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Ejercicio IV Examen Parte Análisis MAT II - Contenido educativo - Contenido educativo

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Subido el 22 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Vamos con el último ejercicio. Este ejercicio hemos hecho uno muy, muy similar en clase, evidentemente con otra función. Cuando nos piden los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, también tenemos que saber qué significan los extremos relativos. 00:00:00
Los extremos relativos son al final los máximos y los mínimos que hay en esta función. 00:00:14
Esta función vemos que es una función racional, porque está definida por un polinomio que es el numerador y otro polinomio que es el denominador. 00:00:23
Lo primero que tenemos que ver para los intervalos de crecimiento y decrecimiento es estudiar el dominio de f de x. 00:00:34
Entonces, para saber el dominio de f de x y hacer una función racional, tenemos que igualar a 0 el denominador. 00:00:43
Es decir, nosotros tenemos que x cuadrado menos 6x más 9 es igual a 0. 00:00:50
Si alguien se ha dado cuenta, esto es una identidad notable del tipo x menos 3, todo ello elevado al cuadrado. 00:00:57
Por lo tanto, si lo igualamos a 0, el punto x igual a 3 es el único que me hace 0 el denominador. 00:01:06
Eso implica que el dominio de f de x sea todos los reales menos el número 3. 00:01:14
Por lo tanto, en x igual a 3 no hay función, no existe la función. 00:01:23
Por lo tanto, no puede ser ningún intervalo de crecimiento y decrecimiento donde incluyamos el punto 3. 00:01:28
Pero es que tampoco puede haber ningún máximo ni un mínimo en el punto 3 porque no está definida la función. 00:01:36
Si no os dais cuenta, evidentemente, de esa identidad notable, hacéis esto, la ecuación de segundo grado. 00:01:45
Venga, lo voy a hacer, pero es que no os quiero perder tiempo. 00:01:51
Pero vemos aquí que precisamente esto es un 0, un 2, por lo tanto es una raíz 3 doble. 00:01:55
¿De acuerdo? Entonces el 3 no pertenece al dominio. 00:02:06
¿Cómo veo los intervalos de crecimiento y decrecimiento? 00:02:11
Pues evidentemente haciendo la primera derivada. 00:02:14
Y aquí la primera derivada lo único es la derivada de una fracción. 00:02:17
Por lo tanto yo tengo que hacer la derivada del primero, es decir, la derivada de x, que es 1, por el segundo sin derivar. 00:02:23
El segundo lo dejo tal cual, menos el primero sin derivar y la derivada del segundo. 00:02:30
La derivada del segundo, si lo vemos, es 2x menos 6. 00:02:38
Y todo ello lo dividimos por el denominador, pero al cuadrado. 00:02:41
Aquí hay algunos que me habéis hecho barbaridad de esto. 00:02:51
Ni lo hagáis, no hagáis el cuadrado de todo esto. 00:02:55
Lo dejáis tal cual, porque a mí lo que me interesa en los intervalos de crecimiento y decrecimiento es precisamente el signo de esa derivada. 00:02:59
Lo que quiero ver es que cuando el signo de la primera derivada es positivo, la primera derivada es mayor que cero, la función crece. 00:03:07
Y cuando el signo de la primera derivada es negativo, es decir, f' es menor que cero, la función f decrece. 00:03:17
Si yo esto lo desarrollo, que tengo x cuadrado menos 6x más 9, y esto de aquí que es menos 2x cuadrado, menos por menos más, más 6x. 00:03:27
Todo ello lo divido, y de nuevo, no me complico la vida, más 9 al cuadrado. 00:03:41
Esto es lo que ocurre, que aquí y aquí se me va, resulta que me queda menos x cuadrado más 9 partido de x cuadrado menos 6x más 9 al cuadrado. 00:03:52
Esta es mi primera derivada. Tengo que hacer que la primera derivada sea igual a 0, por lo tanto, menos x cuadrado más 9 partido x cuadrado menos 6x más 9 al cuadrado es igual a 0. 00:04:11
me queda que menos x cuadrado más 9 es igual a 0 00:04:30
es decir que x cuadrado es igual a 9 00:04:35
x es igual a más menos a raíz de 9 00:04:39
x es igual a más menos 3 00:04:43
tenemos que tener cuidado porque el 3 no pertenece al dominio 00:04:46
el 3 no pertenece al dominio 00:04:50
entonces yo siempre hago lo mismo ¿verdad? 00:04:53
hago, me lo voy a llevar mejor a otra página nueva 00:04:56
yo me hago aquí mi resta real 00:05:02
veo que aquí tengo el menos 3 00:05:07
tengo aquí el 3 00:05:11
aquí pongo un circuito porque el 3 no pertenece al dominio 00:05:13
con lo cual yo tengo aquí desde infinito a menos 3 00:05:18
desde menos 3 a 3 y de 3 a más infinito 00:05:23
¿qué es lo que ocurre? 00:05:28
que fijaros que la primera derivada 00:05:30
si no me equivoco mal es menos x cuadrado más 9 00:05:33
partido x cuadrado menos 6x más 9 al cuadrado 00:05:37
el denominador al estar al cuadrado siempre es positivo 00:05:45
con lo cual lo que me va a marcar a mí 00:05:50
el signo de la primera derivada está aquí en el numerador 00:05:53
porque ese al estar al cuadrado siempre es positivo 00:05:59
entonces ¿qué ocurre? 00:06:02
porque yo aquí por ejemplo el 0 que está aquí 00:06:04
¿cuánto vale f' de 0? que es lo más fácil 00:06:08
pues aquí tengo que es 9 y abajo que es lo que tengo 00:06:11
9 al cuadrado es decir yo tengo un noveno que es mayor que 0 00:06:15
Por lo tanto, en todo este intervalo, la primera derivada, y aquí es muy importante, la primera derivada es 0. De hecho, todo esto de aquí me lo voy a llevar aquí. Es decir, la primera derivada en intervalo menos 3, 3 es positivo. 00:06:20
¿Y eso qué significa? Que mi función aquí crece, es creciente. Vamos a irnos, por ejemplo, a f de menos 10, que está aquí, el menos 10. Este es el 0 y aquí el menos 10. 00:06:40
esto que será, esto es menos 100 más 9 00:07:01
y aquí me da igual lo que hay que es un número positivo 00:07:07
lo que sí sé que esto da menos 81 entre positivo 00:07:11
esto es menor que 0 00:07:16
por lo tanto aquí es un valor menor que 0 00:07:17
si lo queréis hacer con la calculadora lo hacéis 00:07:20
y lo representáis 00:07:22
pero es que esto también sería correcto 00:07:24
y ahora me voy por ejemplo a f' de 10 00:07:27
Y f' de 10 estamos en lo mismo, tengo menos 100 más 9 con algo que es positivo y esto es menos 81, entre algo positivo es menor que 0. 00:07:30
Es decir, esto de aquí también es negativo. 00:07:42
Por lo tanto, aquí la función decrece y aquí también la función decrece. 00:07:49
Aquí es decreciente y aquí es creciente. 00:07:55
¿Qué es lo que ocurre? Pues que yo ya tengo toda la información, daros cuenta que aquí, al pasar de decreciente a decreciente, ¿qué es lo que tengo aquí? Tengo aquí un mínimo, mínimo relativo. 00:08:01
Y aquí en otras funciones al pasar de creciente a decreciente, perdón porque esto es de creciente, de al pasar de creciente a decreciente yo tendría un máximo, pero daros cuenta que al no pertenecer a la función pues yo aquí no tengo absolutamente nada. 00:08:17
Entonces, mínimo relativo en x igual a menos 3. 00:08:39
Entonces, recopilando la información, pues f de x crece en menos 3, 3. 00:08:44
f de x decrece en menos infinito menos 3, unión 3 más infinito. 00:08:57
y tenemos un mínimo relativo en menos 3. 00:09:08
Cuando damos el relativo, tenemos que dar tanto la x como la y. 00:09:13
Por lo tanto, vamos a hallar f, tenemos en 3, f de 3, tenemos un mínimo, un mínimo relativo. 00:09:17
¿Cuánto vale f de 3? Pues lo hallamos. 00:09:32
F de 3 es igual a 3 partido de 3 al cuadrado menos 6 por 3 más 9. 00:09:35
F de menos 3, perdón, perdón, perdón. 00:09:56
F de menos 3. 00:10:00
Aquí F de menos 3. 00:10:02
Perdón. 00:10:04
Esto es infinito. 00:10:06
f de x, entonces, en menos 3, f de menos 3, tenemos un mínimo relativo. 00:10:10
¿Cuánto vale f de menos 3? Pues aquí tenemos menos 3, y aquí abajo es menos 3 al cuadrado, menos 6 por menos 3, más 9, ¿verdad? 00:10:29
más 9, que esto da menos 3 00:10:44
y esto es menos 3 al cuadrado que es 9 00:10:49
más 18 más 9 00:10:52
es 4 por 9, 36, menos 3 partido de 36 00:10:55
que es menos 1 partido de 12, entonces 00:11:01
en menos 3 menos 1 partido de 12 00:11:04
tenemos 00:11:09
un mínimo relativo 00:11:11
y ya estaría el ejercicio 00:11:18
yo creo que este ejercicio es súper fácil 00:11:21
lo único que estaba el escollo del 3 00:11:24
porque el 3 no pertenece al dominio de f de x 00:11:27
yo creo que este ejercicio era un regalito 00:11:34
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
22 de febrero de 2026 - 20:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
11′ 38″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
27.90 MBytes

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