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2020_2021_MatemáticasII_3Extraordinaria_A2 - Contenido educativo

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Subido el 24 de agosto de 2021 por Pablo Jesus T.

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Bueno, pues esto es un ejercicio que hacía muchísimos años que no caía en Madrid, es de la convocatoria extraordinaria de julio de 2021, la opción A del ejercicio 2, que es ejercicios directos de límites o de integrales. 00:00:14
Yo hacía muchos años, es cierto que sí que lo recuerdo haber caído porque ya llevamos 33 años, pero hacía muchos años que no caía. 00:00:31
Entonces, bueno, pues vamos a empezar sin más opción. 00:00:44
Vamos a empezar con el a1, es un límite cuando x tiende a 0 de x cuadrado por 1 menos 2x partido por x menos 2x cuadrado menos seno de x. 00:00:49
Bueno, al hacer este límite, pues 0 partido por 0, abajo es todo 0, arriba hay una multiplicación, da 0 partido por 0 indeterminación, así que no lo podemos hacer así. 00:01:06
Os recuerdo que otra manera de hacerlo sería en una función como esta y poniendo la calculadora en radianes, pues por ejemplo, sustituir por un valor cercano a cero. Esto no valdría en el examen de la EBAU, pero os valdría a vosotros para luego comprobar cuánto da. 00:01:22
Es decir, si nosotros lo hacemos, teníamos x cuadrado, pues vamos a poner, por ejemplo, 0.01, escribir una bella fracción, 0.01 al cuadrado por paréntesis 1 menos 2 por 0.01. 00:01:40
y en el denominador teníamos 0.01, perdón, que eso estaba en cero, 00:02:02
hemos puesto en una arriba solo un cero, estamos poniéndolo diferente en cada uno, 00:02:18
ahí vamos a poner 00:02:29
0,1 en todos 00:02:31
entonces aquí abajo 00:02:32
pues vamos a quitar un 0 00:02:34
0.01 00:02:37
menos 00:02:39
fecha 00:02:40
menos 0.01 00:02:44
al cuadrado 00:02:49
falta un 2 por 00:02:49
ahora 00:02:53
1, 2, 3, 4 00:03:04
y 5 00:03:06
vale 00:03:07
y finalmente menos seno 00:03:09
recordad que tiene que estar 00:03:12
en radianes, si no 00:03:15
no valdría 00:03:16
0.01 00:03:17
y ahora sí 00:03:20
cuando le damos igual 00:03:22
o sea, lo hemos escrito mal 00:03:23
a ver si lo localizo 00:03:26
rápido 00:03:28
y si no 00:03:29
pues lo dejamos 00:03:31
y aquí hay un 00:03:34
un punto que no tenía que estar 00:03:35
y un cero que tampoco tenía que estar 00:03:39
0.01, ahora sí 00:03:45
bueno, pues ya está 00:03:47
como veis da menos 0.49 00:03:49
lo que quiere decir es que se acerca 00:03:54
como se acercara a un valor reconocible 00:03:57
pues sería menos un medio 00:03:59
así que fijaros con la calculadora 00:04:01
ya sabemos que hagamos lo que hagamos 00:04:03
podría dar menos un medio 00:04:06
así que vamos a ver cómo se haría 00:04:10
la única manera que tenemos dado que hay un seno 00:04:14
es utilizar el teorema del hospital 00:04:17
entonces para eso tenemos que ver 00:04:21
deberíamos escribirlo 00:04:26
que tanto el numerador como el denominador 00:04:28
son funciones continuas y derivables 00:04:30
en un entorno de cero 00:04:32
y por tanto el límite que nos piden es igual que el límite cuando x tiende a 0 de la derivada de arriba, 00:04:34
derivo la derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero por la derivada del segundo 00:04:43
y en el denominador tendríamos la derivada de x, la derivada de menos 2x cuadrado y la derivada del seno. 00:04:51
Bien, aquí vemos que arriba da 0 otra vez y abajo da 1, menos 0, menos 1, 1, menos 1, 0. Así que vuelve a dar otra indeterminación. 00:05:04
¿Vale? Alguno a lo mejor piensa que renta operar el numerador, pero se aseguró que no. 00:05:19
Volvemos a hacer el límite de la derivada de arriba partido por la derivada de abajo. 00:05:29
Un producto, la derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero por la derivada del segundo, 00:05:35
y ahora tenemos más o menos 2x cuadrado 00:05:43
que la derivada del menos 4x, ¿vale? 00:05:49
Y en el denominador tenemos 0, menos 4 00:05:56
y la derivada del coseno del menos seno 00:06:00
sí que quedaría esto. 00:06:02
Y aquí al hacer el seno, el ax0, 00:06:05
pues abajo ya vemos que da menos 4, 00:06:08
o sea que ya no vuelve a dar 0 partido por 0. 00:06:10
Y arriba, pues si sustituimos por 0, este paréntesis da 1, por 2, 2, y los demás tienen x, así que dan 0. 00:06:13
De hecho, es menos 4x menos 4x menos 8x, pero al hacer el límite, 0. 00:06:23
Así que el resultado final es menos un medio, después de hacer dos veces el hospital, y que cuadra con nuestro resultado con la calculadora. 00:06:28
¿Vale? El segundo ejercicio, a2 es el límite cuando x tiende a menos infinito, perdón, que creo que sea más infinito, de 1 partido por x, 00:06:37
Tener cuidado porque si lo copiamos mal 00:06:56
3 partido por x 00:07:01
Esto también nos puede pasar en el examen 00:07:03
Y menos 2 partido seno de 1 partido por x 00:07:05
Y vemos que nos quedaría 0 por 3 partido por infinito es 0 00:07:12
Pero 1 partido por infinito es 0 00:07:24
El seno de 0 es 0 00:07:27
Menos 2 partido por 0 menos infinito 00:07:28
Entonces nos queda una indeterminación del tipo cero por infinito, nos queda una indeterminación del tipo cero por infinito, no lo podemos hacer así, podríamos hacerlo con la calculadora, 00:07:31
Con la calculadora haríamos 1 partido por 1 millón, derecha, paréntesis por paréntesis, tenemos ahora 3 partido por 1 millón, 3 partido por 1 millón, 00:07:48
otra vez a la derecha 00:08:12
menos 00:08:15
2 partido 00:08:17
por el seno 00:08:20
de, recordad que tiene que estar en 00:08:26
radianes, si no, no funciona 00:08:28
1 partido por 00:08:30
otro millón 00:08:32
cerramos el paréntesis 00:08:35
del seno 00:08:38
y cerramos el paréntesis 00:08:39
del otro 00:08:42
y le damos al igual 00:08:43
pues veis que da menos 2 00:08:45
con un millón da menos 2 00:08:49
ya exacto, o sea que 00:08:51
podríamos haber probado en vez de con un millón 00:08:53
con mil, seguramente hubiera dado 00:08:54
la próxima, o sea eso quiere decir que 00:08:57
ya sabemos que va a dar menos 00:08:59
2, eso nos ayuda siempre, ¿verdad? 00:09:01
saber el resultado que 00:09:03
va a dar menos 2 00:09:05
en realidad lo que nosotros vamos 00:09:06
a hacer es hacer un cambio de variable 00:09:09
y llamar t a 1 partido 00:09:11
por x y por tanto el 00:09:13
límite cuando x tiende a infinito, pues la t va a tender a cero. Entonces vamos a hacer 00:09:15
límite cuando t tiende a cero de t, 3t menos 2 partido seno de t. Bueno, esto no ha resuelto 00:09:24
la indeterminación, pero si nosotros operamos todo esto, tenemos límite cuando t tiende 00:09:38
a 0, t, 3t cuadrado menos 2t partido seno de t. Aquí ya podríamos ver que el límite 00:09:44
de una diferencia es la diferencia de los límites, así que esto se podría poner como 00:09:59
El límite cuando t tiende a cero, t3t cuadrado menos el límite cuando t tiende a cero, dado que tiene el límite cada una de las dos cosas, t2t partido por el seno de t. 00:10:05
El primero es 0 y el segundo, como todos sabéis, es 2, ya que el límite cuando t tiende a 0 de seno de t partido por t o de t partido por seno de t es 1 porque son infinitésimos. 00:10:19
Así que me quedaría menos 2 igual a menos 2. 00:10:37
También podríamos hacer con este el hospital. 00:10:41
entonces el límite cuando t tiende a 0 sería de 2 partido por el coseno de t y da 2 00:10:44
o sea que si lo hacemos por el hospital pero no sería ni siquiera necesario 00:10:51
podríamos justificarlo y desde luego lo que no sería necesario como ponen en la solución 00:10:56
de la universidad es convertir esto en una sola fracción 00:11:01
y entonces hacer una derivada bastante más complicada 00:11:06
vale, o sea que el resultado es menos 2 00:11:11
vamos ya con el b1 00:11:16
que es 00:11:18
pues la 00:11:20
una integral indefinida 00:11:23
aquí lo tenemos 00:11:26
la integral de x partido de x cuadrado menos 1 00:11:29
diferencial de x 00:11:32
la integral de x partido por x cuadrado menos 1 diferencial de x 00:11:33
estas son las integrales que ya sabéis que yo llamo 00:11:38
o así inmediata españa se nos ha ido en la pizarra hace lo que quiere o mi tableta hace lo que quiere 00:11:40
perdonar si podemos poco profesional bueno lo que voy a hacer es que como la derivada de lo de abajo 00:11:52
está arriba, que yo puedo poner 00:12:05
un 2 aquí 00:12:07
y un medio delante 00:12:09
medio por 2 es 1 00:12:11
y ahora ya sí que la derivada de lo que está abajo está arriba 00:12:12
así que es 00:12:15
una integral inmediata 00:12:16
el logaritmo neperiano del denominador 00:12:21
así que 00:12:23
muy muy sencillita 00:12:25
se os olvide poner los valores absolutos 00:12:26
y vamos ya 00:12:30
con el b2 00:12:31
que era la integral entre 0 y 1, esta es definida, de x al cuadrado por e a la menos x. 00:12:32
La integral, pero de 1, de x al cuadrado por e elevado a menos x, diferencial de x. 00:12:42
¿Vale? Pues simplemente lo que nosotros vamos a hacer es la regla de Barrow, básicamente, ¿verdad? 00:12:54
Entonces, para hacer primero la integral indefinida, pues tenemos que hacer una integral por partes, 00:13:09
recordar, siempre llamamos u al polinomio 00:13:16
siempre que se ve 00:13:20
sea lo más fácil, claro, si es un logaritmo tal, ¿no? 00:13:24
y diferencial de v, pues será e a la menos x 00:13:28
diferencial de x, diferencial de u será la derivada 00:13:32
2x y v será la integral menos e elevado a menos x 00:13:35
hacemos u por v 00:13:39
menos x cuadrado por elevado a menos x menos la integral de v por diferencial de u 00:13:41
que sería menos 2x por elevado a menos x diferencial de x. 00:13:51
Este 2 se puede sacar y si lo hacemos tendríamos 00:14:01
menos x cuadrado por elevado a menos x 00:14:07
más 2 por la integral de x por elevado a menos x 00:14:12
todo siempre entre 0 y 1, claro 00:14:17
estamos haciendo la indefinida 00:14:20
esto volvemos a poder hacer una integración por partes 00:14:24
ux diferencial de v e a la menos x diferencial de x 00:14:30
diferencial de u sería diferencial de x 00:14:37
y v sería otra vez menos e a la menos x 00:14:43
haciendo ese cambio de variable 00:14:46
pues tendríamos el menos x cuadrado 00:14:50
de a la menos x de antes 00:14:53
más 2 por corchete 00:14:54
u por v menos x por e a la menos x 00:14:58
menos la integral 00:15:03
de 0 a 1 00:15:07
de v por diferencial de u 00:15:09
que vuelve a ser menos 00:15:12
así que ponemos ya el más ahí directamente 00:15:13
pues si operamos 00:15:17
tenemos menos x cuadrado 00:15:23
por e elevado a menos x 00:15:25
menos 2x por e elevado a menos x 00:15:27
más dos veces la integral 00:15:30
de 0 a 1 00:15:32
de e a la menos x 00:15:33
diferencial de x 00:15:36
Esto volvería a ser la integral esa ya es inmediata 00:15:37
Menos 2x por e a la menos x 00:15:42
Menos 2 por e a la menos x 00:15:46
Entre 0 y 1 00:15:50
Y sacando factor común 00:15:52
A menos e a la menos x 00:15:53
Pues me queda x cuadrado 00:15:56
Más 2x más 2 00:15:58
Entre 0 y 1 00:16:00
Y si hacemos ahora, primero evaluamos para 1, queda menos e elevado a menos 1 por 1 más 2, 3 más 2, 5 menos, y ahora evaluamos para 0, sería menos 1 por 2. 00:16:04
así que esto es 00:16:31
menos 5 partido por e 00:16:34
más 2 00:16:37
y ya tendríamos nuestra integral 00:16:39
definida hecha 00:16:47
¿de acuerdo? 00:16:49
pues hemos terminado el ejercicio 00:16:52
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
88
Fecha:
24 de agosto de 2021 - 20:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
16′ 56″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
115.14 MBytes

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