativa, la función es decreciente 00:08:17
¿Vale? En menos infinito a menos 1 podemos tomar el valor menos 2, menos 3, el que tú quieras. 00:08:20
Lo que va a ocurrir es que la fracción en el numerador 1 menos x va a ser positivo, siempre. 00:08:26
Y 1 más x va a ser negativo. 00:08:33
En el denominador, ya os he dicho, va a ser siempre positivo. 00:08:36
Así que esto va a ser negativo entre positivo, porque el numerador es más por menos que es menos, 00:08:40
y el denominador es positivo, así que esto va a ser negativo. 00:08:46
Así que si la derivada es negativa, la función es decreciente. 00:08:49
Muy bien. 00:08:56
Tomamos ahora un valor entre menos 1 y 1, por ejemplo, 0. 00:08:57
Veamos. 00:09:01
Denominador, siempre positivo. 00:09:02
Numerador, 1 menos 0 sería positivo. 00:09:04
Y 1 más 0 sería positivo. 00:09:08
Positivo entre positivo. 00:09:10
Eso va a dar positivo. 00:09:12
que la derivada es positiva significa que la función es creciente 00:09:14
así que ya vemos que en el menos 1 hay un mínimo relativo 00:09:19
veamos ahora en la semirrecta 1 más infinito 00:09:24
tomamos por ejemplo el 2 00:09:28
1 menos 2, menos 1 00:09:30
2 más 1, 3 positivo 00:09:34
abajo positivo 00:09:37
así que va a ser negativo entre positivo 00:09:39
O sea que esto va a ser negativo. La función presenta derivada negativa en toda esa semirrecta. 00:09:42
Da igual en qué valor tomes la imagen de la derivada. Así que la función es decreciente. 00:09:49
Bueno, pues ya tenemos entonces conclusión. Tenemos conclusión porque nos damos cuenta de que en el menos 1 hay un mínimo. 00:09:57
Mínimo relativo, ¿no? 00:10:03
Y en el 1 hay un máximo. 00:10:06
crece y luego decrece 00:10:10
así que es un máximo relativo 00:10:12
conclusión, solución del apartado 00:10:16
en menos 1, f de menos 1 00:10:20
es decir, en menos 1 00:10:26
y acordaros que f de menos 1 lo habíamos hecho 00:10:28
era menos 1 medio 00:10:30
bueno, pues ahí hay un mínimo relativo 00:10:32
Y en 1, f de 1, 1 y f de 1 nos salió un medio, acordaros, pues hay un máximo relativo. 00:10:41
Perfecto, pues ya está, ya hemos resuelto el apartado b, ya sabemos cuáles son los extremos relativos de la función f de x. 00:11:02
Vamos entonces con el apartado c. 00:11:09
En el apartado C, ¿qué se nos pedía? 00:11:10
Se nos pedía el área que deja la función sobre o por debajo del eje OX en el intervalo menos 1, 1. 00:11:13
Nosotros sabemos que en el 0 corta al eje de las X. 00:11:30
Eso lo sabemos. 00:11:35
Y además que solo es ese valor. 00:11:36
¿Por qué sabemos la existencia de ese único valor? 00:11:37
La existencia la sabemos por el teorema de Bolzano. 00:11:40
Pero sabemos que es único porque hemos resuelto la ecuación y solo salió el cero. 00:11:42
Así que la función en el cero cambia de signo. 00:11:46
¿Qué pasa antes del cero? Pues acordaros de que f de menos uno era negativo, o sea que la función está por debajo del eje de las x. 00:11:50
Sin embargo, f de uno era un medio. La función a partir del cero está por encima del eje de las x, es positiva. 00:11:58
Así que hay que calcularse dos áreas mediante integrales o dos integrales. 00:12:06
Entonces el área, por tanto, pedida será la integral entre menos uno y cero, ¿de quién? De la función techo, que en este caso sería el eje de las x, igual a cero, menos la función f de x, que sería x partido de uno más x cuadrado o x cuadrado más uno, que me da lo mismo, diferencial de x. 00:12:11
Sin embargo, a partir del 0 y entre 0 y 1, habrá que hacer la función techo, que sería la función f de x, x partido de x cuadrado más 1, menos la función suelo, que sería el eje de las x, ¿vale? 00:12:38
Diferencial de x. 00:12:55
bueno pues a calcular estas dos integrales que en el fondo pues no dejan de ser el mismo método 00:12:57
porque ahora veréis que la primera integral a la cual podríamos sacarle el menos directamente fuera 00:13:04
veis 00:13:12
queda prácticamente del mismo modo a la hora de buscar la antiderivada que la segunda 00:13:13
lo único es que luego tenemos que aplicar barro y ahí sí que habrá diferencia 00:13:21
Supongo que a estas alturas estarás pensando ya que se trata del mismo tipo de integral 00:13:26
Una integral de tipo logarítmico 00:13:30
¿Por qué? 00:13:33
Porque la derivada del denominador en ambas integrales es 2x 00:13:34
Si entonces colocamos un 2 en los numeradores 00:13:38
Y aplicamos un medio en ambas 00:13:42
Para que quede compensada la operación 00:13:47
Ya que un medio por 2 sería 1 00:13:50
Es decir, es como si no hubiéramos hecho nada 00:13:51
Pero sí que hemos hecho 00:13:54
hemos hecho porque ya tenemos en el denominador una función cuya derivada está en el numerador 00:13:55
así que vamos a aplicar la integración bajo la antiderivada logaritmo, logaritmo neperiano 00:14:01
así que la primera va a ser menos un medio, ahí lo dejamos 00:14:07
y luego sería logaritmo neperiano de x cuadrado más uno 00:14:10
entre menos uno y cero, que ahora haremos la regla de Barrow 00:14:15
la segunda integral, un medio lo dejamos fuera 00:14:20
e igualmente logaritmo neperiano de x cuadrado más uno, pero esta vez entre cero y uno. 00:14:23
Aplicamos entonces la regla de Barrow, aquí me falta un cero, 00:14:31
y sería menos un medio por logaritmo neperiano sustituido en cero, 00:14:36
que sería cero al cuadrado, que es cero, y más uno, 00:14:41
menos logaritmo neperiano del menos uno, que sería menos uno al cuadrado, que sería uno, y más uno. 00:14:45
Eso para la primera, más 1 medio, igualmente logaritmo neperiano de 1 al cuadrado que es 1 y más 1 es 2 00:14:50
Bueno, ahora lo ponemos, ponemos 1 más 1 y menos logaritmo neperiano sustituido en el 0 00:15:00
Que sería entonces logaritmo de 0 más 1 00:15:06
¿Cuánto termina dando esto? Vamos a ver 00:15:09
Sería menos 1 medio por el logaritmo neperiano de 1 menos el logaritmo neperiano de 2 00:15:13
En la otra, más 1 medio, logaritmo neperiano de 2 menos logaritmo neperiano de 1 00:15:20
El logaritmo neperiano de 1 es 0 00:15:28
Así que queda más 1 medio del logaritmo neperiano de 2 más 1 medio del logaritmo neperiano de 2 00:15:32
esto que va a dar 00:15:42
pues esto va a dar el logaritmo neperiano 00:15:44
de dos unidades cuadradas 00:15:46
ese es el área 00:15:48
que deja la función 00:15:50
sobre y debajo 00:15:52
del eje de las x 00:15:54
en el intervalo menos 1, 1 00:15:55
y con esto hemos acabado 00:15:58
el ejercicio B2 de la convocatoria 00:16:00
ordinaria junio 2022 00:16:02
de la EBAU en Madrid 00:16:04
espero que lo hayáis entendido todo 00:16:06
espero incluso que lo hayáis hecho bien 00:16:08
si habéis hecho el ejercicio antes que yo 00:16:10
y os emplazo a un nuevo vídeo 00:16:12
aquí en la web de Profe de Matés 00:16:14
¡Un saludo! 00:16:16
¡Suscríbete! 00:16:43
Idioma/s:
es
Autor/es:
David (El Profe de Mates)
Subido por:
David M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
18 de agosto de 2023 - 13:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ROSA CHACEL
Duración:
16′ 46″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
620.52 MBytes

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