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AR1. 4 Aproximaciones y errores - Contenido educativo

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Subido el 21 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos las aproximaciones 00:00:22
de números y sus errores. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio de las aproximaciones 00:00:34
y sus errores, hablando de las aproximaciones. Vamos a considerar que tenemos un cierto número 00:00:50
real al que vamos a llamar el número exacto y lo que queremos es no utilizar 00:00:56
ese número exacto sin utilizar lo que sea una aproximación suya un número que 00:01:04
no sea él pero que sea suficientemente próximo a él aquí vemos difiere poco con 00:01:09
comillas y esas comillas indican que eso del difiere poco es una forma de hablar 00:01:14
no es un término matemático riguroso que difiera poco quiere decir que sea 00:01:19
suficientemente próximo, suficientemente, dependiendo de cuál sea 00:01:24
el contexto en el que nos encontremos. Y hablaré de esto, del difere poco y del 00:01:28
contexto, cuando en la siguiente videoclase hable de los errores. 00:01:32
En el caso en el que el número aproximado, insisto, un número 00:01:36
suficientemente próximo a este valor exacto 00:01:40
pero que no sea él. Siempre que la aproximación sea mayor que el valor exacto 00:01:44
diremos que tenemos una aproximación por exceso. Tenemos un valor mayor, 00:01:48
nos hemos excedido del valor que teníamos, mientras que si es menor diremos que tenemos 00:01:52
una aproximación por defecto, no hemos llegado, nos hemos quedado cortos, no hemos llegado al 00:01:58
valor exacto, por así decirlo. Dentro de las aproximaciones hay dos que son ampliamente 00:02:04
utilizadas, la aproximación por truncamiento y la aproximación por redondeo. Siempre que tengamos 00:02:10
un número real con una expresión decimal y queramos aproximar a un número entero. Se llama 00:02:15
aproximación por truncamiento aquella que se obtiene cuando directamente cortamos la parte 00:02:22
decimal y nos estaremos quedando entonces con el número entero más próximo a él y que sea menor 00:02:27
que él. Aquí x va a ser un número real que no va a ser un número entero, puesto que si lo fuera no 00:02:32
hablaríamos de aproximación. La forma de representar la aproximación por truncamiento es de esta manera. 00:02:38
Esto no es un corchete. La parte de arriba que cerraría el corchete falta. 00:02:45
Y esto es una línea vertical y una cortita línea horizontal por la izquierda y aquí por la derecha. 00:02:50
A esto se le llama también suelo, aproximación suelo. 00:02:56
La aproximación por redondeo es parecida a la aproximación por truncamiento. 00:03:00
Aquí lo que hacemos no es directamente cortar la parte decimal quedándonos con el entero más próximo por debajo, 00:03:04
sino que buscamos cuál es el entero más próximo ya sea por arriba o por abajo. 00:03:10
Así que aproximación por redondeo es el número más próximo a él. 00:03:15
Y una forma de representarlo es de esta manera, y esta vez sí, con corchetes. 00:03:19
Hay aquí una llamada porque en el caso en el que estemos buscando la aproximación por redondeo 00:03:23
de un número que esté justo entre dos números enteros, por ejemplo, 0,5, 00:03:29
está exactamente a la misma distancia del 0 por debajo o el 1 por arriba. 00:03:37
Por truncamiento, no hay más problema, 0. 00:03:42
Pero cuando estamos aproximando por redondeo, ¿qué tomamos? 00:03:44
¿El número 0 o el número 1? 00:03:48
Existen distintos criterios. 00:03:50
Por ejemplo, el número par más próximo. 00:03:52
O en el caso de las matemáticas, habitualmente, cuando se enseña este concepto en primaria, 00:03:55
lo que hacemos es pensar en qué es lo que pasa con ese decimal. 00:04:04
Si ese decimal es 0, 1, 2, 3, 4, aproximaremos hacia abajo. 00:04:08
Si es 5, 6, 7, 8, 9, redondearemos hacia arriba. 00:04:13
Así que en ese caso, en ese contexto, esos valores que están justo en el centro se van a redondear hacia abajo. 00:04:17
Teniendo en cuenta esto que acabo de mencionar, ya podríamos, utilizando la calculadora, buscar aproximaciones de estos números. 00:04:25
Y en este caso se nos pide redondeando a la centésima. 00:04:33
Esto quiere decir que lo que tenemos que hacer no es una aproximación por truncamiento ni por redondeo a un número entero, 00:04:36
sino que tenemos que hacer una aproximación, vamos a hacerla por redondeo, a la centésima. 00:04:43
Nosotros queremos quedarnos con las cifras en la parte entera, la cifra de las centésimas, 00:04:49
y a partir de ahí queremos eliminar el resto de cifras decimales. 00:04:55
Vamos a definir los errores absoluto y relativo. 00:04:59
Dados un número, vamos a llamarlo exacto x, y una aproximación suya, 00:05:03
se define el error absoluto como la distancia que separa el valor real y el valor aproximado, 00:05:10
el valor absoluto, de la diferencia entre ambos. 00:05:16
Algo que tenemos que tener en cuenta es que habitualmente, 00:05:20
cuando estamos hablando de errores absoluto y relativo, estamos hablando de magnitudes, 00:05:25
valores numéricos con unidades estamos hablando por ejemplo de una distancia en metros de un 00:05:29
tiempo en segundos de un cierto ingreso en euros y en ese caso es importante tener en mente que el 00:05:34
error absoluto va a tener las mismas unidades que la magnitud con la que estamos trabajando y que 00:05:42
por supuesto para poder hacer esta diferencia tenemos que tener las magnitudes que expresan 00:05:47
el valor real y el valor aproximado en las mismas unidades. No podemos hacer la resta de 3 megaeuros, 00:05:52
pensando en millones de euros, y 2 kiloeuros, pensando en 2.000 euros. O bien todo en euros, 00:06:00
todo en millones de euros, todo en miles de euros, como corresponda. Y el error absoluto, por supuesto, 00:06:05
expresado en esas mismas unidades. En cuanto al error relativo, es el cociente entre el error 00:06:09
absoluto y el valor absoluto del valor real, puesto que necesitamos que el error absoluto y el error 00:06:18
relativo, ambos, sean magnitudes definidas no negativas. En el caso en el que la aproximación 00:06:23
y el valor real fueran idénticos, tendríamos errores nulos. Esto, en el contexto de las 00:06:28
matemáticas, no tiene demasiado sentido. Si esto estuviera en el contexto de las ciencias en general, 00:06:34
físicas, químicas, económicas, etcétera, sería distinto. Pero en el contexto de las matemáticas 00:06:41
no va a ser habitual que tengamos esto. 00:06:46
Como decía, el error absoluto y el error relativo tienen que ser magnitudes no negativas 00:06:49
y entonces se definen con estas barras de valor absoluto. 00:06:53
Aquí vamos a tener una aplicación del valor absoluto. 00:06:57
En el caso del error relativo, el hecho de dividir entre el valor de la misma magnitud 00:07:01
hace que el error relativo, con independencia de que sea una u otra magnitud, 00:07:07
no tiene unidades, es adimensional, 00:07:10
Lo cual hace que se utilice más que el error absoluto. Y sobre todo el error relativo, o bien más que el error relativo en sí, la magnitud del error relativo nos va a permitir decidir si la aproximación es suficientemente buena. 00:07:12
Vuelvo atrás. Cuando hablé de una aproximación suya, dije que la aproximación debe diferir poco de x. ¿Qué quiere decir que la diferencia sea pequeña? Vuelvo adelante. 00:07:29
Quiere decir que este error relativo sea suficientemente pequeño. Cuando hablamos de esto, habitualmente utilizamos un error relativo. Quiero una aproximación de este valor real con un error relativo menor de 10 a la menos 6, 10 a la menos 5, lo que quiera que sea. 00:07:42
Fijaos que el error absoluto no siempre indica lo mismo y me explico. 00:08:02
Si yo quiero medir la longitud de mi escritorio o bien de la mesa que tenemos en el instituto, 00:08:09
da igual que sea la del profesor o que sea la vuestra, la de los estudiantes, 00:08:18
podemos utilizar una regla que esté expresando las distancias en centímetros 00:08:22
y una distancia de 60 centímetros con un error absoluto de un centímetro, 00:08:28
porque me haya ido a la hora de medir una unidad por arriba o por abajo, 00:08:37
quiere decir que tengo un error relativo si divido 1 entre 60 menor que 10 elevado a la menos 2, 00:08:42
lo cual en un momento dado puede ser suficientemente bueno. 00:08:49
Mientras que si mi regla estuviera expresada en decímetros en lugar de en centímetros, 00:08:52
En ese caso, el error absoluto de un decímetro en una distancia de, pongamos, 6 decímetros, me daría un error relativo del orden de 10 a la menos 1. 00:08:58
Igual eso ya no me viene tan bien como el 10 a la menos 2 cuando estaba midiendo centímetros. 00:09:11
Un error de un centímetro en 60 es menos importante que un error de un decímetro en 6. 00:09:15
A eso me refiero con, vuelvo atrás una vez más, difiere poco. 00:09:23
dependiendo del orden magnitud del error relativo que esté o que pueda estar cometiendo, 00:09:28
puedo considerar que estoy tranquilo porque las diferencias van a ser suficientemente pequeñas o no. 00:09:33
Cuando he hablado del error relativo, con esta definición, 00:09:40
lo que estamos haciendo es expresarlo en tanto por uno. 00:09:45
Desde el punto de vista coloquial, los errores relativos se suelen expresar en porcentaje. 00:09:48
A la población común, hablar de un porcentaje le es algo familiar, 00:09:54
mientras que los errores en tanto por uno no lo son tanto. 00:09:58
Cuando he dicho un error del orden de 10 a la menos 1 o un error del orden de 10 a la menos 2, 00:10:01
a lo mejor os habéis quedado fríos, porque ese 10 a la menos 1 o 10 a la menos 2, 00:10:08
así sobre todo expresado en esa forma de magnitud, no os es familiar. 00:10:14
Si en lugar de 10 a la menos 1 digo 0,1 y en lugar de 10 a la menos 2 digo 0,01, 00:10:19
Bueno, es más fácil ver que 0,01 es más pequeño que 0,1, luego la aproximación es mejor. 00:10:24
Pero si lo expreso como un porcentaje, y digo un 10% y digo un 1%, me golpe las cosas son distintas. 00:10:31
Es muy probable que ahora mismo, tal y como lo he dicho, 1% no os parezca demasiado, os parezca adecuado un error del 1%, 00:10:39
pero un error del 10% os parezca mucho, porque 10% suena como muy grande, 00:10:46
Y 1%, bueno, suena como una cantidad más o menos adecuada. 00:10:51
Por eso, habitualmente, cuando se nos habla de aplicaciones, se suelen utilizar porcentajes. 00:10:57
Aunque, insisto, en la definición de error relativo, habitualmente nosotros trabajaremos con tanto por uno. 00:11:04
Y únicamente a la hora de visualizar mejor, expresaremos como porcentaje, ya sabéis, multiplicando por 100. 00:11:09
Con esto que he mencionado, ya podemos resolver estos ejercicios que resolveremos en clase, 00:11:16
probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior. 00:11:23
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:11:28
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:11:34
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:11:39
Un saludo y hasta pronto. 00:11:44
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
14
Fecha:
21 de agosto de 2025 - 19:05
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
12′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
30.41 MBytes

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