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1ºD 01/03/22 Cálculo de extremos y estudio del crecimiento de una función con el signo de su función derivada asociada - Contenido educativo

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Subido el 1 de marzo de 2022 por Mario C.

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Bueno, os cuento. He preparado en el aula virtual para que entendáis un poquito mejor el concepto de definición. 00:00:00
Ahora que la dejamos ahí con el límite de cómo es la pizarra, pero no lo habíamos hecho yo. 00:00:15
Bien, de verdad. 00:00:20
Vale, entonces hoy vamos a ver lo último que falta de verificadas. 00:00:22
Aunque me gustaría ver un poco más, pero no va a ser. 00:00:26
si eso coge una semanita 00:00:28
después la sienta 00:00:30
para terminar ya análisis 00:00:31
la idea es 00:00:33
si os acordáis al principio del tema 00:00:36
la pregunta que nos hicimos 00:00:38
es cómo estudiar el crecimiento de una función 00:00:40
¿no? 00:00:42
y dijimos 00:00:44
bueno, de hecho lo dijo Molina 00:00:46
vamos a estudiar la recta tangente 00:00:48
si tiene esta inclinación 00:00:50
estará creciendo, si tiene esta no 00:00:52
y si tiene esta será no creciente 00:00:53
decrece ¿no? 00:00:56
vale, pues hoy vamos a ver esta aplicación 00:00:57
que no hemos visto hasta ahora 00:01:01
no he empezado todavía 00:01:03
entonces 00:01:08
he puesto 00:01:11
esto en el aula virtual 00:01:14
es para que entendáis un poco el concepto 00:01:16
de la función derivada 00:01:19
o sea, de la definición de derivada 00:01:20
nosotros, la definición de derivada de un punto 00:01:22
decíamos que era 00:01:25
era esto, ¿no? 00:01:26
¿os acordáis que estuvimos en una clase 00:01:39
intentando entender qué era esta H 00:01:43
por qué tendría 0, no sé qué 00:01:44
os he hecho esta construcción para que la veáis 00:01:46
para que cojáis cualquier función que queráis 00:01:48
está bien metido en el cuadro, lo podéis poner a la que queráis 00:01:49
¿vale? 00:01:52
¿sí? 00:01:53
x al cuadrado más 1 00:01:58
partido de x 00:01:59
¿vale? 00:02:00
voy a poner la dinámica 00:02:13
vale, vamos a ver la dinámica 00:02:15
rápida y nos ponemos con la impresión 00:02:17
ya, venga, sigan 00:02:19
por Dios, miren 00:02:25
entonces 00:02:26
la idea de esta 00:02:29
la idea de esta construcción es que 00:02:31
venga, por Dios 00:02:32
la idea de esta construcción es que ponéis la función que queréis derivar 00:02:34
el punto en el que la queréis 00:02:37
derivar, aquí está en x igual a a 00:02:39
Pues en este caso está para x igual a 1 00:02:41
Esta 00:02:46
Esto es lo que hacíamos 00:02:47
La derivada, la pendiente de la recta tangente 00:02:50
De la función en el punto 1 00:02:52
La función es lo azul 00:02:53
La recta tangente es esta 00:02:57
¿Vale? 00:02:59
Decíamos 00:03:01
Yo no puedo saber si crece o decrece 00:03:02
Por ejemplo, si en vez de 1 metemos el menos 1 00:03:04
metemos el menos uno 00:03:06
yo sé que la función 00:03:11
ya, Carlota, ya 00:03:12
yo sé que la función está creciendo 00:03:14
pero si me da el azul, no sé si decrece y crece 00:03:16
o crece y decrece, yo sé que crece 00:03:18
en términos generales, pero no puedo saber 00:03:20
si aquí decrece y luego crece, ¿entendéis? 00:03:23
entonces lo que decíamos era 00:03:25
vamos a ir acercando todo lo posible 00:03:26
este punto de la derecha 00:03:28
en el que mirábamos para ver cuánto da 00:03:30
¿vale? 00:03:32
entonces, aquí lo que tengo es 00:03:34
¿cuánto valdría la h? 00:03:36
Paloma, venga 00:03:40
¿cuánto valdría la h? que es 00:03:41
del punto a al lado que estoy cogiendo 00:03:43
para ver la pendiente 00:03:46
¿cómo de ancho es? esta es la ecuación 00:03:47
de la recta tangente tal cual que su pendiente 00:03:50
sería esto, ¿entendéis? 00:03:52
¿sí? entonces la derivada de la función 00:03:55
x igual a 1, que es f'x en x igual a 1 00:03:56
será esta pendiente 00:03:58
si os fijáis, cuanto más lo vaya acercando 00:03:59
¿veis que se va acercando a 2? 00:04:02
cuando es 0.05 ya se acerca bastante a 2 00:04:06
¿no? y metemos zoom 00:04:10
y sigo acercando 00:04:12
pues cada vez se va a acercar más a 2 00:04:16
¿entendéis? 00:04:17
ese es el concepto de derivar, ese es el concepto de recta tangente 00:04:19
¿vale? 00:04:22
pues venga, apáñame 00:04:25
vamos a hacer ahora lo mismo 00:04:27
con el crecimiento, bueno lo mismo, más o menos lo mismo 00:04:32
¿vale? podemos poner una función 00:04:34
aquí podéis meter la función que queráis 00:04:36
ya, paloma, quédate 00:04:37
la función que queráis, de la que estéis estudiando 00:04:39
de crecimiento. ¿Vale? 00:04:42
Y la idea es ir moviendo 00:04:43
el punto en el que queremos ver si crece o decrece 00:04:45
y ver la tendencia de la recta tangente. ¿Vale? 00:04:47
Entonces, aquí la función está clara 00:04:50
que decrece, tiene un mínimo 00:04:51
y vuelve a crecer. ¿Sí? 00:04:53
Entonces, ¿aquí cómo será la derivada 00:04:55
en todo este lado? No, el signo 00:04:57
de la derivada. ¿Cómo será? 00:05:01
Prima. ¡Venga! 00:05:03
¡Por Dios! Prima. ¡No! 00:05:05
Negativa. 00:05:08
Negativa, claro. Porque tiene 00:05:09
la pendiente negativa. ¿Aquí cuánto valdrá la pendiente? 00:05:11
pero es para la deje de aquí 00:05:13
y no, pues vamos a ver 00:05:16
¿lo veis? 00:05:18
¿veis como funciona? 00:05:25
¿sí? 00:05:27
¿veis que todas las pendientes que hemos pasado 00:05:28
todas las pendientes que estamos pasando 00:05:30
esta es la pendiente de la recta tangente 00:05:32
y este es el valor de la derivada 00:05:34
¿veis que todo es rata negativa? 00:05:35
negativa, negativa, negativa, negativa 00:05:39
hasta que llega aquí que es cero 00:05:41
y empieza a ser positiva 00:05:43
¿entendéis? 00:05:46
dime, dime 00:05:48
Sí, lo que pasa es que habría que meter infinito zoom en cada punto, ¿sabes? 00:05:50
¿Vale? ¿Entendéis? 00:06:01
¿Habéis entendido el concepto? 00:06:03
Entonces, en realidad, el signo de una, o sea, el crecimiento, 00:06:04
estudiar el crecimiento de una función es estudiar el signo de la derivada, ¿vale? 00:06:07
Vamos a hacer un ejemplo. 00:06:11
Bueno, espera, primero os lo pongo como teoría y luego, y luego vemos. 00:06:15
¿Qué punto es? 00:06:25
Yo creo que debe ser el... 00:06:35
Temoderivadas propiedades 3. 00:06:38
Venga. 00:07:05
Crecimiento de una función. Por fin vamos a poder 00:07:06
hacer analíticamente extremos 00:07:08
y crecimiento. 00:07:10
Por fin vamos a poder hacer analíticamente extremos 00:07:12
y crecimiento. ¿Vale? Voy a buscar una... 00:07:14
Crecimiento de una función como signo de su función derivada. 00:07:17
Saber si una función crece o decrece. 00:07:31
O sea, vamos a estudiar 00:07:33
que una función crece y decrece, ¿cómo la vamos a estudiar? 00:07:34
como el signo de su derivada 00:07:37
cuando su derivada es positiva crece 00:07:38
cuando su derivada es negativa decrece y así va 00:07:40
ahora vamos, porque os voy a dar la teoría 00:07:42
yo voy a poner como teoría 00:07:46
y os hago el ejemplo 00:07:48
¿Cómo vamos a...? ¡Ya! 00:08:06
Pablo, Manuel, 00:08:34
¿cómo podemos estudiar 00:08:37
qué pasaba con la derivada 00:08:39
de los máximos y los mínimos de una función? 00:08:41
¿Qué pasa con la derivada aquí? 00:08:55
¿Cero? 00:08:58
¿Cero, no? 00:08:59
¿Sí? Entonces, 00:09:00
Entonces, entre extremos... 00:09:02
Vale, aquí veis que hay dos extremos, más o menos, ¿no? 00:09:06
Aquí en uno me da la cero, en otro también me da cero, ¿lo veis? 00:09:18
Aquí me da cero. 00:09:27
Si sigo así, decrece. 00:09:29
Pues vuelve a valer cero, ¿lo veis? 00:09:31
vuelve a crecer si entonces aquí será o positiva o negativa aquí vale pero aquí 00:09:33
será positivo o negativa si vuelve a ser positivo o negativa es decir entre los 00:09:40
puntos en los que vale cero será positivo o negativo 00:09:45
entender 00:09:49
si es una función continua y vale cero y luego otra vez cero o ha sido todo el rato negativo 00:09:56
¿Vale? Entonces, para calcular extremos, bueno, vamos a poner 6. 00:10:03
Los extremos, acordaos que no todos los extremos, o sea, no todos los máximos y mínimos son que pasa de crecer a decrecer. 00:10:13
También había 6 atrozos, podía coger uno de los puntos frontera. 00:10:20
Pero vamos a estudiar los extremos que pasa de crecer, que f de x pasa de crecer. 00:10:24
Es decir, ahora solo vamos a estudiar los máximos y mínimos, la derivada solo nos va a ayudar a ver los máximos y mínimos, 00:10:41
¿Qué pierden? Que son de este tipo, es decir, que pasan de crecer a decrecer o que son de este tipo, que pasan de decrecer a crecer. 00:10:47
No me va a ayudar a estudiar los máximos que son así. 00:10:56
Estos no me los va a decir la derivada. Estas son funciones atróficas. 00:11:00
Claro, estos son puntos por entera. En un punto por entera no vamos a trabajar con la función derivada. 00:11:05
Ahora lo vemos. Vamos a hacer la función derivada entera en un botón de exterior y miramos esto. 00:11:12
¿Vale? Entonces 00:11:15
¿Qué? 00:11:20
Chicas, por favor, callaos 00:11:29
Vamos a ver 00:11:31
¿Nosotros qué queríamos estudiar? 00:11:43
De las funciones 00:11:45
Si crecen o decrecen en general 00:11:45
¿Dónde crecen o decrecen? 00:11:49
Estamos intentando que nos den una ecuación 00:11:50
André, Ángel, ya 00:11:53
Estamos, lo que queremos es 00:11:55
la idea es el crecimiento y el signo de la derivada están directamente relacionados 00:11:57
si la derivada es positiva la función creces la derivada negativa la función decreta claro 00:12:15
la pendiente de la recta tangente que es la derivada entonces como vamos a ver si crece 00:12:20
decrete, pues vamos a decir, vamos a ver 00:12:23
dónde la derivada es positiva y ahí la función 00:12:25
crece. Dónde la derivada es negativa 00:12:27
y ahí la función decrete. 00:12:30
¿Cuál es el primer paso? ¿Pero dónde vale cero? 00:12:31
Si yo sé 00:12:35
dónde vale, aquí vale cero, aquí vale cero, 00:12:36
lo que hacemos es una tabla de valores, 00:12:37
damos valores y lo que salva. 00:12:39
¿Vale? Nos interesa saber 00:12:42
dónde la función es positiva y dónde es negativa. 00:12:43
El primer paso siempre, para estudiar 00:12:46
una función, que lo hemos hecho 00:12:47
en inequaciones, el primer 00:12:49
paso siempre es ver 00:12:51
¿Dónde vale cero? 00:12:52
Eso se llama los extremos 00:12:55
¿Hay que calcular el punto? 00:12:56
No, ahora lo ves 00:12:59
¿Hay tres? 00:13:01
¿Hay tres? 00:13:02
¿Hay tres? 00:13:02
Sí, hay tres 00:13:06
Hay tres bajas de derivada resuelta 00:13:08
Vale, entonces 00:13:09
Los extremos de este tipo 00:13:11
Son los puntos 00:13:15
Son los puntos 00:13:16
En los que la derivada vale cero 00:13:24
Si la derivada vale cero 00:13:35
el punto es un máximo o un mínimo. 00:13:39
En esta función solo hay dos puntos 00:13:46
donde la derivada vale cero. 00:13:48
Entonces, ¿dónde es paralelar este x? 00:13:51
Solo hay dos. 00:13:53
¿Qué son? 00:13:54
Por aquí, este. 00:13:54
¿Vale? 00:13:56
Y este. 00:13:57
En todos los demás, 00:13:59
la derivada va a tener un signo. 00:14:00
Va a ser oposición negativa. 00:14:02
Aquí y aquí va a ser cero. 00:14:04
Entonces, son extremos. 00:14:05
Pues poniéndoos una función 00:14:08
y tienes que calcular dominio, 00:14:09
cortes con los ejes, 00:14:11
simetrías, 00:14:13
continuidad, tendencias 00:14:14
y ahora crecimiento y máximo continuismo. 00:14:16
¿Vale? Entonces, 00:14:20
voy a ir haciendo un ejemplito. 00:14:22
Esta, x cuadrado menos 00:14:26
2 más 2 es partido de x. 00:14:28
Mario, 00:14:35
para decirme algo, 00:14:36
¿va a ser el término de las 00:14:38
características? 00:14:39
No, no vamos a hacer las dos. 00:14:44
vamos a hacer esta función 00:14:46
es x cuadrado 00:15:02
x cuadrado 00:15:06
menos 2x 00:15:11
más 3 partido de x 00:15:13
esta es la función que vamos a ver 00:15:16
donde, en que puntos 00:15:17
su derivada va a ser 0. 00:15:19
¿Dónde hay máximos y mínimos? 00:15:22
Más o menos. ¿Dónde tienen máximos y mínimos? 00:15:25
Aquí y aquí, ¿no? 00:15:30
¿Sí? ¡Ya! 00:15:33
Gráficamente, ¿sabéis? 00:15:35
Porque os está dando el coñazo desde el tema 1. 00:15:36
Gráficamente lo veis muy claro. 00:15:38
Gráficamente, si yo me traigo este punto aquí, 00:15:41
la derivada va a ser 0, ¿lo veis? 00:15:43
¿Veis que da 0? 00:15:46
Si me traigo el punto aquí, 00:15:49
la derivada también da cero. 00:15:51
Bueno, no lo encuentro exacto, pero veis que da cero por cero. 00:15:54
Pues vamos a identificarlo. 00:15:59
Si queremos saber 00:16:01
dónde la derivada de esta función vale cero, 00:16:02
¿qué es lo primero que tenemos que hacer? 00:16:04
La definición. 00:16:07
Antes. 00:16:08
La definición la tienes que hacer en un punto. 00:16:09
Derivar. Vamos a sacar la función derivada. 00:16:11
¿Vale? 00:16:14
¿Cómo la sacamos? 00:16:16
¿Cómo la sacamos? ¿Con la derivada o con las propiedades? 00:16:18
Con las propiedades. 00:16:21
Muchísimo más fácil, ¿no? 00:16:22
¿Qué estás haciendo? 00:16:24
La derivada 00:16:52
¿Qué es la derivada? 00:16:52
Es que estamos en las propiedades 00:16:57
En las secas 00:16:59
O sea, cuando es derivada de x 00:17:02
Es la única 00:17:06
Pero estoy pagando mucho 00:17:06
Estoy haciendo las propiedades de las derivadas 00:17:11
Para calcular la opción y ya está 00:17:13
Venga, esto sería 2x 00:17:14
2x menos 2 00:17:18
¿Vale? Esta es la función derivada, ¿no? 00:17:24
¿Esta es la función derivada? 00:17:58
¿Cómo que vale? 00:17:59
¿dónde? 00:18:03
¿a través de uno a veces? ¿otra vez? ¿no? 00:18:05
no, pero no estamos en límites 00:18:11
eso sería que tiene una asíntota 00:18:13
en i igual a 1 00:18:16
la derivada, ni siquiera la función 00:18:17
esta es la derivada, olvida que ya 00:18:19
ahora estamos estudiando otra cosa 00:18:21
ahora estamos estudiando 00:18:23
el crecimiento 00:18:26
queremos saber dónde la derivada va de 0 00:18:27
es decir, máximo y mínimo 00:18:29
¿cómo sabemos dónde esto va de 0? 00:18:31
no, igualadlo a 0 00:18:33
porque yo quiero saber 00:18:37
en qué x, en qué punto 00:18:39
esto es lo que vale 0 00:18:41
la derivada vale 0 00:18:43
entonces 00:18:44
borro 00:18:46
para que lo veáis tranquilamente 00:18:49
cuidado con simplificar 00:19:00
en mates no se tacha 00:19:02
Si quieres simplificar la autora, saca todo el factor común y divide. 00:19:04
¿Puedes sacar aquí de factor común x cuadrado? 00:19:08
Pues no puedes simplificar. 00:19:11
Manuel, siéntate aquí. 00:19:14
O sea, no, perdón, Pablo. 00:19:17
Allí. 00:19:21
No, no, se me ha dado la red. 00:19:27
aquí la de la división 00:19:28
que es la derivada del numerador 00:19:37
por el denominador sin derivar 00:19:39
menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador 00:19:40
partido por el denominador al cuadrado 00:19:43
¿os acordáis la de la división 00:19:45
que os dije? 00:19:47
cada vez que salga la vais a odiar 00:19:48
pero es de las que más va a salir 00:19:50
es la más habitual 00:19:52
luego he dicho que la derivada 00:19:54
de la resta es la resta de las derivadas 00:19:56
la derivada de la suma es la suma de las derivadas 00:19:59
aquí la derivada de x es 1 00:20:01
y quito paréntesis 00:20:03
la derivada de x cuadrado es 00:20:04
2 por x a la 1 00:20:07
por la derivada de x 00:20:08
porque es la misma potencia 00:20:10
y más paso a paso, si tenéis que ir más despacio, ir más despacio 00:20:11
esta 00:20:15
que no se puede simplificar 00:20:17
esto es 2 por x a la 2 00:20:18
menos 1 por la derivada de x 00:20:21
¿lo ves? 00:20:23
esto es 2 por la derivada de 00:20:26
que es 2 y la derivada de 3 es 0 00:20:30
¿vale? 00:20:32
sigo 00:20:35
en los extremos la derivada va al izquierdo 00:20:54
¿no? 00:20:56
¿En los extremos la derivada va a ser cero? 00:20:58
¿Vale? 00:21:03
Pues yo ya tengo la derivada, ¿no? 00:21:09
Pues como la derivada es esa, en los extremos pasará que x cuadrado menos 3 partido de la x del extremo cuadrado va a ser cero, ¿no? 00:21:11
¿Sí? 00:21:20
Porque no es cualquier x, es ya en los extremos. 00:21:25
Ahora ya aquí me van a salir valores de extremos. 00:21:29
la derivada en cualquier punto 00:21:31
no es cero, la derivada en cualquier punto 00:21:33
dependerá del punto en el que la calculo, pero en los extremos 00:21:35
la cero, entonces por eso le pongo 00:21:37
el apellido a la x, si no queréis ponerla, no la pongáis 00:21:39
yo os recomiendo que sí, para que diferenciéis 00:21:41
cuando estáis calculando un punto y cuando estáis usando la x 00:21:43
como variable 00:21:45
venga, ¿cuánto tiene que valer aquí? 00:21:45
¿no lo veis a ojo? 00:21:51
no, no 00:21:54
no existe 00:21:55
pero si hemos visto el dibujo 00:21:55
hemos visto que hay máximo y mínimo 00:21:59
los extremos están en raíz de 3 00:22:00
el procedimiento 00:22:08
a ojo me refiero a si ves desde aquí el raíz de 3 00:22:26
a ojo me refiero a si ves desde aquí el raíz de 3 00:22:29
despejado 00:22:32
veis que en 1.74 00:22:33
da 0.01 00:22:45
si miráis en la calculadora 00:22:47
pues la raíz de 3 será 00:22:50
1.73 00:22:51
¿vale? 00:22:55
veis que ahí es donde me ha salido que la pendiente es paralela al eje 00:22:57
y el otro tiene que ser 00:23:00
menos 1.74 00:23:02
¿lo veis? 00:23:03
¿veis que el otro es menos 1.74? 00:23:10
este 00:23:13
es el más raíz de 3 00:23:13
y este es el menos raíz de 3 00:23:14
¿pero en un punto 00:23:18
cuantas coordenadas tiene? 00:23:19
2. Entonces, yo sé que hay un mínimo 00:23:24
en raíz de 3. 00:23:26
Sí, en raíz de 3. ¿Qué? 00:23:28
¿Cuánto vale la i? 00:23:30
¿Dónde la sustituyo? 00:23:34
¿En la función o en la derivada? 00:23:37
No. En la función derivada 00:23:39
me va a dar g. Yo ahora quiero saber a qué altura 00:23:41
está ese punto. 00:23:43
Pues lo tendré que hacer en la función función. 00:23:44
Eso es. 00:23:49
Eso es. Entonces, los máximos mínimos serán xe, es decir, donde hay un máximo mínimo, ¿cuánto vale la función en ese punto? 00:23:50
¿No sería función de xe derivada después de función de xe? 00:24:09
No, x es el punto 00:24:15
A ver, para saber 00:24:17
Donde hay un máximo mínimo 00:24:19
Yo he tenido que pasar por ver que la derivada valga 0 00:24:20
¿Vale? 00:24:23
Yo he visto ya que la derivada vale 0 00:24:25
Aquí 00:24:27
Ahora quiero saber a qué altura está la función 00:24:27
En ese punto 00:24:32
¿Cómo calculo a qué altura está la función? 00:24:33
Con la derivada, ¿no? La derivada es la herramienta que yo he utilizado 00:24:36
Para ver donde hay un máximo mínimo 00:24:38
Ya está, ya la he usado 00:24:40
Ya la puedo tirar a la basura 00:24:42
¿Cómo? 00:24:43
no, este de raíz de 3 00:24:46
que entra con 0,1 00:24:49
raíz de 3 no entra con 0,1 00:24:50
pues es que hay dos puntos 00:24:54
hay un máximo y un mínimo 00:24:59
hay que hacer los dos, claro 00:25:00
venga, primero 00:25:03
vale, ya tenemos un punto 00:25:23
me voy a guardar 00:25:35
la de igual 00:25:37
vale, ya tenemos un extremo 00:25:37
no sabemos si es máximo o mínimo 00:26:05
pero sabemos que hay un extremo 00:26:06
en raíz de 3, 6 menos 2 raíz de 3 00:26:13
partido de raíz de 3 00:26:15
no sabemos si es máximo o mínimo 00:26:16
lo veremos 00:26:19
De momento, yo creo que tengo un extremo ahí. 00:26:20
Vamos a ver el otro. 00:26:23
Vale, ya hemos encontrado los dos extremos. 00:27:01
6 menos 2 raíz de 3 partido de raíz de 3 da 1,46. 00:27:28
Si os fijáis, esto está casi a 1,5. 00:27:31
¿Lo veis? 00:27:35
Y el otro lo mismo. 00:27:37
¿Vale? 00:27:39
Si hacéis 6 más 2 raíz de 3 partido de raíz de 3 en negativo, pues os quedará por aquí. 00:27:39
Vale. 00:27:45
Ya tenemos los extremos. 00:27:46
Es decir, sabemos dónde la derivada va a crecer. 00:27:48
Pero ¿sabemos dónde crece y dónde decrece? 00:27:51
Sí. 00:27:56
¿Dónde crece? 00:27:57
¿Dónde? 00:27:59
¿Qué punto quiere saber? 00:27:59
Pues esa es la cosa. 00:28:00
Tenemos que ver qué puntos hay. 00:28:02
Entonces. 00:28:04
Vale, entonces tenemos que meter a la derivada. 00:28:06
Esto, ¿eh? 00:28:08
Perfecto. 00:28:09
Solo hay que meter a la derivada. 00:28:09
He puesto el menos delante de la expresión 00:28:10
Sí, perdón, la otra 00:28:20
Bueno, perdón, todo 00:28:23
Vale 00:28:28
Ahora, recuerda que si copias 00:28:29
Pues no 00:28:52
Ahora, ya sabemos dónde la derivada se hace cero. 00:28:53
Ya sabemos dónde hay máximos y mínimos. 00:28:57
Entonces, el punto en el que estamos ahora es básicamente esto. 00:28:59
Esto será el menos raíz de 3. 00:29:03
Esto es, hemos dicho, 6 más 2 raíz de 3 entre raíz de 3. 00:29:04
Esto da menos 5,46. 00:29:11
Esto estará por aquí. 00:29:13
Yo sé que aquí hay un extremo. 00:29:16
No sé si es máximo o mínimo. 00:29:19
Yo sé que aquí pasa o de decrecer a crecer o de crecer a decrecer. 00:29:20
y en el raíz de 3 00:29:23
1,46 00:29:25
hay otro 00:29:27
no sabemos como es el dibujo 00:29:29
tenemos dos opciones 00:29:32
que aquí esté pasando de decrecer a crecer 00:29:32
o de crecer a decrecer 00:29:37
y que aquí esté pasando 00:29:39
de crecer a decrecer o de decrecer a crecer 00:29:45
¿entendéis? es decir, ahora mismo 00:29:47
la función puede ser 00:29:49
no, es que claro, no hay más opciones 00:29:50
no hay más opciones 00:29:53
estamos en estos dos casos, pero no sabemos cuál es cuál 00:29:53
Hemos visto dónde vale cero 00:29:57
Ahora vamos a ver dónde es positiva y dónde es negativa 00:29:59
Es decir, vamos a estudiar ya el signo de la derivada 00:30:01
Que es el crecimiento de la función entera 00:30:04
¿Corro? 00:30:06
Hemos estudiado los extremos, vuelvo a teoría 00:30:24
Esto es el signo de la derivada 00:30:49
¿Cómo se descubriría esto? 00:30:50
de la deriva 00:30:53
si sabemos que en raíz de 3 00:30:54
menos raíz de 3 vale 0 00:30:58
¿qué harías? 00:31:00
¿por qué 0.001? 00:31:08
¿por qué no 12? 00:31:10
¿no? 00:31:16
no, no, pero vamos a hacer 00:31:18
no, no, eso ya lo hemos hecho 00:31:20
sabemos, eso ya lo hemos aplicado aquí 00:31:21
ya tenemos la función 00:31:23
derivada, ya si quieres calcularla en cero 00:31:26
metes aquí un cero y ya está 00:31:28
no te hace falta hacer la definición ya para nada 00:31:29
lo que quiero 00:31:32
yo ya sé donde la derivada vale cero 00:31:35
que son máximos o mínimos, sé que están aquí 00:31:37
ahora no quiero saber en donde la función 00:31:40
crece y donde la función decrece, es decir 00:31:42
donde la derivada es positiva y donde la derivada es negativa 00:31:43
¿qué se os ocurre hacer? 00:31:46
¿no podemos ir a la continuidad y después comparar? 00:31:48
no, es otra cosa 00:31:51
¿y si comparas el resultado de este candado? 00:31:52
eso te da igual, eso simplemente 00:31:54
detectar qué altura está el punto. 00:31:59
Yo sé que son máximos o mínimos. 00:32:00
La derivada, o sea, la función, ¿cuándo crece? 00:32:02
Cuando la derivada es positiva. 00:32:08
¿Cuándo decrece? 00:32:10
Vale, pues entonces, si aquí es cero 00:32:12
y aquí es cero, 00:32:14
de la izquierda hasta aquí, ¿o crece o decrece? 00:32:16
De aquí hasta aquí, ¿o decrece o crece? 00:32:18
Y de aquí para adelante, ¿o crece o decrece? 00:32:20
Vamos a hacer una tabla y damos un valor 00:32:23
entre medias de cada uno y vemos qué pasa. 00:32:25
Entonces, pasa uno. 00:32:27
No, extremos ya están 00:32:34
Ya tenemos los extremos 00:32:37
Ahora vamos a ver el signo 00:32:38
Hacemos una tabla poniendo 00:32:39
Poniendo las equis de los extremos 00:32:41
Y ¿qué más? 00:32:49
Aquí podemos asegurar 00:32:51
Si este es un mínimo 00:32:52
Y este es un máximo 00:32:55
Entre medias la función crece segura 00:32:57
Esta función 00:32:59
Esto es un mínimo 00:33:03
O sea, esto es un máximo, esto es un mínimo 00:33:05
Entre medias crece todo el rato 00:33:06
Entre estos dos 00:33:08
crece todo el rato? 00:33:13
Pues entonces no es suficiente 00:33:16
información poner solo dos puntos 00:33:17
donde crece y donde decrece. 00:33:19
En el x igual a cero, ¿la función crece o decrece? 00:33:21
No, no hay función. 00:33:28
No hay función. 00:33:30
Si no hay función, ni crece ni decrece. 00:33:32
Entonces, cuando hagamos la tabla 00:33:35
poniendo las x en los extremos, ¿qué vamos a tener que poner 00:33:37
además que estábamos siempre 00:33:39
siempre llevando? 00:33:40
Es que en la función 00:33:45
Tuvimos una de las 00:33:51
Para saber la pendiente 00:33:52
Claro, cogemos puntos 00:33:55
Ahora lo vamos a ver 00:33:57
¿Qué? 00:33:58
No, a partir de ahora 00:34:00
Solo segunda, tercera, cuarta y quinta 00:34:06
Supone que ya 00:34:08
Se supone que deberían estar cerradas 00:34:11
Ahora se supone que solo podéis ir 00:34:13
entre medias no hay función 00:34:14
si no hay función no puede crecer o decrecer 00:34:41
es decir, no solo tenemos que poner los puntos en los que la derivada es cero 00:34:43
también tendremos que poner los puntos en los que no hay función 00:34:46
¿dónde no hay función? 00:34:48
pues a ver qué calcula el dominio 00:34:51
venga, pues entonces tendremos que poner el cero, ¿no? 00:34:53
hacemos una tabla poniendo las equidades extremos 00:34:58
y los puntos problemáticos 00:35:00
porque si no hay función 00:35:04
no podemos saber si sería un máximo o un mínimo 00:35:11
de todas maneras 00:35:13
el tema del baño, os digo, toda la vida de Dios 00:35:19
no se ha ido al baño 00:35:21
en clase 00:35:23
y si no se puede ir en los patios 00:35:24
no sé, claro, por eso os dejamos 00:35:27
segunda, tercera y cuarta y quinta 00:35:29
está bastante bien 00:35:31
vale, hacemos una tabla 00:35:32
hacemos una tabla 00:35:34
los dos, hombre, porque 00:35:38
tendrías que haberme dado antes de salir de casa 00:35:39
entonces, pues ya podéis 00:35:41
lo que se hace toda la vida 00:35:43
yo también, mira 00:35:47
hay quien puede aguantar 00:35:48
pero yo, usted dice que tengo una ventaja 00:35:50
más grande que esto 00:35:53
hacemos una tabla con los extremos 00:35:54
y los puntos problemáticos 00:35:57
es decir, sí 00:35:58
vale 00:36:00
si quieres votar, no te preocupes que te abren el mar 00:36:01
si quieres votar, no para que vaya 00:36:05
no para que vaya 00:36:06
si estás en la cuenta 00:36:07
pero vamos 00:36:11
que os digo 00:36:22
lo mismo de siempre 00:36:22
que toda la vida 00:36:23
no se ha ido al baño 00:36:24
el resto del tiempo 00:36:24
no, solo de la función 00:36:29
estamos estudiando 00:36:38
el crecimiento 00:36:39
de esta función 00:36:40
y la derivada 00:36:41
es una herramienta 00:36:42
que usamos 00:36:43
para estudiar 00:36:43
¿vale? 00:36:44
pero el dominio 00:36:45
de la derivada 00:36:45
me da igual 00:36:46
el dominio 00:36:46
de la función 00:36:47
claro 00:36:48
estamos hablando 00:36:49
de la función 00:36:50
la derivada 00:36:50
es la herramienta 00:36:52
que yo utilizo 00:36:53
para estudiar 00:36:54
el crecimiento 00:36:54
de la función 00:36:55
¿vale? 00:36:55
pero la derivada 00:36:57
es una herramienta 00:36:57
exclusivamente para hacer 00:36:58
y para ver 00:36:59
cuándo es positiva 00:37:00
y negativa 00:37:00
Paloma 00:37:00
guarda eso 00:37:01
copia mate 00:37:01
¿vale? 00:37:03
entonces 00:37:05
queremos saber 00:37:05
el signo 00:37:06
de qué 00:37:06
de la función 00:37:07
o de la derivada 00:37:09
queremos saber el signo de la derivada 00:37:10
pues nada, aquí 00:37:23
ponemos la derivada 00:37:25
voy a poner x al cuadrado 00:37:28
menos 3 00:37:30
partido de x al cuadrado 00:37:31
para saber el signo 00:37:33
aquí se hace 0 00:37:35
aquí no hay función 00:37:37
y aquí se vuelve a hacer 0, pues entre esto y esto 00:37:39
tendrá que ser o positiva o negativa 00:37:41
entre esto y esto será o positiva o negativa 00:37:42
entre esto y esto positiva o negativa 00:37:45
entre esto y esto positiva o negativa 00:37:47
hemos sustituido 00:37:48
el más 3 y el menos 3 00:37:59
no hemos empezado, hemos terminado los extremos 00:38:00
sustituyendo el raíz de 3 y el menos raíz de 3 00:38:03
en la función para ver a qué altura estaba el máximo y el mínimo 00:38:05
lo que hemos visto es 00:38:07
el menos raíz de 3 y el raíz de 3 00:38:09
hay máximos y mínimos, porque la derivada vale cero. 00:38:11
Es sustituir la función para ver 00:38:14
a qué altura está ese punto. 00:38:15
Y ya está, y me olvido, y fuera. 00:38:17
Ahora quiero saber dónde la derivada es positiva 00:38:19
y dónde es negativa, ¿no? 00:38:21
Donde la derivada sea positiva crecerá, 00:38:22
donde sea negativa decrecerá. 00:38:24
Pues entonces, entre menos infinito y menos raíz de 3 00:38:26
será o positiva o negativa. 00:38:28
Porque aquí nunca va de cero 00:38:31
y hay función todo el rato. 00:38:32
Si nunca va de cero y hay función todo el rato, 00:38:34
es o todo el rato positiva 00:38:36
o todo el rato negativa, ¿entienden? 00:38:37
aquí entre raíz de menos raíz de 3 y 0 00:38:39
siempre hay función 00:38:42
y nunca se hace cero la derivada 00:38:43
pues será todo el rato positiva o todo el rato negativa 00:38:45
aquí lo mismo, aquí lo mismo 00:38:47
por eso hacemos una tabla de valores 00:38:48
para ver donde la derivada sale positiva 00:38:51
donde sale negativa, donde salga positiva la función crece 00:38:52
donde sale negativa la función crece 00:38:54
eso es 00:38:56
bonito 00:38:58
vale 00:38:59
queremos saber donde la derivada es positiva 00:39:04
y donde la derivada es negativa 00:39:06
y aquí se hace, claro, depende del punto 00:39:08
si aquí se hace cero 00:39:10
aquí no hay función 00:39:12
en todos los demás puntos, aquí o es todo el rato 00:39:13
positivo o todo el rato negativo 00:39:16
porque no vale cero y la función 00:39:18
es continua 00:39:20
sí, pero entonces me habría salido que hay un cero 00:39:21
que la derivada se hace cero en no sé dónde 00:39:24
ya hemos calculado dónde sube y baja 00:39:26
ya hemos visto dónde sube y baja 00:39:29
estos casos ya los hemos 00:39:31
contemplado y son 00:39:33
este y este, si hubiese habido 00:39:34
más, yo aquí tendría que poner 3 o 4 00:39:37
o 7 00:39:39
o más 00:39:39
da igual 00:39:44
lo que me interesa es que intentáis 00:39:45
lo que me interesa es que intentáis 00:39:48
aquí la derivada es 0 00:39:50
a la izquierda será o todo el rato positiva 00:39:51
o todo el rato negativa, si no 00:39:54
desaparece la función, aquí 00:39:56
si te fijas, todo el rato es negativa 00:39:58
da igual a donde me vaya, todo el rato 00:40:00
va a ser negativa 00:40:02
de aquí a la derecha 00:40:03
lo mismo, va a ser todo el rato 00:40:06
por aquí 00:40:08
va a ser todo el rato negativo 00:40:12
¿otra vez lo ves? 00:40:14
vale, perdón, aquí era positiva 00:40:16
aquí es positiva 00:40:17
aquí es todo el rato negativa 00:40:19
si paso al otro lado 00:40:21
aquí 00:40:22
es negativa, también lo ves 00:40:25
ciego al cero 00:40:27
y ahora va a ser 00:40:29
positiva todo el rato 00:40:32
Ahora lo vemos 00:40:32
Vamos a hacerlo 00:40:38
Si todo lo que estamos haciendo 00:40:38
Es para ver dónde es positiva 00:40:39
Y dónde es negativa 00:40:40
Pues nada 00:40:41
Cogemos y sustituimos 00:40:42
Un balón 00:40:43
Esto representa la recta real 00:40:45
Yo quiero saber 00:40:47
Cuándo es positiva 00:40:48
Sé que aquí es 00:40:49
Aquí es cero 00:40:50
Aquí no hay 00:40:50
Y aquí es cero otra vez 00:40:51
Entonces voy a coger 00:40:53
Un número entre menos raíz de 3 00:40:53
Y menos infinito 00:40:54
Y ver cuánto vale 00:40:55
Vamos a coger 00:40:56
Un número entre menos raíz de 3 00:40:58
Y menos infinito 00:40:59
¿Cuál? 00:41:00
¿Cuál? 00:41:01
Venga, menos 3 00:41:02
La derivada de menos 3 00:41:05
¿Cuánto será? 00:41:07
Menos 3 al cuadrado menos 3 00:41:09
Partido de menos 3 al cuadrado 00:41:11
9 menos 3 00:41:13
Partido de 3 00:41:15
3 tercios 00:41:16
Que es 2, ¿no? 2 es positivo o negativo 00:41:19
Pues aquí 00:41:21
La derivada es positiva 00:41:23
Otro, entre el menos 3 de 3 y el 0 00:41:25
Entre el menos 3 de 3 y el 0 00:41:30
Venga, por Dios 00:41:35
Un número entre el menos 3 de 3 y el 0 00:41:39
pero si lo he puesto ya 00:41:40
es positiva o negativa 00:41:42
negativa 00:42:01
¿no? 00:42:03
entre 3 y raíz de 3 00:42:11
pues el 1 ¿no? 00:42:12
también negativa 00:42:17
y del raíz de 3 hacia adelante 00:42:18
por ejemplo el 3 00:42:21
9 menos 3 partido de 3 00:42:23
2 positiva 00:42:26
positiva 00:42:27
bueno 00:42:28
entonces 00:42:35
como ya sabemos donde la derivada es positiva y negativa 00:42:36
ya sabemos donde la función va a crecer y decrecer 00:42:39
¿no? donde es positiva 00:42:42
quiere decir que la inclinación de la pendiente es así 00:42:45
entonces la función está creciendo, donde es negativa es así 00:42:47
pues está decreciendo 00:42:49
entonces 00:42:50
¿dónde crece la función? 00:42:51
de menos raíz de 3 00:42:56
a menos raíz de 3 00:42:58
a menos raíz de 3 00:42:59
y luego de raíz de 3 00:43:00
y decrece de menos raíz de 3 00:43:02
a 0 00:43:11
y de 0 00:43:12
a raíz de 3 00:43:14
ahora si me dan 00:43:16
una función escrita de esta manera 00:43:19
es decir algebraicamente 00:43:21
ya sabemos hacer extremos 00:43:23
y crecimiento 00:43:24
ya tenemos 00:43:25
de los 12, ya tenemos otros 2 00:43:28
para hacer 00:43:30
¿vale? 00:43:32
bueno he puesto paso 1 pero vamos 00:43:38
me falta el paso 2 00:43:40
sería, hacemos una tabla, paso 2, sustituyo 00:43:41
poniendo un valor cualquiera 00:43:44
dentro de la tabla 00:43:46
y paso 3 00:43:48
pues donde sea positiva decrece, donde sea negativa 00:43:49
decrece y ya está 00:43:52
¿vale? 00:43:53
que no se os olviden por Dios 00:43:56
los puntos problemáticos 00:44:00
si se os olvidan los puntos problemáticos 00:44:01
está mal, no podéis decir que la función 00:44:03
crece de menos raíz de 3 00:44:06
a raíz de 3 porque en el 0 no hay función 00:44:08
o sea, no podéis decir que 00:44:09
decrece de aquí 00:44:12
no podéis decir que decrece de aquí a aquí 00:44:13
porque en el 0 no hay nada 00:44:15
estaría mal 00:44:17
no me acuerdo 00:44:18
Paso 2 00:44:23
Os lo digo para que lo pongáis si queréis 00:44:38
Iría aquí 00:44:39
Paso 2 00:44:42
Doy valores en los intervalos que han salido 00:44:48
Doy valores a la derivada 00:44:53
Y veo si es positiva o negativa 00:44:57
Y paso 3 00:45:13
Cuando la derivada es negativa, decreto 00:45:15
vale 00:45:26
todavía nos falta una cosa 00:45:44
antes hemos calculado los extremos 00:45:46
pero ya os he dicho, no sabemos si son máximos o mínimos 00:45:48
ahora sabríais 00:45:51
si son máximos o mínimos 00:45:52
el menor raíz de 3, ¿qué hace? 00:45:53
pasa de que a que 00:45:56
vale, entonces estoy en 00:45:57
esta situación 00:46:00
es un máximo 00:46:01
en esta, el menor raíz 00:46:03
¿Qué pasa? 00:46:06
Pasa de crecer a crecer, ¿no? 00:46:08
¿Entonces es un mínimo? 00:46:11
Dime, Molina. 00:46:13
¿Cómo? 00:46:16
Porque se movió. 00:46:20
Sí, porque estoy calculando el signo de la derivada 00:46:23
de esa función. 00:46:26
6 entre 9. 00:46:32
6 entre 9. Estoy bien hoy, ¿eh? 00:46:34
6 entre 9, da igual. 00:46:42
6 entre 9, vale. 00:46:44
¿Entendido? 00:46:45
¿Eh? 00:46:54
Porque es positiva 00:46:58
6 novenos es positivo 00:47:00
¿Vale? 00:47:01
Entonces ya lo único que nos faltaría 00:47:05
Es indicar cuáles de los extremos son máximos 00:47:06
Y cuáles de los extremos son mínimos 00:47:09
¿La última? 00:47:10
Porque es positiva 00:47:19
6 novenos es mayor o menor que 0 00:47:20
lo quito, ya está 00:47:22
cuando la derivada es menor que 0 00:47:24
f de x decrece 00:47:29
y cuando la derivada es mayor que 0 00:47:31
f de x crece 00:47:33
pues yo he visto la derivada es positiva aquí y aquí 00:47:34
entonces f de x crece en 00:47:36
donde la derivada es positiva 00:47:38
último 00:47:39
último 00:47:43
identifico máximos y mínimos 00:47:52
o categorizo los extremos 00:47:55
bueno, vamos a poner, identifico 00:48:05
los extremos 00:48:07
y mínimos 00:48:12
el primer extremo, el de menos raíz de 3 00:48:20
y esto quedaba, era 6 00:48:23
menos raíz de 3 00:48:26
partido de raíz de 3 00:48:28
es un qué 00:48:29
que es 00:48:32
joder si lo acabo 00:48:36
es un máximo 00:48:39
porque pasa de crecer a decrecer 00:48:44
es decir, en los máximos 00:48:45
la función baja, decretera, decretera 00:49:08
en los mínimos al revés 00:49:16
y a raíz de 3 00:49:27
ahora sin 6 menos 2 raíz 00:49:45
es partido de 3 00:49:47
¿qué es? 00:49:48
mínimo 00:49:52
¿vale? 00:49:52
entonces 00:50:03
Ahora mismo, en esta función ya tendríamos calculado el dominio. 00:50:03
La asíntota vertical, que sabemos que es esta, habríamos hecho el límite por la izquierda y el límite por la derecha. 00:50:09
Habríamos calculado las asíntotas, habríamos visto que tiene una asíntota oblicua. 00:50:14
¿Vale? 00:50:19
Entonces, en realidad, ya sí que la podemos pintar, ¿no? 00:50:21
Ya teniendo el crecimiento, sabiendo que aquí crece, aquí decrece, aquí vuelve a decrecer y aquí vuelve a crecer, 00:50:25
el dibujo ya es relativamente fácil, ¿no? 00:50:33
No, si ya lo hubiéramos hecho. 00:50:38
O sea, ya habiendo hecho las tendencias 00:50:39
y la continuidad y todo, 00:50:41
en realidad aquí ya simplemente sería hacer así. 00:50:43
Lo haremos mejor o peor, pero ya 00:50:47
con el crecimiento sí que sabemos 00:50:49
hacer un... 00:50:51
hacer un esbozo más o menos 00:50:52
decente de la función. 00:50:55
Y ahí se puede cerrar la segunda hora y cuatro. 00:50:56
Claro, pero ahora no hemos hecho el crecimiento. 00:50:58
Hemos hecho el crecimiento, pero en el examen 00:51:00
yo os pondré todo, ¿vale? 00:51:01
A ver. 00:51:05
a ver, pero no solo 00:51:38
en una vez que miren donde están los máximos y mínimos 00:51:56
no hagáis solo donde están los máximos y mínimos 00:51:58
estudiáis el signo entero 00:52:01
y el crecimiento entero 00:52:02
Gracias. 00:52:05
Gracias. 00:52:36
Autor/es:
Mario Coma
Subido por:
Mario C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
63
Fecha:
1 de marzo de 2022 - 13:13
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
52′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
466.27 MBytes

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