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FU1. 2.1 Dominio e imagen. Ejercicio 2 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos el dominio y la imagen de funciones. 00:00:31
En esta videoclase vamos a comenzar el estudio de las características de las funciones que 00:00:40
vamos a utilizar para describirlas y para poder caracterizarlas, para poder decidir en función de 00:00:53
ellas qué tipo de función es la que tenemos entre manos o bien viendo cuál es el tipo de función, 00:00:59
cuál es la función elemental con la que estamos, cuáles son los elementos que tenemos que analizar 00:01:04
para poder representarlas gráficamente. Vamos a comenzar con el dominio y con la imagen. Tal y 00:01:09
como habíamos visto en la primera videoclase de esta unidad, el dominio es el conjunto de valores 00:01:15
reales para los cuales la función está definida. Esto son los valores reales que pueden ser 00:01:19
aceptados como entrada de la función y para los cuales la función es capaz de calcular 00:01:25
una imagen. Estas imágenes es el conjunto de valores reales que toma la función, de 00:01:29
tal forma que la función funciona como una caja a la cual entra un valor real perteneciente 00:01:34
al dominio de la función y devuelve un nuevo valor real, un único valor real, que pertenece 00:01:41
a la imagen de esta función. Para poder ejemplificar cómo funciona esto del dominio y de la imagen, 00:01:47
vamos a resolver este ejercicio que tenemos aquí a continuación. Se nos da la representación 00:01:55
gráfica de una función, que vemos que es una función definida a trozos. Hay un primer trozo 00:02:00
recto, un segundo trozo curvo y un tercer trozo asimismo también curvo, para el cual se nos pide 00:02:04
que determinemos el dominio y la imagen. Para estudiar el dominio de la función, lo que tenemos 00:02:11
que hacer es centrarnos en el eje x, el eje que corresponde a la variable independiente. 00:02:17
Y lo que vamos a hacer es ver para qué valores de x, yendo hacia arriba o hacia abajo, nos 00:02:25
encontramos con la representación gráfica de la función. Por ejemplo, para el valor 00:02:30
de x igual a menos 7, que estaría aquí, subiendo o bajando, vemos que no hay función. De tal 00:02:34
manera que x igual a menos 7 no es un valor que pertenezca al dominio de la función. 00:02:39
La mejor forma para determinar el dominio es comenzar por la izquierda del dibujo 00:02:44
e ir avanzando de izquierda a derecha en valores crecientes de la x. 00:02:48
Y lo que podemos ver es que justamente cuando la x toma el valor menos 6, aquí, 00:02:53
la función comienza, puesto que veo que aquí abajo hay un punto relleno. 00:02:57
Es el primer punto donde aparece la función cuando yo viajo de izquierda a derecha a lo largo del eje de las x. 00:03:02
Así pues, menos 6 es el primer punto donde comienza el dominio. 00:03:08
Para valores mayores de x, mayores que menos 6, vemos que la función continúa existiendo hasta que llegamos a este punto relleno que se corresponde con el valor de x igual a menos 4. 00:03:13
Este primer trozo está definido entre valores de x igual a menos 6 incluido hasta valor de x igual a menos 4 incluido. 00:03:24
Así que para este primer trozo tenemos una definición del dominio de la función desde el menos 6 cerrado con un corchete hasta el menos 4 cerrado con un corchete. 00:03:33
¿Qué es lo que ocurre? Que justamente debajo de este punto, con x igual a menos 4, tenemos un punto vacío. 00:03:43
Y a partir de él la función continúa, continúa bien definida con este segundo trozo. 00:03:49
Así pues, menos 4 no es el límite o uno de los límites del dominio de la función, 00:03:55
sino que a partir de x igual a menos 4 la función sigue estando definida. 00:04:00
No a partir de este primer trozo, sino a partir de este segundo trozo. 00:04:03
A partir de x igual a menos 4 la función sigue estando definida, 00:04:07
vemos que la función sube y luego baja, hasta llegar a este punto vacío en aproximadamente x igual a menos 0,5, x igual a menos un medio. 00:04:11
Así pues, en este segundo trozo vemos que el dominio de la función finaliza cuando la x toma el valor igual a menos un medio. 00:04:22
Y aquí vemos un punto vacío. Eso quiere decir que justamente para el valor de x igual a menos un medio la función no está definida. 00:04:31
Tenemos un punto vacío, no hay nada. Así pues, el dominio de la función, cuando alcanzamos el extremo de la derecha, x igual a menos un medio, no está cerrado, sino abierto. 00:04:38
No podremos poner un corchete, sino que tendremos que poner un paréntesis. 00:04:49
Para valores de x entre menos un medio y cero, en este pequeño trocito que hay aquí, vemos que no hay función, ni hacia arriba ni hacia abajo, y la función vuelve a tomar valores a partir de x igual a cero. 00:04:54
Justamente cuando la x toma el valor 0, aquí vemos un punto relleno. 00:05:05
Y a partir de aquí, a partir de que la x vale 0, en este extremo del dominio tendríamos que cerrar el intervalo con un corchete, 00:05:09
a partir de aquí vemos que la función va a estar bien definida continuamente. 00:05:16
La función baja, luego sube, etc. 00:05:20
Y aquí, aunque parecería que la función finaliza, siempre que veamos algo de este estilo y no veamos un punto relleno o un punto vacío, 00:05:22
lo que tenemos que hacer es asumir que la función continúa indefinidamente para x crecientes, 00:05:31
a partir de este valor x igual a 8, 9, bien, pues la función continúa existiendo para valores arbitrariamente grandes de x. 00:05:36
¿Cuál es entonces el dominio de la función? 00:05:45
Vemos que la función va a estar definida para valores a partir de x igual a menos 6, incluido, 00:05:47
así que tenemos que cerrar este extremo, hasta valores de x igual a menos un medio, abierto, 00:05:52
Así que en este extremo tenemos que poner un paréntesis. 00:05:59
Entre medias, para cualquier valor de x, la función está bien definida. 00:06:02
Bien mediante el primer trozo, bien mediante el segundo. 00:06:06
A continuación, la función vuelve a estar definida cuando x toma valor 0. 00:06:09
Cerrado, puesto que tenemos un punto cerrado, así que tenemos que poner un corchete. 00:06:13
Y a partir de aquí, hasta más infinito, puesto que vamos a seguir el convenio que he indicado anteriormente. 00:06:17
Si no tenemos un punto relleno o un punto vacío, 00:06:22
tenemos que suponer que la función continúa con su tendencia para valores olvidadamente grandes. 00:06:24
Así pues, el dominio de la función viene dada por la unión de dos intervalos, 00:06:29
desde menos 6 cerrado hasta menos 1 medio abierto, unión, 00:06:33
desde el 0 cerrado hasta más infinito abierto. 00:06:38
Os recuerdo que los extremos más infinito y menos infinito, por definición, van a ir siempre abiertos, 00:06:41
no son valores que podamos alcanzar, son valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños, 00:06:45
y que en el caso del más infinito es obligatorio indicar el signo más, 00:06:50
puesto que, como veremos más adelante, dentro de un par de unidades, 00:06:55
Infinito, más infinito y menos infinito van a representar tres cosas ligeramente distintas. 00:06:59
En cuanto a la imagen, tenemos que hacer un estudio similar, pero en este caso, en lugar de fijarnos en el eje de las X, 00:07:04
tenemos que fijarnos en el eje de las Y. En lugar de en el eje de abstizas, hay que fijarse en el eje de ordenadas. 00:07:10
Lo que vamos a hacer es ir de abajo hacia arriba, en valores crecientes de la Y, a ver en qué momento aparece la función. 00:07:17
Y aquí vemos que el valor donde la función comienza es para este valor de y igual a menos 3, donde está este punto abierto. 00:07:24
Justamente y igual a menos 3 no es un valor que sea tomado por la función en ningún punto, tenemos un punto abierto, 00:07:31
pero a partir de aquí valores ligeramente mayores por encima del menos 3 ya sí son tomados. 00:07:38
Y aquí vemos esta rama de la función con valores a partir del menos 3. 00:07:42
Para valores de y por encima del menos 3 la función existe. 00:07:47
En el caso de la imagen no pasa como con el dominio. 00:07:51
En el caso de x perteneciente al dominio de la función, la imagen tiene que ser una y solo una. 00:07:55
En el caso de la imagen, para un valor de la imagen igual a menos dos, podemos tener uno o dos valores. 00:08:02
En el caso de menos dos vemos que la función toma este valor en este punto, en este punto y en este otro. No importa. 00:08:07
Para que un cierto valor de y pertenezca a la imagen de la función, tiene que ser tomado al menos en una ocasión. 00:08:14
que sea en más ocasiones, no importa. 00:08:20
Bien, decía que la función comienza a tomar valores a partir de y igual a menos 3, 00:08:23
no menos 3, puesto que tenemos un punto vacío. 00:08:28
A partir de aquí, la función valores crecientes de y, la función toma valores. 00:08:31
Vemos que toma valores hasta que la y toma el valor 2. 00:08:36
Cuando la y toma el valor 2, tenemos estos tres puntos de aquí, 00:08:42
donde la función toma ese valor de 2, pero por encima de este valor de y, 00:08:46
la función ya no aparece, no hay función pintada por encima del valor de y igual a 2. 00:08:50
Así pues, en este caso, la imagen va a venir dada por un único intervalo, 00:08:56
a partir de y igual a menos 3, abierto, así que tenemos que poner un paréntesis, 00:09:01
hasta el valor de y igual a 2, cerrado, así que tenemos que poner un corchete, tal y como se muestra aquí. 00:09:05
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:09:11
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:09:19
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual 00:09:24
Un saludo y hasta pronto 00:09:29
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
10
Fecha:
16 de noviembre de 2025 - 13:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 58″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
23.78 MBytes

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