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AR1. 5.3 Propiedades de los radicales. Operaciones con radicales - Contenido educativo

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Subido el 22 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos las propiedades 00:00:22
de los radicales y las operaciones con ellos. En esta videoclase vamos a estudiar las propiedades 00:00:34
y las operaciones con radicales. Vamos a comenzar con una identidad que se deduce inmediatamente 00:00:49
de la expresión de los radicales como potencia con exponente fraccionario que hemos visto al 00:00:55
final de la videoclase anterior. Algo, por cierto, que vamos a utilizar o que podríamos utilizar 00:01:00
continuamente para justificar cómo se realizan o por qué se realizan, como voy a indicar, las 00:01:07
operaciones con radicales. En el fondo todo sería tan sencillo como transformar los radicales como 00:01:12
potencias, utilizar las propiedades de las potencias que son bien conocidas y luego realizar el cambio 00:01:19
inverso para transformar el resultado de la operación con potencias nuevamente en un nuevo 00:01:24
radical. En este caso, en esta identidad que estoy discutiendo, nos encontramos con la raíz enésima 00:01:29
de esta potencia a elevado a m, donde tenemos la potencia en el radicando, en el interior del 00:01:35
radical. Bueno, pues si transformamos este radical en potencia con exponente fraccionario y operamos 00:01:41
adecuadamente, convirtiendo este exponente m partido por n en 1 partido de n por m, y a partir de ahí aplicamos propiedades de las potencias, etc., 00:01:47
podríamos convertir este radical en esta potencia m-ésima del radical con índice n de a. Fijaos que lo que está ocurriendo, en última instancia, 00:01:57
como regla neumotécnica se podría utilizar, es que este exponente que tengo aquí lo he podido sacar fuera del radical. Aquí tengo el radical de una potencia 00:02:07
y aquí lo que tengo es la potencia de un radical. 00:02:15
Se puede operar en forma inversa y lo que podría pensar es que cuando me encuentro con una potencia de un radical 00:02:19
podré introducir este exponente en el interior del radical y ponerlo en el argumento. 00:02:25
Como corolario, lo que obtengo en el caso de que el índice y el exponente en el radical fueran iguales 00:02:31
es que la raíz enésima de a elevado a n, al igual que la potencia enésima de la raíz enésima de a, 00:02:38
es igual a a. Fijaos que esto se puede interpretar como que la raíz enésima y la potencia enésima 00:02:44
ambas son operaciones inversas. Si yo tengo el número a, lo elevo a n y del resultado extraigo 00:02:52
la raíz enésima, obtengo el número a. Se han cancelado las dos operaciones. Igualmente, si del 00:02:59
número a extraigo la raíz enésima y al resultado lo elevo a n, vuelvo a obtener el número a. Así 00:03:05
pues este colorario de esta identidad lo que me permite es tener en mente la idea de que los 00:03:12
radicales y las potencias con índices y con exponentes adecuados en el fondo se comportan 00:03:17
como operaciones inversas. La siguiente operación que vamos a estudiar es el radical de un radical. 00:03:22
Si tenemos el radical con índice n del radical con índice m de un sector número real podemos 00:03:29
transformar esto en un único radical en el que el índice sea el producto de los índices. Si 00:03:35
tenemos la multiplicación o bien la división, como vemos aquí, de radicales con igual índice, 00:03:41
podemos transformar la operación en un único radical con el índice común, sin más que efectuar 00:03:47
la operación que tuviéramos con los radicandos. Aquí queda el producto, tenemos el producto a por 00:03:52
b y aquí que tenemos el cociente, tenemos el cociente a entre b. Otra operación útil es el 00:03:57
cambio de índice. Supongamos que tenemos esta raíz enésima de a elevado a m. Bien, pues yo puedo 00:04:03
multiplicar tanto el índice n como la potencia m por un mismo número natural y obtener un radical 00:04:09
que va a ser equivalente con índice n por h y con exponente en el radicando m por h. Estas h es 00:04:15
iguales. Estos dos radicales van a ser equivalentes en el sentido en el que sus raíces van a ser 00:04:22
iguales y lo que hemos hecho ha sido cambiar el índice. Por supuesto también hemos cambiado el 00:04:27
exponente pero aquí la idea que tenemos es que estamos cambiando el índice. Si estamos multiplicando 00:04:31
por n, un número natural, lo que tenemos a la derecha va a ser un índice mayor y por 00:04:36
supuesto un exponente mayor que el que teníamos inicialmente. El paso inverso se va a denominar 00:04:42
simplificación. Vamos a obtener, obtendríamos, un radical equivalente, esto es, con las mismas 00:04:46
raíces, pero con un índice más pequeño. Y en este caso lo que estaríamos haciendo 00:04:52
sería dividir entre este h, que tiene que ser un divisor común de este índice y de 00:04:56
este exponente. Haciendo esa división entre un divisor común obtendremos un radical equivalente 00:05:03
simplificado en el sentido en el que el índice es más pequeño y por supuesto el exponente también 00:05:09
lo va a ser. Otra operación en la que vamos a estar interesados es la extracción de factores. 00:05:13
Supongamos que nos encontramos con este radical de índice n de esta potencia a elevado a m donde 00:05:20
m, el exponente, va a ser mayor que el índice del radical. Lo que podemos hacer es escribir la 00:05:26
división de m partido por n, teniendo en cuenta que lo que vamos a hacer es transformar este 00:05:33
radical en la potencia con exponente fraccionario a elevado a m partido por n. El resultado de la 00:05:38
división va a ser un cierto cociente y vamos a tener un cierto resto que puede no ser cero, 00:05:45
puesto que puede que m y n, perdón, quiero decir que n no sea un divisor exacto de m. 00:05:49
En ese caso podemos expresar m partido por n de esta manera. 00:05:57
Si recordáis de alguna de las videoclases anteriores del bloque de aritmética, 00:06:00
esto lo llamamos coloquialmente la prueba de la división. 00:06:04
m partido por n es igual al cociente más el resto partido por n. 00:06:07
Si nosotros transformamos esa potencia que no he llegado a escribir con el exponente fraccionario 00:06:11
a elevado a m partido por n, sustituyendo m partido por n por cociente más el resto 00:06:16
partido por n. Y a partir de ahí hacemos el cambio inverso, quiero decir, transformamos 00:06:22
esto nuevamente en un radical. Al final lo que vamos a obtener después de las simplificaciones 00:06:28
adecuadas, que es así ya escrito aquí, es que, como podéis ver, tenemos la potencia 00:06:33
a elevado a c, el cociente de la división, hemos extraído factores de la potencia de 00:06:38
a fuera del radical por el mismo radical con el mismo índice de a elevado a r, una potencia 00:06:44
distinta y este r va a ser menor que n por definición del resto. Fijaos que el efecto que 00:06:51
yo observo es que tenía m factores de esta potencia a, hemos extraído unos cuantos, tantos como nos 00:06:57
diga el cociente m partido por n, el cociente de esta división, y nos hemos quedado dentro del 00:07:05
radical con una cantidad menor, una cantidad menor de factores igual al resto. En muchas ocasiones no 00:07:10
hace falta hacer esta cadena. Si nosotros tenemos en mente cuál va a ser el resultado, directamente 00:07:18
haremos la división a mano m partido por n, nos quedaremos con el cociente, esa va a ser la potencia 00:07:23
de a en el exterior del radicando y nos quedaremos con el resto, esa va a ser la potencia de a en el 00:07:29
interior del radicando con el mismo índice. El paso inverso se va a denominar introducción de 00:07:34
factores. Nos vamos a encontrar con que fuera del radical tenemos multiplicando una serie de 00:07:40
factores y queremos pasarlos dentro. Si lo que hemos hecho para extraer factores ha sido dividir 00:07:44
entre el índice, lo que vamos a hacer para introducir factores va a ser multiplicar por 00:07:50
el índice y entonces tendríamos c por n dentro del radical a los cuales tendremos que añadir la 00:07:56
potencia r que ya teníamos en el interior. Nos quedaríamos en esta parte de aquí y haremos la 00:08:03
operación para calcular cuánto valdría este valor de m. En cuanto a la suma y resta de radicales, 00:08:08
estos radicales tienen que ser iguales en el sentido en el que no sólo tienen que tener el 00:08:14
mismo índice sino que tienen que tener el mismo radicando. Y aquí tenemos un ejemplo de x por 00:08:20
este radical, raíz enésima de a más o bien menos y por el mismo radical, raíz enésima del mismo 00:08:26
radicando a y aquí lo que tenemos como resultado de la operación suma o resta es el mismo radical 00:08:34
y lo único que tenemos que hacer es operar adecuadamente con estos coeficientes x o y 00:08:39
recordad que coeficiente es un número que multiplica algo en este caso que multiplica 00:08:45
el factorial si es x por el radical más y por el radical el signo de arriba nos quedaremos como 00:08:49
resultado con el signo de arriba x más y por el radical si tuviéramos el signo de abajo nos 00:08:57
quedaremos con el signo de abajo. Vamos a finalizar esta videoclase con las 00:09:01
operaciones de racionalización, en las cuales lo que vamos a hacer es eliminar 00:09:07
radicales que nos encontremos en el denominador de cocientes. 00:09:12
No va a ser siempre nuestro interés eliminar este tipo de radicales, pero 00:09:16
salvo ciertas excepciones que mencionaré cuando lleguemos a ellas, con carácter 00:09:21
general intentaremos siempre eliminar los radicales de los denominadores. A 00:09:26
cambio lo que obtendremos casi siempre va a ser el mismo radical o un radical similar en el numerador 00:09:29
y esto va a ser inevitable. Obtenemos expresiones que no siempre van a ser más sencillas pero el 00:09:34
hecho de que no haya radicales en los denominadores va a hacer que, atendiendo a ciertas consideraciones, 00:09:39
esas expresiones sean más aceptables y por eso nosotros tendremos siempre interés en racionalizar 00:09:44
siempre o casi siempre las expresiones de este estilo. Nos vamos a encontrar con tres posibilidades 00:09:49
fundamentalmente y la primera es esta que tenemos aquí, que es lo que ocurre 00:09:55
cuando tenemos un cociente y en el radical, perdón, en el denominador nos 00:09:58
encontramos con un radical con índice igual a 2, una raíz cuadrada. Aquí, por 00:10:02
ejemplo, estoy hablando de a dividido entre la raíz cuadrada de b. Bien, lo que 00:10:06
vamos a hacer va a ser multiplicar y dividir la expresión que nosotros 00:10:11
tenemos por esta misma raíz cuadrada de b. Al multiplicar y dividir por una 00:10:14
misma cantidad, estamos multiplicando por la unidad, estas dos expresiones van a 00:10:19
ser equivalentes, y la gracia de multiplicar el denominador por la misma raíz es que raíz de b 00:10:23
por raíz de b se convierte en la raíz cuadrada de b al cuadrado, esta potencia y este radical se van 00:10:28
a cancelar, como habíamos indicado al iniciar esta videoclase, y obtenemos b. Fijaos, ha desaparecido 00:10:35
el radical en el denominador. En el numerador a cambio lo que tenemos es a lo que teníamos por 00:10:40
la raíz cuadrada de b. En ciertas ocasiones nos vamos a encontrar con una expresión similar a 00:10:46
esta con un coeficiente delante de la red cuadrada de b. La operación va a ser igual y lo que 00:10:51
obtendremos aquí es este coeficiente multiplicando. En ciertas ocasiones tendremos suerte y a y b no 00:10:57
serán coprimos y podremos simplificar esta expresión. Pero con carácter general nos 00:11:04
encontraremos con una expresión como esta. Fijaos en que podemos argumentar que no es más sencilla 00:11:10
que la anterior, pero el hecho de no tener el radicando en el denominador, como he dicho al 00:11:15
principio, hace que sea más aceptable. ¿Qué es lo que ocurre cuando nos encontramos, segundo caso, 00:11:19
en lugar de una raíz cuadrada, una raíz con un índice distinto? Aquí, por ejemplo, tenemos a 00:11:26
dividido entre la raíz enésima de b elevado a m. Bien, pues lo que vamos a hacer es multiplicar el 00:11:32
numerador y el denominador por un radical con el mismo índice y con un argumento que va a ser una 00:11:39
potencia, también de b, pero nosotros vamos a multiplicar por una potencia que tenga como 00:11:45
índice, perdón, como exponente el complemento al índice. Si aquí, por ejemplo, tuviéramos como 00:11:50
índice 4 y esta potencia fuera 3, pues 4 menos 3, 1, aquí estaremos multiplicando por la raíz 00:11:57
cuarta de b elevado a 1, el complemento del exponente que teníamos inicialmente hasta el 00:12:04
índice. Multiplicamos y dividimos por una misma cantidad para obtener una expresión 00:12:10
que sea equivalente. En el numerador, igual que nos pasaba antes, nos vamos a quedar con 00:12:15
a por este radicando. Lo que va a ocurrir en el denominador es que al operar de esta 00:12:19
manera el radicando va a desaparecer. Fijaos, cuando yo multiplique raíces con el mismo 00:12:25
índice lo que voy a hacer es multiplicar los radicandos b elevado a m por b elevado 00:12:31
a n menos m. Al hacer la operación y sumar los exponentes me va a quedar b elevado a n. La razón 00:12:37
de multiplicar por el complemento es que ahora me queda el radicando con el mismo índice que el 00:12:44
exponente que tengo dentro. Este radicando y esta potencia se van a simplificar, es lo mismo que nos 00:12:49
haya pasado anteriormente, y entonces ahora en el denominador me va a quedar únicamente b. He 00:12:55
obtenido lo que quería. Partía de una expresión con un radicando en el denominador y ahora lo que 00:13:01
tengo es una expresión sin ese radicando. Por último vamos a ver qué es lo que ocurre si lo 00:13:06
que tengo en el denominador es bien una suma bien una resta de raíces cuadradas radicales con índice 00:13:13
igual a 2. Y aquí vamos a operar en paralelo tanto si tuviéramos una suma como si tuviéramos una 00:13:20
resta. Y en todo lo que sigue el signo de arriba se corresponde a qué pasa si tuviéramos una suma, 00:13:25
el símbolo de abajo A, ¿qué pasa si tuviéramos una resta? En este caso lo que vamos a hacer es 00:13:32
multiplicar el numerador y el denominador de esta expresión por lo que se denomina el conjugado de 00:13:38
la expresión que tenemos en el denominador. Y conjugado quiere decir que si tuviéramos una 00:13:44
suma, índice, perdón, signo de arriba, multiplicaríamos por una resta, fijaos que ese es el signo que 00:13:49
tengo arriba, mientras que si tuviéramos una resta, el signo que tenemos abajo, multiplicaríamos por 00:13:54
una suma el signo que tenemos abajo y lo mismo hemos puesto en el numerador. De tal forma que si 00:14:01
aquí tuviéramos una suma multiplicaríamos y dividiríamos por la resta de los mismos radicales, 00:14:06
si tuviéramos una resta multiplicaríamos y dividiríamos por la suma de los dos radicales. 00:14:11
Fijaos que está cambiado el orden de los signos. ¿Por qué hago esta multiplicación por el conjugado? 00:14:17
Pues porque tenemos una identidad notable. Suma por diferencia es diferencia de cuadrados y lo 00:14:24
que tenemos es este radical al cuadrado menos el segundo radical al cuadrado en 00:14:28
el denominador. En el numerador no tenemos más que a por esta suma o bien 00:14:34
esta resta de radicales y eso es lo que vamos a mantener hasta el final. Pero en 00:14:39
el denominador lo que tenemos es el cuadrado de esta red cuadrada menos el 00:14:43
cuadrado de esta otra. Raíces cuadradas y potencias cuadradas se simplifican, se 00:14:48
cancelan y al final lo que vamos a obtener es b menos c. Hemos eliminado el 00:14:53
radicando el denominador, perdón, el radical del denominador, en este caso los 00:14:58
radicales, que era el interés que nosotros teníamos. Con esto que hemos 00:15:02
visto en esta videoclase y por supuesto todo lo que hemos visto en la videoclase 00:15:06
anterior, ya podemos resolver todos estos ejercicios con operaciones, distintas 00:15:09
operaciones con radicales, que resolveremos en clase, que probablemente 00:15:14
resolveremos en alguna videoclase posterior. En el aula virtual de la 00:15:17
asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis 00:15:23
más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas 00:15:29
e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:15:35
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
31
Fecha:
22 de agosto de 2025 - 16:45
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
16′ 07″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
40.19 MBytes

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