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Derivabilidad de Funciones a Trozos (1) - Contenido educativo

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Subido el 26 de octubre de 2020 por Esteban S.

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hola qué tal alumnas y alumnos de segundo bachillerato 00:00:02
vamos a hacer un problema importantísimo este problema es tan importante que 00:00:08
necesitamos tres vídeos el problema es cómo se estudia la 00:00:15
derivabilidad de una función a trozos entonces repito vamos a hacer tres 00:00:20
vídeos este es el primero el primero pregunta lo que estáis viendo estudia la 00:00:25
derivabilidad de una función, pero ya empezamos 00:00:30
viendo que esta función f de x, pues es una función a trozos 00:00:34
donde aquí hay una función y aquí otra 00:00:38
función. Bueno, pues vamos a ver cómo se estudia esto. 00:00:42
Ruego, por favor, que prestéis mucha atención y paráis el vídeo todas 00:00:46
las veces que necesitéis para entender bien esto. Lo primero 00:00:50
que tengo que recordar es esto que hemos 00:00:54
escrito aquí abajo y es tan importante. Le marco con dos asteriscos, cuatro asteriscos. 00:00:57
Importantísimo. Si una función no es continua en x igual a, entonces no existe la derivada 00:01:06
en a. Esto ya lo sabemos y por eso tenemos que empezar estudiando si la función es continua 00:01:12
o no. Porque en el momento que la función no sea continua, ya sabemos que en ese punto 00:01:20
de discontinuidad no va a existir la derivada. Eso es fundamental saberlo, ¿eh? Bien. Entonces, ¿qué vamos a hacer? Pues lo primero que hacemos es estudiar la continuidad de f de x. 00:01:27
Así que empezamos. Estudiamos la continuidad de f de x. Muy bien. Ya tenemos que saber hacerlo muy bien. Muy bien. A ver, en el primer tramo es continua. 00:01:38
¿Por qué es continua? Porque es la suma de dos funciones continuas 00:01:59
Es la suma de una exponencial más 3x que podemos llamar pues que es una recta 00:02:04
Entonces eso es continua 00:02:11
Y en el segundo tramo, en el interior del segundo tramo 00:02:12
Pues también sabemos que es continua porque es una parábola 00:02:15
Por tanto solo queda estudiar qué pasa con la continuidad en el punto de cambio 00:02:20
¿Cómo estudiamos la continuidad en el punto de cambio? 00:02:30
Pues ya también lo sabemos 00:02:36
Tenemos que estudiar dos límites 00:02:37
Límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x 00:02:39
Voy a hacer un poquito más rápido 00:02:42
Límite cuando x tiende a la derecha 00:02:44
Cuando tiende a 0 por la derecha 00:02:47
Y también tenemos que estudiar f de 0 00:02:49
Si estos tres valores coinciden 00:02:52
Diremos que es continua en x igual a 0 00:02:55
Muy bien 00:02:57
¿Cuál es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda? 00:02:58
Repito, ya lo voy un poquito deprisa 00:03:00
Aquí estoy en el primer tramo porque son valores menores que cero, luego estoy ahí. 00:03:01
Entonces, elevado a cero es uno más tres, cuatro. 00:03:07
¿Límite por la derecha? Pues estoy en el segundo tramo, aquí. 00:03:10
Sería cero más cero, cuatro. 00:03:14
Y f de cero, estoy en el segundo tramo, es cuatro. 00:03:17
Por tanto, ya sé que f es continua en x igual a cero. 00:03:21
Bien, con esto he llegado a la conclusión de que esta función, voy a poner un poquito más pequeño, esta función es continua en R. 00:03:32
Pues muy bien, pues muy bien, luego con todo esto ya sé que F es continua en R. 00:03:41
Muy bien, bueno, entonces, una vez que sé que la función es continua, una vez que sé esto, ya puedo empezar a estudiar su derivada. 00:03:57
Repito, si hubiera salido que f no es continua en algún punto, ya sabemos que ahí no tiene derivada. 00:04:11
Entonces, como f es continua en r, fijaros, aquí ya empiezan las dificultades, muy bien, entonces, aquí viene un momento clave del problema, 00:04:17
Entonces, fijaros, la derivada, fijaros que ahora viene lo gordo, la derivada, mirad, en el primer tramo, la derivada del primer tramo, que es elevado a x, más 3, y en el segundo tramo, en el interior, la derivada de x cuadrado 2x, más 5, muy bien, y aquí viene lo que quiero que entendáis muy bien, vamos a ver, 00:04:29
Si yo os preguntara cuál es la derivada en el punto 9, pues la derivada en el punto 9 está claro que me tendría que ir a este segundo tramo. 00:04:59
Me tendría que ir a este segundo tramo, que son x mayor o igual que 0. 00:05:11
Pues claro que sí, la derivada en el 9 sería 2 por 9 es 18 más 5 es 23. No hay ningún problema. 00:05:16
Y con otros puntos también. 00:05:21
El problema está que preguntemos cuál es la derivada en x igual a 0. Pues esto es lo que no podemos contestar todavía. No podemos contestar esto todavía. ¿Por qué? 00:05:22
¿Por qué? Porque x igual a 0 es un punto de cambio, entonces yo no puedo decir todavía cuál es la derivada de 0. 00:05:37
Así que aquí viene, fijaros, esta es la clave, x mayor que 0. 00:05:47
Fijaros que este igual que había aquí en la función, este igual yo no lo puedo poner en la derivada, 00:05:54
porque tengo que estudiar lo que pasa en el 0 que es el punto de cambio. 00:06:03
Así que aquí pongo esto importantísimo. Esta derivada vale eso, yo lo sé calcular, salvo en x igual a cero. ¿Qué pasa en x igual a cero? No lo sé, profesor, todavía no podemos contestar, no podemos contestar, no puedo saber lo que pasa en el punto de cambio. 00:06:07
Yo sabía que era continuo en x igual a cero, pero esto no me asegura que sea derivable. 00:06:30
Correcto. Vamos a ver si es derivable en x igual a cero. 00:06:36
Y aquí viene otro momento importante para vosotros. 00:06:40
La derivada, si bien os acordáis, no era ni más ni menos que un límite. 00:06:44
Luego la pregunta que os hago, ¿qué tiene que ocurrir para que exista f' de cero? 00:06:51
Pues para que exista f' de 0, tiene que ocurrir que el límite por la izquierda, que estoy en ese tramo, y el límite por la derecha, que estaré en este tramo, coincidan. 00:06:55
Si estos dos límites coinciden, diré que ese valor es f' de 0. 00:07:06
Exacto. 00:07:13
Luego, lo único que tenemos que hallar son estos dos límites. 00:07:14
Lo voy a poner aquí debajo. 00:07:18
Tengo que hallar el límite. 00:07:20
cuando x tiende a 0 por la izquierda de la derivada de la función en 0 00:07:22
y tengo que hallar el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de esa derivada. 00:07:27
Si estos dos límites coinciden, diré que existe el límite 00:07:34
y ese límite lo llamamos derivada. 00:07:38
Si el límite por la izquierda estoy en el primer tramo, 00:07:42
lo voy a escribir aquí, si lo voy a escribir, 00:07:46
límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de esta función. 00:07:48
Muy bien, este límite es elevado a 0 es 1 más 3 es 4. 00:07:52
Muy bien, sale 4. 00:07:56
Bueno, pues ahora si este límite, el de por la derecha, también sale 4, 00:07:57
entonces diré que esa es la derivada de 0. 00:08:03
Y este límite vale 5. 00:08:06
¿O salen diferentes? 00:08:11
Muy bien, luego como salen diferentes, diré y contestaré 00:08:15
no existe 00:08:18
f' de 0 00:08:23
no existe f' de 0, o sea, no existe la derivada 00:08:26
en 0, lo pongo en pequeñito, vosotros tenéis buena vista y lo veis 00:08:30
genial, luego fijaros, hemos visto 00:08:34
una función continua 00:08:38
pero en cambio, en el punto 0 no tiene derivada 00:08:41
acordaros, una función porque sea 00:08:46
continua, no te asegura que 00:08:51
sea derivable 00:08:53
al revés, ya sabéis que si 00:08:53
si es derivable es continua, pero de eso no estamos hablando 00:08:56
muy bien, por tanto 00:08:59
solo me queda poner la respuesta 00:09:00
y la respuesta, ya está puesta ahí 00:09:02
pero la vuelvo a escribir, así que 00:09:05
era estudiar la derivabilidad, pues la respuesta 00:09:06
es esta, la voy a poner en verde 00:09:08
que nos da esperanza 00:09:10
la derivada 00:09:12
de la función 00:09:14
elevado a x más 3 00:09:17
si x menor que 0 00:09:20
y 2x más 5 00:09:21
si x mayor que 0 00:09:24
parece que me he olvidado del 0 00:09:26
no me he olvidado del 0, ¿por qué? 00:09:28
porque f' de 0 00:09:30
no existe 00:09:32
no existe 00:09:36
lo recuadro 00:09:38
porque esto es importantísima 00:09:40
¿qué más me ha salido el recuadro? 00:09:41
ah, bueno, se arregló 00:09:44
muy bien, luego ahí está 00:09:45
¿Vale? Así que, voy a terminar con esto, muy bien, entonces, vale, la otra pregunta es, ¿qué significa esto? ¿Qué significa que una función sea continua y que la derivada no exista? 00:09:47
¿Qué significa que f' de 0 no exista? Bueno, pues esto significa que es una función que se junta en el 0 pero no se junta de manera suave, puede ser algo como esto, lo estoy inventando. 00:10:05
puede ser así por ejemplo, ahí va, puede ser así la función 00:10:19
en el 0, y ahora aquí en el 0 tiene un pico, y yo que sé lo que hace 00:10:25
así por ejemplo, muy bien, y este es el 0 00:10:30
pues esto lo que pasa, es una función continua, pero 00:10:33
como no se juntan, no se pegan de manera suave, por aquí 00:10:38
la tangente es así, por aquí la tangente es así, y decimos que no existe 00:10:43
bueno, pues este es el 00:10:47
vídeo tan importantísimo que quería, que queríamos enseñar. Y yo diría que si os 00:10:51
tenéis que quedar con algo es que para estudiar si una función es derivable 00:10:59
primero hay que asegurarse de que sea continua. Si es continua, pues continuamos 00:11:03
a estudiar la derivada. Y aquí viene este otro momento. Cuando 00:11:09
estudiamos la derivada no puedo poner lo que pasa en el cero hasta que no haga 00:11:18
al estudio y conteste muy bien pues después de este vídeo viene 00:11:22
el segundo vídeo que ya podéis verlo un saludo y muchas gracias por atender 00:11:27
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
400
Fecha:
26 de octubre de 2020 - 18:17
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
11′ 34″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
436.94 MBytes

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