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DT.GP.U2.1 y 2.2_ Tangencias y rectas tangentes - Contenido educativo

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Subido el 27 de octubre de 2025 por Carmen O.

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Hoy comenzamos el siguiente tema, que es la unidad 2, que tiene que ver con las tangencias. 00:00:00
Este tema es bastante más entretenido que el que acabamos de terminar, que quizás era un poquito más aburrido. 00:00:06
Y vamos a ver, lo primero de todo, cuáles son las propiedades de la tangencia. 00:00:12
Ya algo sabemos, porque cuando estuvimos trabajando con los triángulos y los puntos notables, 00:00:17
y además de sus rectas, veíamos que teníamos la circunferencia inscrita 00:00:23
y que se nos tenía que quedar tangente a los lados del triángulo. 00:00:29
Entonces vamos a ir viendo primero las propiedades que tenemos 00:00:34
y empezamos con esta primera de aquí que nos dice 00:00:37
una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. 00:00:40
¿Qué quiere decir esto? 00:00:48
Nosotros estuvimos viendo que cuando teníamos en los triángulos una circunferencia 00:00:48
Y estuvimos hablando de tangencias 00:00:55
Si os fijáis aquí tengo una circunferencia y me dice que tiene una recta tangente 00:00:56
¿Cómo va a ser la recta tangente? 00:01:02
Una recta será tangente a una circunferencia siempre que sea esa recta perpendicular al radio 00:01:05
Entonces si os fijáis aquí tenemos esta recta tangente 00:01:13
Que está perpendicular a esto, que es el radio 00:01:18
Vamos a pintarlo un poco para que se vea 00:01:23
Esto de aquí es el radio 00:01:25
Esto, que estoy pintando así un poco en rosita 00:01:28
Esto es el radio de la circunferencia 00:01:31
¿Vale? 00:01:35
La R del radio la podemos ver definida con minúscula o con mayúscula 00:01:37
¿Vale? 00:01:43
Más cosas 00:01:44
Nos dice dos circunferencias de centro O1 y O2 00:01:45
Centro O1, centro O2 00:01:52
Son tangentes en un punto T 00:01:54
Que queda alineado con los centros O1 y O2 00:01:57
Estos son como propiedades axiomas que se cumplen 00:02:01
Y que me tengo que saber 00:02:04
Entonces si os fijáis en estas dos circunferencias 00:02:05
Tengo la circunferencia esta pequeñita O1 00:02:09
Y esta circunferencia de aquí O2 00:02:11
que en este caso son tangentes en este punto de aquí, T, ¿vale? 00:02:14
Cuando son tangentes exteriores, porque una está fuera de la otra, los radios están sumándose. 00:02:21
Si os dais cuenta, yo aquí tengo este radio de aquí de 1 y este radio de aquí de 2, se está sumando, 00:02:30
uno más el otro, uno está a continuación del otro, ¿se ve? 00:02:36
Vale, y aquí tengo una circunferencia, es interior a la otra 00:02:39
Cuando esto ocurre, que vuelve a pasar lo mismo 00:02:45
El centro está alineado con la unión de centros 00:02:49
Por ejemplo, en esta de aquí, si yo uno, o uno y o dos 00:02:52
En esa línea que los une, ahí está el punto T 00:02:56
Está alineado con los centros 00:03:00
Si yo uno aquí, o uno y o dos 00:03:02
¿Veis? Esa línea, la uno 00:03:05
y T está en la alineación de centros 00:03:06
y en este caso en vez de tener una suma de radios 00:03:09
tengo una resta de radios 00:03:13
¿por qué? 00:03:15
al radio de la O2, todo este trozo 00:03:17
le estoy sobreponiendo encima 00:03:20
esta del radio O1 00:03:25
por lo tanto esto de aquí 00:03:28
este trocito 00:03:30
es la resta de radio 2 00:03:31
menos radio 1 00:03:36
porque no son exteriores 00:03:38
al ser interiores se están restando los radios 00:03:40
¿vale? 00:03:43
otra cosa, nos dice 00:03:44
el centro de una circunferencia que pasa 00:03:46
por dos puntos A y B 00:03:48
estará en la mediatriz 00:03:50
del segmento AB 00:03:52
es decir, yo tengo aquí hecha una circunferencia 00:03:53
y de esa circunferencia tú coges 00:03:56
dos puntos, los que tú quieras 00:03:58
A y B 00:04:00
a esos dos puntos, a ese segmento 00:04:01
o a esa cuerda de la circunferencia que forman A y B, le haces la mediatriz y sí o sí te va a pasar por el centro. 00:04:03
Acordaros que cuando hacíamos la circunferencia circunscrita y hallábamos el centro, teníamos tres puntos. 00:04:12
Y entonces teníamos tres puntos, por ejemplo aquí, y hacíamos, vale, pues voy a hacer la mediatriz de esto. 00:04:19
Y ahora me voy a hacer la mediatriz de este punto con este de aquí. 00:04:25
Y donde se cortaban las dos mediatrices teníamos el centro. 00:04:27
¿os acordáis? es decir, el centro está en la mediatriz 00:04:30
de la cuerda, ¿sabéis lo que es una cuerda? 00:04:35
cuando cogemos un punto y otro de la circunferencia 00:04:38
y esa recta o ese segmento no pasa por el centro 00:04:41
si pasa por el centro, voy de aquí a aquí, lo que estoy dibujando es un diámetro 00:04:45
pero si no pasa por el centro 00:04:50
lo que estoy representando es una cuerda, ¿vale? eso lo tenéis que saber 00:04:53
de matemáticas seguro. Y luego nos dice, el centro de una circunferencia tangente a 00:04:57
dos rectas concurrentes estará en la bisectriz de ambas rectas. Entonces aquí que tengo 00:05:04
una circunferencia que es tangente a esta recta de aquí, a esta recta de aquí y a 00:05:09
esta recta de aquí. Si os dais cuenta, ¿qué está haciendo desde el centro? Está trazando 00:05:15
perpendiculares a los lados de este ángulo 00:05:22
o perpendiculares a esas rectas, o sea, esto es un poco 00:05:27
lo que nos ha mostrado en la primera propiedad, veis 00:05:31
esto es una recta perpendicular al radio, esto es una recta 00:05:34
perpendicular al radio, esto de aquí es otra recta y estoy 00:05:38
perpendicular al radio, y el centro de esas circunferencias 00:05:42
que son tangentes a rectas concurrentes 00:05:46
es la bisectri 00:05:50
¿hasta aquí bien? 00:05:52
¿sí? vale 00:05:54
voy a pasar un segundo 00:05:56
¿lo he pausado o no? 00:05:58
ahora no se pausa este 00:06:01
bueno pues 00:06:02
un segundo, voy a sacar 00:06:04
para que no me vaya a saltar nada 00:06:05
creo que me lo trate resuelto y si no no pasa nada 00:06:07
pero es que me gusta tenerlo 00:06:10
para no saltarme las cosas 00:06:12
esto no, porque esto es copia que no vale 00:06:14
Vamos a continuar y nos dice 00:06:19
Tipos de tangencias 00:06:30
Lo que vamos a estar viendo mientras resolvemos los ejercicios 00:06:32
Necesito que os caigáis ahí en el fondo 00:06:34
Para lo que vamos a hacer para resolver los ejercicios 00:06:36
Es lo siguiente 00:06:41
Vais a hacer rectas tangentes A 00:06:42
o circunferencias que son tangentes A, ¿vale? 00:06:45
Entonces, por eso viene aquí en este esquema dividido como en dos partes. 00:06:50
Rectas tangentes A, pues por ejemplo, me dan un punto y me dan una circunferencia. 00:06:54
Entonces, ¿cómo consigo yo hacer una recta que sea tangente aquí y aquí? 00:07:00
Esos procesos los vamos a ir viendo después, pero simplemente para que os hagáis una idea, 00:07:05
lo que os dice es, yo tengo un punto y quiero hacer una recta tangente a esta circunferencia 00:07:09
y que pase por ese punto, lo vamos a hacer aquí a ojo 00:07:15
yo sé que por ejemplo si lo estoy haciendo así, no estoy 00:07:18
tangente, estoy cortando la circunferencia aquí y aquí 00:07:23
entonces yo tengo que seguir moviéndome mi recta, mi regla 00:07:26
hasta que toque la circunferencia en un punto, y ahí es donde 00:07:31
será tangente, vale, entonces esto 00:07:35
punto de tangencia, esto ya lo digo, estoy haciéndolo a ojo simplemente 00:07:38
por explicar un poco, que nos quedamos un poco con el concepto y demás 00:07:43
todo esto se va a calcular, hay que hacerlo con un proceso, con un procedimiento 00:07:46
y lo mismo aquí, yo desde este punto puedo lanzar 00:07:50
digamos dos tangentes, una por arriba y otra por aquí abajo 00:07:55
así, vale, pues 00:07:58
que tengo rectas tangentes a 00:08:03
esta circunferencia desde un punto exterior, y esto que yo estoy 00:08:06
marcando así con estas líneas es importante porque siempre que hagamos tangencias tenemos 00:08:11
que indicar el punto de tangencia. Si no lo hacemos estamos teniendo errores de nomenclatura, 00:08:16
por lo tanto aquí le pongo una T y una T. Habrá ejercicios en los que le pongamos T1, 00:08:22
T2, T3, pero bueno, ahora mismo aquí que es simplemente como un avance con la T nos 00:08:29
vale. Luego tengo aquí dos opciones. Si veis tengo, es como si fuera esto repetido. Eso 00:08:33
es porque yo puedo trazar tangentes exteriores, por ejemplo, por aquí, una por aquí y otra 00:08:40
por aquí, serían dos tangentes exteriores o puedo hacerlo así, esta tangente por aquí 00:08:46
y por aquí y esta tangente por aquí y por aquí, ¿vale? Tangentes exteriores, tangente 00:08:54
interiores, ¿vale? Pues igual me lo voy a hacer aproximado en estas de aquí y yo tengo 00:08:59
esta recta de aquí, que es tangente en ese punto y en este punto 00:09:06
y luego tengo esta recta 00:09:10
de aquí, que es tangente aquí 00:09:14
y aquí, dos tangentes exteriores 00:09:18
con mis puntos de tangencia, t, t, t 00:09:21
y t, y ahora, esta 00:09:25
la voy a hacer interiores, tangentes interiores, pues desde aquí 00:09:30
Y por aquí, es como que se cruzan 00:09:34
Este y este 00:09:37
Punto de tangencia, punto de tangencia, punto de tangencia, punto de tangencia 00:09:44
¿Veis? 00:09:50
Estos son rectas tangentes A 00:09:53
Básicamente es esto 00:09:57
Hay muy poquito más 00:09:59
Básicamente es esto para las rectas 00:10:03
Vale, y ahora me dice circunferencias tangentes A y nos dice, puede ocurrir que conozcas el radio, todas estas es lo que va a ocurrir en primero de bachillerato, en primero de bachillerato siempre en las tangencias, si quiere que hagas una circunferencia tangente a una recta, a otra circunferencia o lo que sea, siempre deberá el radio, por eso nos dice radio conocido. 00:10:05
Esto es primero de bachillerato. Pero el segundo de bachillerato no te va a dar el radio. Por eso te dice que el radio no es conocido. Esto el año que viene. 00:10:34
Segundo de bachillerato. Entonces, ¿esto cómo es? Nos dice circunferencias tangentes A de radio conocido. 00:10:52
Lo que vamos a hacer con ese radio que nos da es que vamos a sumarlo y a restarlo 00:10:59
Lo vamos a hacer también así un poco a modo introductorio para que veáis como es 00:11:05
Lo hacemos a mano alzada y luego ya nos iremos metiendo en final 00:11:09
Siempre te va a dar, para que tú hagas este tipo de ejercicio, siempre te va a dar lo que vale el radio 00:11:12
Ni de 10, ni de 20, ni de 30, 40, siempre te va a dar el valor del radio 00:11:18
Y dos elementos más 00:11:22
Esos dos elementos pueden ser puntos, rectas o circunferencias 00:11:25
En el caso del segundo bachillerato no te va a dar el radio 00:11:30
Pero vas a tener tres elementos para los que hacerle las circunferencias tangentes 00:11:35
Que son punto, recta y circunferencia 00:11:41
Esto va a ser, en segundo tendremos puntos, rectas, circunferencia 00:11:44
vale, si os dais cuenta aquí tengo tres elementos y aquí tengo radio más dos 00:11:52
también vienen a ser tres, vale, y lo mismo con puntos rectos y circunferencias 00:11:58
vale, ¿qué significa esto? 00:12:03
imagina que a nosotros nos dan este dibujo de aquí y te dan un valor de un radio 00:12:05
que es por ejemplo pues este, así, vale, digamos que esto mide 20 00:12:09
¿te ha dado el valor dándote digamos el segmento lo que mide o directamente te ha dicho 20? 00:12:15
Y tú ya sabes que tienes que cogerte 2 centímetros y con eso lo trabajas. 00:12:22
Nos ha dicho aquí que tenemos que sumar y restar radios. 00:12:28
Vamos a hacer aquí simplemente un ejemplo de suma, porque si hacemos suma y resta se nos lía. 00:12:32
Lo vamos a hacer cuando hagamos ya la teoría bien hecha, con la regla y con todo. 00:12:36
Yo aquí tengo un centro y yo tengo aquí una circunferencia que ya tiene un valor de r. 00:12:41
¿no? esto valdrá lo que sea, R 00:12:48
si tú lo prolongas 00:12:52
en este caso estamos haciendo la suma, ¿vale? lo voy a poner aquí 00:12:55
estoy haciendo suma, para sumar un radio 00:13:00
tienes que hacerlo desde el borde de la circunferencia hacia afuera 00:13:03
fijaros que aquí cuando sumábamos era 00:13:08
hacia afuera, una de la otra, son circunferencias exteriores 00:13:12
pero si estás restando 00:13:16
será desde el borde 00:13:18
hacia adentro 00:13:20
¿vale? entonces como estamos haciendo 00:13:23
un ejemplo de suma, yo que hago 00:13:24
me cojo estos 20 con mi compás 00:13:26
me los traigo aquí, desde aquí 00:13:28
para acá 00:13:30
R20 00:13:33
desde el borde 00:13:36
de la circunferencia hacia afuera 00:13:38
yo esta línea que he trazado 00:13:40
aquí, la puedo trazar así 00:13:42
o así, o así 00:13:43
da igual, eso da lo mismo, ¿vale? 00:13:46
simplemente lo he hecho así, vale 00:13:48
entonces tú ahora, ¿qué tendrías que hacer? 00:13:50
pinchar en este centro y 00:13:52
coger con todo tu compás 00:13:54
R más R20 00:13:56
y estarías haciendo esto 00:13:58
esto es como tu circunferencia 00:14:00
suma 00:14:06
¿vale? más o menos, esto es 00:14:07
circunferencia 00:14:10
suma 00:14:12
¿vale? 00:14:14
y aquí tengo una recta 00:14:17
Entonces en la recta, ¿cómo sé yo si estoy sumando? Si lo subo para arriba o si lo subo para abajo. En la recta no existe, pues si la haces para arriba en la suma, si la haces para abajo en la recta. 00:14:19
Entonces yo siempre le llamo suma-resta 00:14:34
Como diciendo, tienes que hacerte las dos opciones 00:14:37
A no ser que el ejercicio te indique una cosa concreta 00:14:41
En este ejemplo, simplemente para que sepáis un poco por qué estamos haciéndolo 00:14:44
Vamos a hacer la suma-resta para arriba 00:14:48
¿Cómo se hace eso? 00:14:51
Yo pongo aquí una perpendicular 00:14:52
Y ahora, este radio me lo subo aquí 00:14:54
Lo voy a poner aquí, más R20 00:14:59
esto, yo creo que más o menos es esa la instancia 00:15:01
y hago así, más menos R20 00:15:06
suma-resta, porque aquí la resta no es 00:15:10
del borde para arriba sumo, del borde para abajo resto 00:15:13
entonces es suma-resta las dos opciones, le hago ahora una paralela 00:15:17
y me da aquí ese punto 00:15:22
donde se encuentra la circunferencia suma 00:15:27
Y la recta suma resta, me dan aquí un punto. 00:15:32
Ese punto va a ser centro de la circunferencia que se me queda aquí tangente. 00:15:38
¿Vale? Que no lo voy a dibujar. 00:15:44
¿Lo veis como lo estoy dibujando así con el boli? 00:15:46
Ese sería el centro y me quedaría tangente a la recta y tangente a la circunferencia. 00:15:50
¿Y si hago el centro de atrás en...? 00:15:55
Aquí. 00:15:58
¿Vale? 00:15:59
Vale, ¿qué ocurre? Por ejemplo, hemos hecho el ejemplo de me dan una circunferencia, me dan una recta y el radio, tres elementos 00:15:59
Ahora aquí me han dado, me dan una circunferencia, me dan otra circunferencia y el radio, ¿vale? Simplemente es tres elementos 00:16:09
Lo mismo, aquí vamos a hacer el ejemplo de la suma, ¿cómo lo hago? Pues a ver, yo tengo aquí el centro, voy a lanzarlo para acá con mi regla 00:16:17
y digo, muy bien, pues tú eres R 00:16:30
y tú 00:16:32
como estoy sumando 00:16:34
es desde el borde 00:16:36
para afuera 00:16:37
más R20 00:16:41
estoy sumando 00:16:44
desde el borde para afuera 00:16:46
¿vale? 00:16:47
y en esta voy a hacer lo mismo 00:16:49
pues yo tengo aquí 00:16:51
mi centro más o menos 00:16:53
voy a lanzar un rayo 00:16:55
para que veáis que da igual si lo lanzo 00:16:57
para arriba, para abajo, voy a hacerlo este para abajo, así, y digo, vale, pues tú ahora 00:16:59
desde aquí para acá eres más R20, te estoy sumando desde el borde para afuera, y ahora 00:17:05
pinchamos aquí y aquí y hacemos las circunferencias, pincho aquí y hago toda esta circunferencia 00:17:17
más o menos a ojo, vamos a suponer que me queda como así 00:17:25
más o menos, más o menos, vale 00:17:29
esto es para quedarnos un poco con la idea, así 00:17:38
y ahora con esto lo mismo, pincho en esta circunferencia 00:17:44
abro todo el radio, R más R20 00:17:48
y hago la otra circunferencia 00:17:51
más o menos, vale, pues yo lo que estoy haciendo 00:17:55
aquí es sumar el radio y si os dais cuenta, en este ejercicio nos ha dado dos posibles 00:18:05
centros, este de aquí y este de aquí, es decir, este podría ser o uno o dos y este 00:18:14
de aquí o uno. ¿Tú ahora desde aquí qué tendrías que hacer? Me tengo que hacer uniones 00:18:26
a los centros para hallar el punto de tangencia porque tú no lo puedes hacer a ojo, eso lo 00:18:31
vamos a hacer más adelante. Entonces yo ya tendría aquí un centro para hacer una circunferencia 00:18:36
exterior y tangente a ellas, por aquí, ¿lo veis? Y podría hacer igual, tengo este centro 00:18:41
y ahora circunferencia exterior a estas dos circunferencias y además tangente, ¿sí? 00:18:47
Os habéis quedado más o menos con lo que hay que hacer, es cojo la medida y la sumo, 00:18:56
por eso nos dice suma y resta de radio, vamos a hacer las dos cosas. Vale, ¿qué 00:19:00
ocurre en segundo de bachillerato? Pues en segundo de bachillerato, simplemente por daros 00:19:06
una pincelada de cara al año que viene, resulta que no me da el radio y tenemos aquí esto 00:19:10
que nos dice que en vez de sumar radios y rectarlos es Apolonio. Apolonio de Bérgamo 00:19:16
lo vimos en los vídeos de la unidad inicial, que nos habla un poquito de él, y vimos el 00:19:21
vídeo de Ágora, de la película de Ágora donde hacía las elipses, pues Apolonio fue 00:19:31
el que dentro de un cono descubrió que estaban las curvas cónicas, ¿vale? Y además pues 00:19:36
estuvo trabajando con las tangencias y digamos que fue un poco el que creó uno de los métodos 00:19:44
que se llama potencia y el método de la inversión, ¿vale? Entonces, ¿cuándo voy a usar potencia 00:19:49
o voy a usar inversión, va a depender del número de haces de centros que consigamos 00:19:56
allá. Por ejemplo, cuando yo tengo dos haces de centros, el método que vamos a usar es 00:20:01
el directo, ¿vale? Método directo. ¿Y cómo es esto? Pues mirad, si nosotros miramos estas 00:20:07
propiedades que tenemos a la izquierda, nos dice que si tú tienes dos puntos y haces 00:20:16
su mediatriz, en esa mediatriz vas a tener el centro de una circunferencia, entonces 00:20:24
si yo cojo y me hago de estos puntos de aquí, me hago la mediatriz, yo sé que en esta mediatriz 00:20:29
va a haber un centro de una circunferencia que va a ser tangente a esta curva que tengo 00:20:40
aquí, ¿vale? y luego hay otra propiedad 00:20:47
que te dice, si tienes un punto 00:20:51
en la circunferencia, cuando le hagas la 00:20:54
perpendicular a ese punto, este es el radio, haces así 00:20:59
la perpendicular y donde se corten 00:21:04
esto es O 00:21:09
centro de tu circunferencia solución, ¿qué pasará aquí? será tangente 00:21:13
en esta parte y pasará también por el otro punto. ¿Veis lo que estoy dibujando? Es decir, 00:21:18
yo aquí tengo dos haces de centros. Tengo esto, HC1, y tengo este de aquí, haz de centro 00:21:25
2. ¿Tengo dos haces de centro? Sí, método directo. Esto lo trabajaremos, los directos 00:21:33
sí lo vamos a trabajar en primero bachillerato, pero esto luego ya se complica más para segundo. 00:21:39
Cuando tengo solo un haz de centros 00:21:44
Voy a trabajar con potencia 00:21:47
¿Cuál es el haz de centros que puedo conseguir aquí? 00:21:50
Solamente este 00:21:55
El de tengo dos puntos 00:21:56
Y aquí, haz de centros, uno 00:21:59
En este haz de centros 00:22:03
No sé dónde es donde estará el centro de la circunferencia solución 00:22:05
Como solo tengo uno, tendré que trabajar por potencia 00:22:08
Eso ya lo haréis el año que viene 00:22:11
¿Y qué ocurre cuando no tengo ninguno? Pues que trabajaremos con inversión, ¿vale? Cuando no tengo ninguno trabajaremos por inversión. Si os dais cuenta, no hay nada en estas propiedades de la izquierda que yo pueda hacer aquí, ¿vale? 00:22:13
Esto simplemente para que sepáis que lo tendremos que ver el año que viene 00:22:32
Vale 00:22:37
Pasa a la siguiente hoja en la que ya vamos a trabajar un poquito 00:22:38
Y vamos a ver estas propiedades que tenemos aquí 00:22:42
Vale 00:22:44
Voy a intentar dejarlo aquí como solapado para que se vean las propiedades 00:22:45
Que me interesa 00:22:51
Así 00:22:52
Vale 00:22:55
Vamos a trabajar en la parte de rectas tangentes A 00:22:57
y nos dice 00:23:03
recta tangente a circunferencia 00:23:05
dada la dirección de la recta 00:23:07
básicamente lo que ha hecho es 00:23:10
que te ha dado esta recta 00:23:13
pero en vez de estar pegada está más lejos 00:23:14
¿qué se os ocurre que podríamos hacer 00:23:16
para acercar esta recta a esta circunferencia? 00:23:20
una paralela 00:23:25
¿y qué más? 00:23:26
¿qué otra cosa tendríamos que tener en cuenta 00:23:29
para asegurarnos que lo hemos hecho bien? 00:23:31
¿Qué tenemos ahí? Una perpendicular, porque claro, mira, hacemos una paralela, hacemos una paralela y yo me voy acercando, acercando, acercando, pero claro, ¿dónde paro? ¿Dónde es exactamente el punto de tangencia? Tienes que hallarlo, no lo puedes hacer a ojo. 00:23:33
Entonces, ¿cómo puedo sacar yo el punto de tangencia exacto? 00:23:57
Trazando la perpendicular a la tangente 00:24:03
Entonces, me pongo aquí en posición de paralela 00:24:07
Y a esa recta, a esa dirección, le voy a hacer la perpendicular 00:24:11
Lo voy a prolongar 00:24:16
Acordaos cómo es la perpendicular, posición de paralela 00:24:19
Y giro 00:24:23
y ahora sí, esto con esto está perpendicular 00:24:24
y me corta aquí a la circunferencia en este punto 00:24:31
esto, este punto de tangencia 00:24:36
¿lo veis? ¿se ha entendido esto? 00:24:42
y ahora cojo y ahora sí, ya sé el punto exacto donde tengo que trazar la paralela 00:24:47
Ahora ya sí, tiene que pasar por aquí y esa es mi recta tangente, la TJ significa tangente y esto es paralelo a esto de aquí. 00:24:53
Ahora ya sí te has trazado una recta tangente o una circunferencia dada su dirección y veis que se cumple que esta recta tangente rosa es perpendicular al radio. 00:25:08
¿Se ve o no? ¿Sí? Vale. Venga, os dejo un pelín para que podáis terminar de copiarlo. ¿Lo tenéis ya copiado? Vale, pues vamos al siguiente. A ver si entre medias consigo subiros los vídeos que están pendientes. Vale. 00:25:20
Siguiente, pues vamos a hacer esta de aquí 00:25:50
Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto 00:25:54
Básicamente eso es lo que tenemos aquí 00:25:57
Solo que ahora lo vamos a hacer bien 00:26:00
¿Cómo se hace? 00:26:04
Tengo que hacer mediatriz de P 00:26:06
Esto lo vamos a llamar O 00:26:08
P, O, tengo que hacer mediatriz 00:26:10
Lo unimos 00:26:13
Hacemos la mediatriz 00:26:14
Mediatriz de P, O 00:26:19
mediatriz de PO 00:26:24
aquí 00:26:32
y ahora, donde me ha cortado 00:26:41
esto es el punto medio, M 00:26:51
trazo la 00:26:53
circunferencia de radio 00:26:55
MP o MO 00:26:57
¿vale? 00:26:59
esto es siempre así, son pasos 00:27:01
digamos que os vais a tener que aprender de memoria 00:27:03
al final, poco a poco 00:27:05
os los aprendéis sin tener que 00:27:07
empollaros como tal 00:27:09
¿vale? 00:27:11
Esto es la circunferencia mediatriz 00:27:11
Circunferencia mediatriz 00:27:18
Para que no nos liemos porque luego vamos a tener muchas más circunferencias 00:27:22
Esa es la circunferencia que hemos hallado trazando la mediatriz 00:27:26
¿Veis que la circunferencia mediatriz corta a la circunferencia dato en este punto y en ese punto? 00:27:30
¿Se aprecia? 00:27:40
pues esos puntos son los puntos de tangencia 00:27:41
entonces vamos a marcarlo con otro color para que se vea 00:27:45
pues con este por ejemplo, esto 00:27:51
T y esto T 00:27:53
le puedo llamar T1, T2 00:28:02
le puedo llamar simplemente T, eso da igual 00:28:05
y ahora 1P con T 00:28:08
Mira, pues si le voy a poner número 00:28:11
Porque este voy a decir que es 00:28:14
Este es T1 00:28:16
Y este es T2 00:28:17
Y ahora 1 00:28:20
P con T1 00:28:23
Y esto es 00:28:25
Tangente 1 00:28:28
Y esto es tangente 2 00:28:30
¿Vale? 00:28:32
¿Hasta aquí bien? 00:28:35
Si quisieras comprobar 00:28:52
Para ver si lo has hecho bien 00:28:54
tú sabes que este punto, esta recta 00:28:56
te tiene que quedar perpendicular al radio 00:28:58
entonces podrías 00:29:00
comprobarlo colocándote así 00:29:02
y diciendo a ver si lo he hecho bien 00:29:04
eso por lo general no se hace 00:29:06
haces así, giras 00:29:07
y dices oye pues mira uno esto 00:29:10
con esto y me sale clavado 00:29:12
lo he hecho bien, he sido exacto 00:29:14
a la hora de trazar 00:29:16
las rectas 00:29:17
ya os digo que no se hace, a no ser que digas 00:29:19
uy esto me está quedando muy raro 00:29:22
yo me parece que algo tengo mal 00:29:23
lo normal es que no se haga, vale, pues seguimos, la siguiente, recta tangente exterior a dos circunferencias, ¿qué vamos a hacer aquí?, os dais cuenta, es la misma circunferencia, la misma circunferencia, bueno, esta es más pequeñita, pero me refiero, dos circunferencias, dos circunferencias, ¿qué vamos a hacer ahora?, esto y esto, esta de aquí y esta de aquí, ¿vale?, ¿qué es lo primero que tengo que hacer?, 00:29:25
Pues esto es, por ejemplo, O1, O2, O1, O2. 00:29:59
¿Qué hay que hacer lo primero de todo? 00:30:07
¿Qué creéis que vamos a hacer? 00:30:08
Mediatriz de los centros. 00:30:11
Exacto. 00:30:13
Mediatriz de los centros. 00:30:14
Pues vamos a hacerlo. 00:30:17
Uno los centros, mediatriz, uno los centros, mediatriz. 00:30:17
Vale, vamos a empezar con la mediatriz. 00:30:33
pincho aquí, vamos a trazar la mediatriz 00:30:35
de O1, O2 00:30:43
yo aprovecho y lo voy a hacer 00:30:45
arriba y abajo, como abajo también la voy a tener 00:30:54
que hacer, pues ya 00:30:56
me lo hago 00:30:57
yo siempre el medio me lo marco más fuerte 00:30:59
para que se vea 00:31:12
vale, punto medio 00:31:14
punto medio 00:31:19
y trazamos ahora 00:31:20
la circunferencia mediatriz 00:31:24
vale, la trazamos 00:31:26
pincho en M 00:31:35
hago O1 00:31:39
radio M1 o M2 00:31:41
y aquí lo mismo 00:31:44
ojo que parece que me pasan 00:31:53
justo justo por estos puntos 00:31:56
de los arcos anteriores, no tiene por qué 00:31:58
ha sido casualidad, vale 00:32:00
últimamente los estoy 00:32:02
clavando todos 00:32:04
vale 00:32:05
si os dais cuenta hasta aquí 00:32:07
hemos hecho, en estos tres ejercicios 00:32:10
hemos hecho exactamente lo mismo 00:32:12
ahora aquí vamos a 00:32:14
tener que hacer suma 00:32:16
y resta de radios 00:32:18
¿vale? 00:32:20
¿cómo se hace esto? vamos a ver, o ¿cómo sé 00:32:22
yo en cuál tengo que sumar 00:32:24
y en cuál tengo que restar? 00:32:27
pues mirad, si nosotros 00:32:29
nos hacemos este ejercicio 00:32:30
aquí en pequeñito 00:32:33
tú lo que quieres hacer en este caso 00:32:34
es que sean exteriores, esto 00:32:41
o sea, así 00:32:43
y así 00:32:46
y aquí quieres que sean interiores 00:32:49
es decir, quieres esto 00:32:54
y quieres esto 00:32:58
este de aquí abajo 00:33:00
os dais cuenta que aquí se cruzan 00:33:02
es como si estuvieran haciendo el símbolo de sumar 00:33:07
con lo cual aquí se suma 00:33:10
aquí vas a sumar el radio 00:33:13
y aquí es como si lo que tú tuvieras 00:33:15
es el de restar 00:33:18
pues entonces restas 00:33:20
eso es como el truquito para acordarte 00:33:23
en cual sumas y en cual restas 00:33:26
porque si no 00:33:28
si no tienes truquito de esto 00:33:29
luego te empiezas a hacer un lío 00:33:31
y lo haces mal 00:33:33
entonces eso es lo 00:33:34
lo que yo uso un poco a modo de 00:33:38
para acordarme de las cosas 00:33:40
vale, hacemos este 00:33:42
restamos 00:33:44
siempre hay que quitarle 00:33:46
a la grande el radio de la pequeña 00:33:48
porque si tú a algo pequeño 00:33:50
le quitas algo grande, lo que tienes es negativo 00:33:52
entonces siempre a lo 00:33:54
grande le quito lo pequeño 00:33:56
¿sí? ¿quién es la pequeña? 00:33:57
o uno 00:34:01
le quito el radio 00:34:01
tengo que coger o uno 00:34:03
su radio 00:34:06
lo mido 00:34:08
¿vale? 00:34:10
aquí, a ver que lo coja 00:34:15
aquí un pelín menos, así 00:34:17
Ahora ya, tengo la distancia. Vale. Con esa distancia, ¿dónde me voy? Al borde. Como yo he cogido esta línea y la he prolongado, pues sobre ella me apoyo el radio. Puedo hacerlo usando esta línea de los centros, que la he continuado, o me hago una en cualquier otra dirección, eso da igual. Vale. 00:34:21
hemos dicho que se sumaba como 00:34:41
del borde hacia afuera 00:34:44
¿no? pero para restar 00:34:45
del borde hacia adentro 00:34:48
esto 00:34:50
vamos a pintarlo para que lo veáis 00:34:53
que lo tenemos todo igual, esto es 00:34:55
desde el borde para adentro 00:34:57
menos 00:35:02
menos el radio de la 1 00:35:05
lo he restado y lo he metido para adentro 00:35:06
¿esto bien? vale 00:35:09
y ahora tengo que hacer 00:35:11
centro en O 00:35:13
irradio 00:35:14
lo que me queda de la resta 00:35:16
pues vamos a ello 00:35:19
vais a tener que 00:35:22
¿cómo se dice esto? 00:35:24
que doblarle las patitas al compás 00:35:26
porque si no nos va a dejar trabajar 00:35:28
porque cuando tenemos círculos tan pequeñitos 00:35:29
hay que 00:35:33
doblarle las patas 00:35:34
ya, es que los compás 00:35:37
sobre todo para circunferencias pequeñitas 00:35:41
son un poco incórdios 00:35:42
vale 00:35:43
con esta distancia que yo tengo 00:35:45
lo que me queda después de haberle 00:35:48
restado el radio 00:35:50
tengo que coger y hacer una circunferencia 00:35:51
esto con cuidado 00:35:54
y haces una vez 00:35:59
no os pongáis a repasarla, si con una 00:36:01
ya se ve, no le paséis más 00:36:03
porque cuando empecéis a hacer círculo de otro círculo 00:36:04
de otro círculo para que se ve, al final conseguís 00:36:07
que se os mueva el compás 00:36:09
y que os haga más la circunferencia 00:36:11
la hacéis una vez, se ve, sí 00:36:13
suficiente, ya no marco más 00:36:15
vale, voy a hacer un poquito de zoom 00:36:17
para que esté más cerca, como ya sabemos 00:36:20
qué es lo que tenemos que hacer 00:36:22
vale, ahora 00:36:23
¿veis que esta circunferencia 00:36:26
que le vamos a llamar 00:36:29
vamos a poner aquí así 00:36:30
circunferencia 00:36:32
resta o 00:36:34
circunferencia diferencia 00:36:37
circunferencia resta 00:36:39
toca a la circunferencia 00:36:41
mediatriz en este punto 00:36:44
y en ese punto 00:36:45
Vale, pues esos son con los que vamos a jugar ahora 00:36:46
Y esto es circunferencia mediatriz 00:36:50
Voy a marcar con un verde para que se vea 00:36:54
Este punto y este punto 00:37:00
Vale, tengo que unir el centro de mi circunferencia O2 00:37:03
Con esos puntos donde se han encontrado 00:37:08
La circunferencia resta y la circunferencia mediatriz 00:37:11
Los unimos 00:37:14
Hasta que corten la circunferencia en un punto 00:37:16
Ese punto va a ser punto de tangencia 00:37:24
Y ahora este con este 00:37:27
Y esto, punto de tangencia T2 00:37:32
¿Lo veis? ¿Se ve bien? 00:37:40
Vale, tú ya tienes los puntos de tangencia en esta circunferencia grande 00:37:50
Te faltan los dos de la pequeña 00:37:55
¿Cómo lo hacemos? Simplemente paralelas 00:37:57
Tengo que trazar la paralela a T1, O2 00:38:00
desde aquí, desde O1 00:38:05
y nos dará aquí un punto de tangencia 00:38:07
Luego, paralela a T2, O2 00:38:09
desde O1 y nos dará aquí el otro punto de tangencia 00:38:12
Entonces, paralelas 00:38:15
Lo voy a hacer por colores para que lo veáis 00:38:16
Voy a marcar esta, por ejemplo, en morado 00:38:19
Este en morado 00:38:21
y esta aquí 00:38:26
se me ha movido 00:38:28
a ver 00:38:30
ahí 00:38:30
aquí 00:38:32
morado, morado 00:38:34
esto T1' 00:38:36
y es paralelo 00:38:41
a esta de aquí 00:38:43
¿veis? 00:38:45
estoy haciendo morado y morado 00:38:47
me voy a coger otro color 00:38:48
el azul este 00:38:51
¿se va a ver? sí 00:38:53
ahora, paralelo a esto de aquí 00:38:54
este que lo voy a pintar en azul 00:38:58
por aquí 00:39:03
este 00:39:07
es paralelo a esta 00:39:12
y me da aquí un punto 00:39:14
T2' 00:39:16
¿asaní bien? 00:39:20
bueno, pero lo entiendes 00:39:27
aunque luego te esté peleando con el compás 00:39:29
¿qué tengo que hacer ahora para sacar 00:39:31
las rectas tangentes? fijaros como eran 00:39:33
T1 con T1, T2 con T2 00:39:35
y eso ya son las dos rectas exteriores y tangentes 00:39:39
a las dos circunferencias 00:39:44
esto ahora es tangente 1 00:39:46
y esto de aquí es tangente 2 00:39:49
¿hasta aquí bien? 00:39:55
vale, para mañana continuaremos este de aquí 00:40:04
y nos haremos las que quedan interiores 00:40:07
que básicamente es un estilo a esto 00:40:09
solo que aquí hemos hecho que la paralela es la misma por arriba 00:40:13
y en este caso la paralela la hacemos por debajo, como al contrario 00:40:17
mañana la hacemos 00:40:21
Materias:
Dibujo Técnico
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Carmen Ortiz Reche
Subido por:
Carmen O.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
2
Fecha:
27 de octubre de 2025 - 11:35
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LA SENDA
Duración:
40′ 26″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
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