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ES1. 4 Medidas de centralización. Ejercicios 8-10 resueltos - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad ES1 dedicada a la estadística univariante. 00:00:26
En la videoclase de hoy estudiaremos las medidas de centralización. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar las medidas de centralización. 00:00:41
son el valor o valores alrededor de los cuales se van a situar los datos y representan los valores 00:00:50
más representativos de la variable que estamos estudiando en la población o en la muestra la 00:00:56
primera medida de centralización que nosotros vamos a describir es la moda que se denota por 00:01:02
mo m mayúscula o minúscula está definida tanto variables cualitativas como cuantitativas y si 00:01:06
miramos el conjunto de los datos es el valor más repetido podemos encontrarlo sin necesidad de 00:01:13
observar los datos brutos mirando la tabla de frecuencias y buscando cuál es el valor que 00:01:19
tiene una mayor frecuencia absoluta o frecuencia relativa. La moda es una medida de centralización 00:01:23
que va a tener unidades las mismas de la variable y es un caso especial. Existen poblaciones o 00:01:29
muestras que tienen más de una moda porque no hay un único valor que sea el más repetido sino que 00:01:35
hay más de uno, dos o más valores que son los más repetidos repetidos igualmente. En ese caso 00:01:40
hablaremos de distribuciones multimodales, bimodales, trimodales, etcétera. La siguiente 00:01:46
medida de centralización que vamos a describir es la más importante, es la media aritmética. Se 00:01:54
denota con el símbolo de la variable, habitualmente utilizamos como símbolo x porque estamos hablando 00:01:59
de una variable x, con una raya horizontal por encima, una barra sobre ella. Únicamente está 00:02:05
definida en variables cuantitativas y se puede calcular. Si nosotros utilizamos el conjunto de 00:02:11
datos, como la suma de todos ellos dividido entre el número de datos, entre el tamaño del conjunto, 00:02:16
ya sea una población o sea una muestra. Lo más habitual no es que utilicemos los datos brutos, 00:02:22
sino que utilicemos los datos que tenemos contenidos en la tabla de frecuencias, en cuyo caso lo que 00:02:27
vamos a hacer es utilizar esta expresión que tenemos aquí. Sumaremos el producto de las 00:02:32
frecuencias absolutas por los variables de la variable, o bien la marca de clase en el caso 00:02:37
de datos agrupados y dividiremos entre el tamaño de la población o muestra. Esta expresión con las 00:02:42
frecuencias absolutas se puede convertir en esta otra con las frecuencias relativas, en donde como 00:02:48
podéis ver no estamos dividiendo entre el tamaño de la muestra porque por definición las frecuencias 00:02:54
absolutas entre el tamaño de la muestra son estas frecuencias relativas que tenemos aquí. 00:02:59
La medida aritmética tiene unidades las mismas que las de la variable y una propiedad importante de 00:03:04
la media aritmética es que la suma de las desviaciones de los datos con respecto de la 00:03:10
media aritmética es idénticamente nula. Tal es una medida de centralización que si cogemos todos 00:03:14
los datos y calculamos la diferencia entre el dado y la media aritmética, esas son las diferencias, 00:03:21
y sumamos todas ellas debe dar idénticamente cero. A continuación vamos a definir la mediana, 00:03:26
los cuartiles y los percentiles. La mediana es una medida de centralización que se denota 00:03:36
M, M mayúscula, E minúscula. Se definen variables cuantitativas o bien en algunas variables 00:03:41
cualitativas en las cuales exista una cierta relación de orden. Y la idea es que la mediana 00:03:47
es un valor que va a dejar por debajo a la mitad de los datos, la mitad de los datos van a ser 00:03:52
menores o iguales que la mediana, y por encima a la otra mitad de los datos. La otra mitad de los 00:03:57
datos va a ser mayor o igual que la mediana. Si tuviéramos todos los datos ordenados, todos los 00:04:01
datos de una muestra o bien de la población y el tamaño de la muestra de población fuera impar, 00:04:06
la mediana se correspondería con el elemento central en esos datos ordenados. Si no tuviéramos 00:04:11
un número impar de datos sino par, lo más habitual es coger los dos que estarían en el centro y tomar 00:04:17
la media aritmética de ellos. Si no queremos utilizar los datos brutos sino que queremos 00:04:22
utilizar la tabla de frecuencias, es lo más habitual, vamos a definir la mediana como el 00:04:27
primer valor, x y, con frecuencia relativa acumulada mayor o igual a 0,5. La mediana tiene 00:04:32
unidades, tiene las mismas unidades que la variable y como veis aquí en esta anotación, en el caso de 00:04:40
datos agrupados, existe una definición más rigurosa atendiendo a criterios geométricos. Es más rigurosa 00:04:45
pero también es más laboriosa de determinar y por esa razón, porque es más laboriosa, no va a ser la 00:04:51
que nosotros utilicemos. En el caso de los cuartiles, estos se denotan 00:04:56
Q1, Q2 y Q3, serían primer, segundo y tercer cuartil. Y se definen de una forma muy similar 00:05:01
a como se define la mediana. Vuelvo atrás, la mediana es el valor que deja por debajo 00:05:08
una mitad y por encima a la otra mitad de los datos. Divide la muestra en dos mitades. 00:05:14
Bueno, pues los cuartiles lo que hacen es dividir la muestra en cuatro cuartos. De tal 00:05:19
manera que el primer cuartil va a ser el valor que deje por debajo a un cuarto de los datos y por 00:05:24
encima a tres cuartas partes de los datos, el segundo cuartil dejará por debajo a dos cuartas 00:05:29
partes de los datos y por encima a dos cuartas partes de los datos, y el tercer cuartil dejará 00:05:34
por debajo a tres cuartas partes de los datos y por encima a una cuarta parte de los datos. 00:05:39
Si nosotros no utilizamos los datos brutos sino como es habitual una vez más la tabla de frecuencias, 00:05:44
El primer cuartil se define como el primer valor xy cuya frecuencia relativa acumulada sea mayor o igual que 0,25. 00:05:50
El segundo cuartil como el primer valor cuya frecuencia relativa acumulada sea mayor o igual que 0,5. 00:05:57
Y el tercer cuartil como el primer valor cuya frecuencia relativa acumulada sea mayor o igual que 0,75. 00:06:03
Como podéis ver, no lo he mencionado, pero los cuartiles se definen igual que la mediana únicamente en variables cuantitativas 00:06:08
o en aquellas variables cualitativas donde exista una cierta relación de orden, de tal forma que estén definidas las frecuencias relativas acumuladas. 00:06:15
Los cuartiles tienen unidades, son las mismas que las de la variable. 00:06:23
Al igual que pasaba con la mediana, en el caso de datos agrupados se pueden definir utilizando propiedades, criterios geométricos a partir del histograma de frecuencias acumuladas. 00:06:27
No lo vamos a hacer porque es muy laborioso. 00:06:37
y a la vista de cómo hemos definido el segundo cuartil, imagino que no se os habrá escapado, el segundo cuartil coincide con la mediana. 00:06:38
En lo que respecta a los percentiles, funcionan de una manera muy similar a los cuartiles y a la mediana. 00:06:48
No en vano, mediana, cuartiles y percentiles los estoy comentando dentro de un mismo apartado. 00:06:55
Si la mediana divide todos los datos en dos mitades, la mitad menor o igual, la otra mitad mayor o igual, y los cuartiles dividen los datos en cuatro cuartos, de tal forma que son la frontera entre el primer y segundo, segundo y tercer, tercer y cuarto cuarto, los percentiles, no se os escapará, lo que hacen es dividir la muestra en cien centiles. 00:07:00
Los percentiles se denotan P1, P2, etc. hasta P99 y se definen de una forma análoga a como hemos definido los cuartiles y como hemos definido la mediana. 00:07:22
El primer percentil es un valor que deja por debajo a un 1% de la muestra o de la población y por encima al 99% restante. 00:07:33
El segundo percentil deja por debajo a un 2% de la población y por encima a un 98%. 00:07:44
El tercer percentil, por debajo al 3%, por encima al 97% restante, etcétera, etcétera. De la forma que llegaríamos al percentil 98, que deja por debajo al 98% de la población en muestra y por encima al 2% restante, y por último el percentil 99, que deja por debajo al 99% de la población en muestra y por encima al 1% restante. 00:07:51
Nosotros no determinaremos los percentiles con los datos brutos, sino que utilizaríamos, como hemos hecho con la mediana y con los cuartiles, la tabla de frecuencias. 00:08:16
Y entonces lo que haríamos sería buscar cuál es el primer valor con valor de frecuencia relativa acumulada mayor o igual al 1%, y ahí tendríamos el primer percentil. 00:08:25
El primer valor con frecuencia relativa acumulada mayor o igual al 2%, y ahí tendríamos al segundo percentil, etcétera, etcétera. 00:08:35
El primer valor con frecuencia relativa acumulada mayor o igual al 98% sería el percentil 98 y el último percentil, el 99, sería aquel valor con frecuencia relativa acumulada mayor o igual que el 99%. 00:08:43
Igual que pasa con la mediana y con los cuartiles. Tiene unidades las de la variable. En el caso de datos agrupados tienen una definición geométrica más vigorosa pero más laboriosa que no utilizaremos. 00:08:58
y atendiendo a cuál es la definición, el percentil 25 va a coincidir con el primer cuartil, 00:09:10
el percentil 50 coincide con el segundo cuartil y esta a su vez coincide con la mediana, 00:09:17
el percentil 75 va a coincidir con el tercer cuartil. 00:09:22
Como un primer ejemplo vamos a considerar la encuesta anterior para la variable cualitativa 00:09:28
deporte más practicado en las zonas polideportivas comunes, en las comunidades de vecinos de la Comunidad de Madrid 00:09:33
Y vamos a determinar la única medida de centralización que podemos determinar en este caso, que es la moda. Puesto que la variable es cualitativa, los valores posibles eran baloncesto, frontenis, fútbol y pádel, y en esos deportes no existe una ordenación posible que sea lógica y razonable. 00:09:39
Aquí únicamente podemos poner por criterio más común el orden alfabético. 00:09:57
Esta es la tabla de frecuencia que nosotros teníamos, es la que se corresponde con una variable cualitativa. 00:10:02
Tenemos las frecuencias absolutas, para baloncesto había 6 respuestas, frontenis 4, fútbol 8, pádel 6. 00:10:09
En total la suma de las frecuencias absolutas 24 era el tamaño de la muestra y aquí teníamos las frecuencias relativas. 00:10:15
Pues bien, la moda será el valor, xy, que corresponde con la mayor frecuencia absoluta o bien, de manera análoga, el mayor valor de la frecuencia relativa. Aquí, 6486, el mayor valor de la frecuencia absoluta es 8, por cierto, se corresponde con la mayor frecuencia relativa, 025, 0167, 0333, 025, el mayor valor es el mismo, 0,333, que corresponde al fútbol. 00:10:21
Así pues, en este caso, hemos de concluir que como medida de centralización tenemos la moda mo, que es igual a fútbol. 00:10:48
En este segundo ejemplo vamos a trabajar con una variable cuantitativa discreta. 00:10:56
Vamos a considerar el ejemplo anterior del estudio del número de veces que se pone lavadora en una semana 00:11:01
en los hogares de los estudiantes del IES Arquitecto Pedro Gumiel. 00:11:06
En este caso tenemos una muestra de 35 familias y aquí tenemos la tabla de frecuencias correspondiente. 00:11:09
correspondiente. Teníamos los valores posibles, frecuencias absolutas, suman 35, frecuencias 00:11:15
relativas, y aquí tenemos frecuencias absolutas acumuladas, frecuencias relativas acumuladas. 00:11:21
Vamos a determinar en primer lugar la moda. Se corresponde con el valor más repetido, 00:11:27
el valor que tiene una mayor frecuencia absoluta o frecuencia relativa. Visto los valores de 00:11:33
frecuencia absoluta, el mayor es este 10, así que la moda va a ser 4. Mo igual a 4. 00:11:38
Cuartiles, primero, segundo, tercero, son los valores x y que se corresponden con el primer valor de frecuencia relativa acumulada mayor o igual a 0,25, mediana y segundo cuartil mayor o igual a 0,5, tercer cuartil mayor que 0,75. 00:11:43
Nos vamos a la columna de las frecuencias relativas acumuladas y vamos a buscar la primera mayor o igual que 0,25. Aquí tenemos 0,2, es este tercer dato, 0,486. Se corresponde con xy igual a 4, así que el primer cuartil es 4. 00:11:59
Buscamos el primer valor de frecuencia relativa acumulada mayor o igual que 0,5. 00:12:16
Pasamos más allá del 0,486 y el siguiente, este ya es mayor o igual que 0,5, es 0,714. 00:12:21
Vamos a la izquierda a buscar cuál es el valor xy que le corresponde, es 5, así que la mediana igual al segundo cuartil es 5. 00:12:29
Para el tercer cuartil buscamos cuál es el primer valor de frecuencia relativa acumulada mayor o igual que 0,75. 00:12:36
vamos más allá del 0 714 y el primero que encontramos es este 0 886 miramos hacia la 00:12:42
izquierda el valor x y que le corresponde es 6 así que el tercer cuartil es 6 en cuanto a la 00:12:50
media aritmética lo que vamos a hacer es utilizar la fórmula que habíamos visto este visto 00:12:56
anteriormente vamos a calcular la suma de los productos de frecuencia absoluta por valor y 00:13:01
vamos a dividir el resultado de esta suma entre el tamaño de la muestra en este caso. Podríamos 00:13:07
hacer 2, perdón, 2 por 2 más 3 por 5 más 4 por 10 más 5 por 8 más 6 por 6 más 7 por 4 igual a 00:13:13
y el resultado entre 35. Lo más habitual es no hacer este cálculo directamente con la calculadora 00:13:20
sino apoyarse de una columna adicional que se suele añadir a la derecha del todo en la tabla 00:13:27
de frecuencias. Vamos a calcular una columna auxiliar con los productos de x y por ni. Vamos 00:13:33
a multiplicar 2 por 2, que es este 4, 3 por 5, que es este 15, 4 por 10, que es este 40, etcétera. Y 00:13:40
aquí vamos a poner la suma. 4 más 15 más 40 más 40 más 36 más 28 igual a 163. Así que lo que vamos 00:13:47
hacer es para calcular la media aritmética dividir 163 entre 35. El resultado es este 4,66 que veis 00:13:54
aquí y ese sería el valor de la media aritmética. Lo bueno de utilizar esta columna auxiliar es que 00:14:04
estamos dividiendo los cálculos, primero unas cuantas multiplicaciones, luego una suma y por 00:14:09
último una división. Si tenemos miedo, somos propensos a equivocarnos al utilizar la calculadora 00:14:15
e introducir expresiones largas, esta es la mejor forma de llegar al cálculo de la medida aritmética 00:14:21
minimizando el riesgo de cometer un error. 00:14:26
Y por eso, esa es la opción que os voy a presentar. 00:14:28
Por último, vamos a ver como ejemplo el estudio de una variable cuantitativa continua. 00:14:33
Vamos a considerar el estudio que habíamos hecho anteriormente 00:14:38
de la masa de los adolescentes de 16 años en un cierto campo de refugiados. 00:14:41
Y aquí tenemos la tabla de frecuencias anterior correspondiente a la población. 00:14:46
Vamos a operar análogamente como hicimos en el caso anterior 00:14:50
para la variable cuantitativa discreta, lo único que en lugar de operar con los x y los propios 00:14:53
valores vamos a operar con los x y que son las marcas de clase. Y así pues vamos a determinar 00:14:59
la moda, mo, buscando cuál es el valor de marca de clase que corresponde con la mayor frecuencia 00:15:04
absoluta. Ese es este 11 y la moda es este 52,5 kilogramos, puesto que la variable tiene unidades 00:15:10
kilogramos. Primer, segundo, tercer cuartiles. Vamos a irnos a la columna de las frecuencias 00:15:17
relativas acumuladas. Vamos a buscar el primer valor mayor o igual que 0,25. Es este 0,27. El 00:15:23
primer cuartil es 47,5 kilogramos, que tiene unidades. Primer valor mayor o igual que 0,5. 00:15:29
Es este 0,55. Corresponde con el valor 52,5 kilogramos. Este es el segundo cuartil igual 00:15:36
de la mediana. Primer valor mayor o igual que 0,75 es este 0,775, corresponde con este valor 57,5 00:15:42
kilogramos y este será el tercer cuartil. Para terminar la medida aritmética vamos a utilizar 00:15:51
la misma fórmula, lo único que vamos a ir directamente a utilizar esta columna auxiliar, 00:15:56
donde vamos a poner los resultados de multiplicar los valores, las marcas de clase por las frecuencias 00:16:02
absolutas. Su suma es este 2170 y la medida aritmética es el cociente de esta suma 2170 00:16:07
entre el tamaño de la población. El resultado es 54,25 kilogramos. En el aula virtual de la 00:16:15
asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información 00:16:24
en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes 00:16:31
a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:16:36
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 11:19
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
17′ 07″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
42.65 MBytes

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