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Problemas EvAU Física - 3ª ley de Kepler - Resolución - Contenido educativo

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Subido el 8 de octubre de 2020 por Jorge G.

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Dos problemas de Gravitación de EvAU de Madrid resueltos para mis alumnos de Física. 3ª ley de Kepler y ley de la Gravitación Universal.

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Buenas tardes a todos. 00:00:00
Vamos a intentar corregir los ejercicios que os propuse el viernes pasado, 00:00:02
en concreto dos de selectividad, 00:00:07
que van sobre la tercera ley de Kepler y la ley de Newton de la radiotección universal. 00:00:09
Para ello he preparado esta presentación que, bueno, pues espero que os quede lo bastante clara. 00:00:14
El primer problema que os propuse es de selectividad de Madrid, de junio de 2019. 00:00:23
En concreto, el Amazonas V es un satélite geoestacionario de comunicaciones de 5.900 kilogramos puesto en órbita en septiembre de 2017. Esto es real. 00:00:26
Quería comentaros, muy importante que sepáis que una órbita geoestacionaria, lo hablamos en clase, es aquella en la que el periodo orbital coincide exactamente con el de la Tierra. 00:00:37
Es decir, tiene un periodo de rotación alrededor de la Tierra de 24 horas. 00:00:46
Eso significa que siempre parece que se encuentra sobre el mismo punto sobre la superficie de la Tierra. 00:00:49
Esta órbita solo se puede conseguir sobre el ecuador, claro. 00:00:53
Nos piden también calcular la altura sobre el ecuador terrestre y la velocidad orbital. 00:00:59
Y luego la fuerza centrípeta necesaria para que describa la órbita. 00:01:04
La energía total aún no podemos calcularla, que aún no la hemos visto. 00:01:07
Como datos, la constante de la gravitación universal, la masa de la Tierra y el radio de la Tierra. 00:01:10
Primero, el apartado A. 00:01:16
Vamos a utilizar la tercera área de Kepler. 00:01:20
Aplicado al problema de la órbita geoestacionaria. 00:01:23
Para calcular, sabiendo el periodo, que son 24 horas, calcular el radio de giro y de ahí la altura geoestacionaria. 00:01:25
Entonces, esta es la tercera ley de Kepler para cualquier cuerpo en órbita, en este caso, en órbita alrededor de la Tierra. 00:01:32
El radio de giro al cubo partido por el periodo al cuadrado de rotación, pues es la constante de la rotación universal por la masa alrededor de la cual gira, en este caso la Tierra, partido por 4 pi cuadrado. 00:01:40
De aquí despejamos el radio de giro del satélite, paso el periodo al otro lado al cuadrado, al otro lado multiplicando y hago la raíz cúbica. 00:01:50
Si metemos los datos, nos queda la constante de gravitación universal, la masa de la Tierra, el periodo en segundos, ¿verdad? Esa 24 horas pasadas a segundos al cuadrado y partido por 4 pi cuadrado. 00:02:01
Nos queda un radio de eje estacionaria de 4,22 por 10 elevado a 7 metros. 00:02:14
Esto no es lo que nos piden. 00:02:20
Lo que nos piden es la altura sobre la superficie de la Tierra. 00:02:22
Lo que nos piden, en concreto, es esto, ¿verdad? 00:02:26
Esta distancia. 00:02:31
El radio de giro sería todo esto. 00:02:32
Si aquí está el satélite dando vueltas al radio de la Tierra, 00:02:34
todo esto es el radio de giro, ¿verdad? 00:02:37
Este sería el radio de la Tierra. 00:02:39
Si restamos al radio de giro, le restamos el radio de la Tierra, 00:02:41
lo que nos queda es la altura sobre la geoestacionaria. 00:02:43
Esta h es la que queremos. 00:02:46
Si al radio de giro que acabamos de calcular le prestamos el radio de la Tierra, 00:02:49
nos queda 3,58 por el cielo a 7 metros, 00:02:53
que son unos 35.800 kilómetros, 00:02:57
que es el resultado correcto. 00:03:00
De hecho, si lo buscamos en Internet, en Google, 00:03:02
podemos encontrar que la altura de una geoestacionaria normal 00:03:04
son exactamente 35.786 kilómetros. 00:03:06
O sea, el resultado es bastante bueno. 00:03:10
Y bastante realista, por cierto. 00:03:12
En el apartado A también nos piden la velocidad en esta órbita geoestacionaria. 00:03:15
La velocidad del satélite Amazonas en esta órbita, si suponemos que la órbita es circular, podemos emplear la definición de velocidad, es decir, 00:03:22
espacio partido por tiempo, 2πr, la longitud de la circunferencia, la longitud de la órbita completa, partido por el periodo de la geoestacionaria, las 24 horas en segundos, ¿verdad? 00:03:29
nos queda en metros partido por segundo 3,07 por 10 a la 3 metros por segundo, es decir, unos 3.000 metros por segundo 00:03:39
que lleva el satélite para no caerse, claro, mientras mantenga esta velocidad tangente a esa trayectoria circular 00:03:48
el satélite no se puede caer. Lo que sí necesita es girar. Necesita una fuerza centrípeta que le haga girar. 00:03:55
Esa fuerza centrípeta es la que nos piden calcular ahora. Para terminar nos piden calcular la fuerza centrípeta 00:04:03
que hace girar el satélite? Bueno, pues la fuerza centrípeta, la que tira 00:04:07
del satélite, es la de la gravedad. La fuerza que hace girar el satélite es la de la gravedad 00:04:11
luego empleada por la ley de la gravitación universal. La fuerza centrípeta es la fuerza 00:04:15
de la gravedad, que es la ley de la gravitación universal de Newton 00:04:19
directamente proporcional al producto de las masas 00:04:23
masa de la Tierra por la masa del satélite, inversamente proporcional al radio de giro 00:04:27
¿vale? De centro a centro. Es el primero que hemos calculado. Metemos los datos 00:04:31
y nos queda que la fuerza centrípeta es la constante de gravitación universal, la masa de la Tierra, los 5.900 kg del satélite 00:04:35
y partido por el radio de giro, ¿vale? No la altura geostacionaria ni el radio de la Tierra, el radio de giro que es el primero que hemos calculado al cuadrado 00:04:42
y la fuerza centrípeta en newton nos queda 1,32 por 10 elevado a 3 newtons, unos 1.300 newtons. 00:04:49
Espero que se haya quedado claro, no es un problema complicado y es interesante que lo hayáis intentado vosotros para practicar con la tercera ley de Kepler. 00:04:57
Vamos a por el siguiente. 00:05:05
El otro problema que os propuse el viernes fue, de junio de 2017, la pregunta 1, esta de la opción B, 00:05:08
que es un problema muy bonito y muy real. 00:05:13
Tenemos que una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a Tierra 00:05:16
habitando alrededor de la estrella próxima a Centauri, 00:05:19
una enana roja cuya masa es un 12% de la masa del Sol, 00:05:22
y su radio es un 14% del radio solar, es decir, una enana roja es un Sol mucho más pequeño que el nuestro. 00:05:25
Mediante técnicas de desplazamiento Doppler, que lo estudiaremos al final de curso, 00:05:32
se ha medido el periodo del planeta alrededor de la estrella obteniéndose un valor de 11,2 días. 00:05:36
O sea, el planeta en cuestión, que además es Próxima Centauri B, es un problema real, 00:05:41
Próxima Centauri B es un exoplaneta, ¿verdad?, que tiene un periodo de rotación de 11,2 días, 00:05:46
es decir, que va rapidísimo. 00:05:52
Fijaos que nosotros, nuestro planeta, tarda 365 días, 00:05:53
y aquí Próxima Centauri B, este exoplaneta, solo tarda 11,2 días en dar una vuelta alrededor de la estrella Próxima Centauri. 00:05:57
Te dicen, termine, la aceleración de la gravedad sobre la superficie de la estrella, que va a salir muy grande, evidentemente, 00:06:06
y el radio de la órbita del planeta suponiendo esta circular. Muy bien. 00:06:13
Como datos, como siempre, la línea de la protección universal, la masa del Sol para con este porcentaje calcular la masa de Próxima Centauri, 00:06:16
el radio del Sol para, con este dato, calcular el radio de Próxima Centauri. 00:06:24
Primero, en primer lugar, organizamos un poco los datos que nos dan, 00:06:30
vamos a calcular la masa y el radio de Próxima Centauri. 00:06:34
La masa de Próxima Centauri es un 12% de la masa del Sol, 00:06:37
así que 2,38 por 10 a la 29 kilogramos. 00:06:40
El radio de Próxima Centauri es un 14% del radio del Sol, 00:06:46
así que 9,8 por 10 a la 7 metros. 00:06:50
Y por último, el periodo del exoplaneta, próxima a Centauri B, es de 11,2 días, que si lo pasamos a segundos, 9,68 por el cero a 5 segundos. 00:06:52
La expresión de la aceleración de la gravedad se deduce de la ley de la gravitación universal. 00:07:03
Sabemos que F, la fuerza de la gravedad, es G por M por la M en cuestión partido por R al cuadrado. 00:07:09
la aceleración de la gravedad es por unidad de masa 00:07:15
y por lo tanto es la constante de la radiación universal 00:07:19
la masa que la produce, la aceleración 00:07:21
y el radio de esta al cuadrado 00:07:23
en el caso de Proxima Centauri 00:07:25
si metemos los datos 00:07:27
metemos la masa de Proxima Centauri y su radio 00:07:28
nos queda 00:07:31
metiendo los datos, la constante de la radiación universal 00:07:33
la masa de Proxima Centauri 00:07:36
el radio de Proxima Centauri al cuadrado 00:07:38
sobre su superficie 00:07:40
la aceleración de la gravedad es 00:07:41
de 1.660 metros partido por segundo al cuadrado. 00:07:43
Como veis, unas 100 veces más que en la superficie de la Tierra, 00:07:46
que es solo 9,8, claro. 00:07:50
Por otro lado, en el apartado B, ¿verdad?, 00:07:54
nos preguntan el radio de giro de Próxima Centauri B, 00:07:55
del planeta, del exoplaneta que se ha medido. 00:07:59
Podemos emplear la tercera ley de Kepler 00:08:02
aplicada al exoplaneta que orbita a Próxima Centauri. 00:08:03
Esta ley de Kepler nos da el radio de giro del exoplaneta 00:08:07
partido al cubo, partido por su periodo al cuadrado 00:08:12
nos dice que es la constante de gravitación universal 00:08:14
por la masa de próxima centauri partido por 4 pi cuadrado 00:08:16
despejamos el radio de nuevo 00:08:19
el radio orbital del exoplaneta 00:08:21
pasamos el periodo de nuevo al otro lado del cuadrado multiplicando 00:08:23
y hacemos la raíz cúbica 00:08:26
constante de gravitación universal, masa de próxima centauri 00:08:27
periodo del planeta en segundos, claro, al cuadrado 00:08:31
y partido por 4 pi cuadrado 00:08:36
nos queda un radio de giro de 7,23 por 10 elevado a 9 00:08:37
metros, que son del orden de 7,23 millones de kilómetros. Es un radio que es muy pequeño 00:08:41
si lo comparamos con el radio de la Tierra. El radio orbital de la Tierra alrededor del 00:08:49
Sol es de 150 millones de kilómetros. De 150 millones de kilómetros a solo 7,23 vemos 00:08:53
que este exoplaneta está mucho más cerca a Próxima Centauri y por eso tiene un periodo 00:08:59
de rotación también mucho más pequeño. Espero que se hayan quedado claros los problemas. 00:09:04
Os propongo estos dos problemas también de selectividad, en concreto de BAU de Madrid, junio 2016, la opción B, la pregunta 1, ¿vale? Copiadlo, por favor. Es un problema muy, muy bonito en el que un astronauta utiliza un muelle con una cierta constante elástica para determinar la aceleración de la gravedad en la Tierra y en Marte, en los dos sitios, ¿vale? Buscadlo, ¿vale? Aquí tenéis el enunciado, pero buscadlo porque también está resuelto en la Wikipedia. 00:09:09
Te preguntan la masa adicional que debe añadirse en el peso del traje del astronauta para que en Marte pese lo mismo que la Tierra y la masa de la Tierra suponiendo que es esférica, ¿vale? Con el dato que hemos calculado porque aquí podemos calcular con este muelle la aceleración de la gravedad tanto en la Tierra como en Marte. 00:09:36
Una vez que tienes la aceleración de la gravedad en la Tierra, puedes utilizar esta expresión, aquí metiendo el 9,8, para calcular la masa de la Tierra. 00:09:53
Esta resulta en el propio examen, porque lo podéis encontrar en la Wikipedia y está ahí mismo resuelto. 00:10:03
Por otro lado, Pau de Madrid, junio 2009, repertorio B, problema 1. 00:10:09
Este problema también es súper bonito y es para aplicar la tercera ley de Kepler. 00:10:13
Nos piden que comparemos Venus y la Tierra, ¿verdad? 00:10:17
Nos dan la distancia de la Tierra al Sol, la distancia de Venus al Sol. 00:10:21
Sabemos que un año terrestre son 365 días. 00:10:24
Te piden que calcules un año venusiano. 00:10:27
Un año venusiano sería su periodo de revolución. 00:10:29
Y luego las velocidades orbitales de Venus y de la Tierra. 00:10:32
Que es dos pies repartidos por el periodo, claro. 00:10:35
Muy fáciles las dos. 00:10:37
Este tercer problema que os propongo, para terminar, es del modelo de examen del curso 2016-2017. 00:10:39
La opción A, pregunta 1. 00:10:45
y es muy parecido, hablamos de Titania, Titania es un satélite de Urano, ¿vale? 00:10:46
que describe una órbita circular, te dan la gravedad en Urano y la gravedad sobre Titania 00:10:51
con ello te preguntan, ¿vale? además sabiendo que, claro, la velocidad de la luz, ¿verdad? es esta 00:10:58
y saben que un rayo de luz emitido desde la superficie de Urano tarda 1,366 segundos en llegar a la superficie de Titania 00:11:05
Como tienes la velocidad de la luz y este tiempo, el producto te da los metros que hay entre uranio y titania 00:11:12
Por otro lado, el radio de la órbita de titania alrededor de urano es muy fácil 00:11:19
Y utilizando la tercera ley de Kepler, por ejemplo 00:11:26
O utilizando también la g 00:11:29
O utilizando también eso, lo de la velocidad por el tiempo, ¿verdad? 00:11:35
Es muy fácil 00:11:41
una vez que tienes el radio, tercera ley de Kepler 00:11:41
para el tiempo que tarda Titania en dar una vuelta completa alrededor de Urano 00:11:44
lo pasamos, lo calculamos en segundos 00:11:47
y luego lo pasamos a días terrestres 00:11:51
todos estos problemas, los tres que os he propuesto 00:11:52
este, este y este, están en la Wikipedia resueltos 00:11:56
pero si tenéis dudas, me escribís utilizando el foro 00:12:00
espero que os haya servido el vídeo 00:12:03
un abrazo a todos y nos vemos pronto 00:12:05
Idioma/s:
es
Autor/es:
Jorge García García
Subido por:
Jorge G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
97
Fecha:
8 de octubre de 2020 - 0:23
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES JORGE GUILLÉN
Descripción ampliada:
Vídeo para mis alumnos de Física a través del aula virtual del IES Jorge Guillén.
Duración:
12′ 10″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1440x900 píxeles
Tamaño:
129.54 MBytes

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