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Posiciones relativas de dos rectas - Contenido educativo
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Se estudian las dos formas distintas de analizar las posiciones relativas de dos rectas en el espacio: el estudio vectorial y el analítico. Se resuelve un ejemplo sencillo
En este vídeo vamos a explorar las distintas posiciones relativas de dos rectas en el espacio.
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Como nos dice la intuición geométrica, dos rectas en el espacio pueden ser paralelas
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si tienen la misma dirección y no tienen puntos en común, pueden ser secantes si tienen
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un punto en común o pueden cruzarse si no son paralelas pero tampoco tienen puntos en
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común. Veamos cómo detectar en cuál de los tres casos estamos a partir de las ecuaciones de las
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rectas. Recordemos antes que hay dos familias de ecuaciones de una recta. Tenemos por un lado las
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ecuaciones vectorial paramétrica, estas ecuaciones se centran en el vector director de la recta. Por
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otro lado las ecuaciones cartesianas o implícitas que son ecuaciones en x y z sin parámetros. Por
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ello va a haber dos maneras de trabajar al estudiar simultáneamente dos rectas o bien mediante un
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sistema de ecuaciones cartesianas, para ello deberemos comparar los rangos de la matriz de
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coeficientes y la matriz ampliada, esto se va a llamar estudio analítico, o bien analizando los
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vectores directores de las rectas, es decir, un estudio vectorial. Comencemos por el estudio
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vectorial. Dadas dos rectas, contamos con dos puntos posición p y q y dos vectores directores u y v.
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Podemos introducir un tercer vector, el vector pq, y olvidarnos de los dos puntos posición.
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Ahora tendremos dos matrices, la formada por u y v, y la formada por u, v y pq.
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Comparando los rangos de estas dos matrices tendremos
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Si rango de u y v es 1, los vectores directores son paralelos,
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por lo que si el rango de u, v y pq es igual a 2, las rectas serán paralelas.
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Si el rango de u y v es igual a 2 y el rango de u, v y pq es igual a 3,
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las rectas ni son paralelas ni pueden estar contenidas en un plano,
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es decir, se cruzan. Para que las rectas se corten, deben ser no paralelas y contenidas en un plano,
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esto es, los rangos de uv y de uv y pq deben ser igual a 2. Finalmente, un caso extremo ocurre
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cuando los tres vectores uv y pq son proporcionales. En este caso, las dos rectas coinciden. Pasemos
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ahora al estudio analítico de la posición relativa de dos rectas en el espacio. Una recta se escribe
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como intersección de dos planos, esto es, con dos ecuaciones cartesianas, con lo que con dos rectas
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tendremos cuatro ecuaciones. Escribiendo el sistema matricialmente tendremos una matriz de coeficientes
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4 por 3 y una matriz ampliada 4 por 4. Los distintos casos de rangos de estas dos matrices serían,
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Si ambos rangos valen 3, el sistema es compatible determinado y las rectas se cortan en un punto.
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Si el rango de A es igual a 3 y el rango de la ampliada es igual a 4, el sistema es incompatible,
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pero las rectas no pueden ser paralelas, esto es, las rectas se cruzan.
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Si el rango de A es igual a 2 y el rango de la ampliada es igual a 3, los rangos no coinciden
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y por lo tanto el sistema vuelve a ser incompatible, pero en este caso las rectas son paralelas
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porque el rango de la matriz A es igual a 2.
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Y por último, si el rango de A es igual al rango de la ampliada es igual a 2, el sistema es compatible e indeterminado porque hay tres incógnitas y el rango es 2.
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Las rectas coinciden.
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Veamos un ejemplo sencillo de posición relativa de dos rectas para empezar a aplicar todo esto.
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Se trata de calcular la posición relativa de estas dos rectas R y S que están dadas, como veis, en forma continua.
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Para ello, lo primero que tenemos que sacar son los vectores directores. El vector director de la recta R será menos 3, 2, menos 1, porque son los denominadores de la ecuación en forma continua.
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El siguiente vector, el vector de la recta S, será el vector, por tanto, 2, 4, 1. Es exactamente los denominadores de la ecuación en forma continua de la recta S.
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A continuación unimos los vectores, a continuación unimos los puntos P y Q
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Para ello extraemos el punto posición de la recta R que será el 2, menos 4, 5
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Recordad que va cambiado de signo y el punto Q que será el 0, 4, menos 5
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Ahora lo que hacemos es calcular el vector PQ restando las coordenadas del punto Q menos las del punto P
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y obtendremos el menos 2, 8, menos 10.
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Y bueno, ahora podemos simplificar este vector, puesto que nos importan vectores más que longitudes.
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Menos 2, 8, menos 10 es proporcional a menos 1, 4, menos 5.
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Ahora calculamos el rango de la matriz formada por estos tres vectores.
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Y esta matriz la llamamos A.
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Lo que tenemos que hacer es calcular el determinante de A y ver si vale 0 o no 0.
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Y bueno, pues claramente ese determinante es no nulo.
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Por lo que los tres vectores van a ser linealmente independientes y por lo tanto las rectas se cruzan porque el rango de la matriz de los tres vectores es igual a 3.
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Y esto ha sido todo. Nos vemos en futuros vídeos. Hasta la próxima.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Manuel Domínguez Romero
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 473
- Fecha:
- 31 de octubre de 2018 - 7:19
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 05′ 52″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1728x972 píxeles
- Tamaño:
- 38.36 MBytes
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