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DT2.GP.U12.4, 4.1 y 6_ Parábola y tangentes - Contenido educativo

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Subido el 6 de mayo de 2025 por Carmen O.

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En la clase de hoy vamos a seguir con las curvas cónicas y vamos a empezar a ver qué es la parábola. 00:00:00
Y nos dice, la parábola es una curva abierta y plana. ¿Por qué nos dice que es abierta? 00:00:05
Porque al final la lisa, por ejemplo, acababa cerrándose y sin embargo la parábola, estos ramales de la parábola son infinitos. 00:00:09
Bueno, es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto foco, un punto fijo, que es el foco, 00:00:17
y una recta fija, que es la directriz. Vamos a ver luego qué significa esto. 00:00:25
Y nos dice, la parábola tiene un único eje de simetría que es perpendicular a la directriz. 00:00:30
Es decir, el eje y la directriz son perpendiculares. 00:00:35
Vale. 00:00:41
Tenemos los focos, que es el punto de tangencia del plano secante con la esfera inscrita. 00:00:42
Y esto es lo mismo que vimos, lo del teorema de Dandelín que vimos con la elipse. 00:00:48
Yo tengo aquí mi cono, ¿vale? 00:00:53
Y entonces, ¿cuándo se me va a generar una parábola? 00:00:56
cuando el plano secante o que corta al cono es paralelo a la generatriz del cono, ¿vale? 00:00:58
Entonces es cuando tendría una parábola. 00:01:07
Bien, pues si tú entre la generatriz del cono y ese plano secante eres capaz de inscribir una esfera, 00:01:08
esa esfera va a ser tangente al plano secante en un punto y a ese punto se le llama foco, 00:01:17
lo mismo que pasaba con la elipse, ¿vale? 00:01:23
Luego nos dice, directriz, es la recta intersección entre el plano secante con el plano pi 00:01:25
Que contiene la circunferencia intersección entre el cono y la feria inscrita 00:01:31
Vamos a ver qué significa esto 00:01:35
Voy a hacer aquí un pequeño dibujito 3D 00:01:37
Básicamente, si tú tienes esto 00:01:39
Tú tienes un cono 00:01:41
Más o menos así 00:01:44
Y tienes una fera 00:01:48
Aquí tienes una fera 00:01:49
¿Se ve más o menos la fera? 00:01:52
Vale, entonces, esa esfera la cortas con un plano, este plano pi1, este de aquí 00:01:58
Y entonces te dibuja esta sección que va a ser una sección circular, ¿vale? 00:02:10
Pues esta sección donde corte, ves que corta aquí en este punto y en este punto 00:02:19
es decir, donde toca aquí y aquí en la generatriz, en perpendicular tiene el plano secante. 00:02:25
Estos puntos donde corta, digamos, esos puntos que tiene, digamos, el plano que secciona a la esfera 00:02:36
y nos da esta circunferencia, donde corta con el plano secante nos da este punto aquí que es la dirección, 00:02:44
la dirección, perdón, la directriz, que es esta. 00:02:50
Esto es como si tú coges esto 00:02:52
Esto que tienes aquí 00:02:55
Lo tienes aquí y lo abates 00:02:57
¿Vale? 00:02:59
Coges esto y lo abates 00:03:01
Entonces este punto nos da la directriz 00:03:03
Esto es todo así un poquito a modo teórico 00:03:05
No es una cosa que necesitemos nosotros para los ejercicios 00:03:07
Luego nos dice 00:03:10
Esfera inscrita 00:03:11
Esfera inscrita en el cono siendo tangente a plano secante 00:03:12
Esto que hemos dibujado aquí ahora mismo 00:03:15
¿Y cuál es la excentricidad? 00:03:17
Pues la excentricidad es 00:03:19
Que si tú tienes un punto P en la parábola 00:03:20
y coges, la haces una perpendicular a la directriz, ese punto D o desde P al foco, esta distancia, te da una excentricidad D igual a 1. 00:03:22
¿Por qué? Porque esto al final, PD mide lo mismo que PF. 00:03:35
Entonces, si PD mide 5 y PF mide 5, 5 entre 5, 1. 00:03:42
¿Vale? 00:03:47
vale, más cosas 00:03:48
nos dice, ahora ya vamos a empezar a dibujar encima de la esfera 00:03:52
vamos a ir dibujando todo, de la esfera, de la parábola 00:03:55
vale, a ver así se ve 00:03:58
dice parámetros, eje perpendicular 00:04:03
a la directriz conteniendo el foco 00:04:06
F y al vértice B 00:04:09
el eje que está aquí dibujado 00:04:12
todo el eje que ya hemos dicho que es perpendicular a la directriz 00:04:14
contiene al vértice y a F, ¿vale? Vértice de la parábola y F que es el foco. Luego te dice vértice V es el punto de la curva 00:04:18
contenido en el eje equidistante de la directriz y del foco. ¿Esto qué quiere decir? Que aquí tenemos una dimensión, 00:04:28
esta dimensión es igual que esta. Si esto es por ejemplo el origen, pues de O a V y de V a F tienen la misma distancia, ¿vale? 00:04:37
Vale, parámetro P es la distancia del foco a la directriz, es decir, F o esto, esto es P, ¿vale? 00:04:48
La distancia a esa es P, ¿vale? 00:05:12
¿Qué más cosa me dice? Dice parámetro 2P es la cuerda perpendicular al eje por F. 00:05:15
¿Qué significa esto de la cuerda? Pues si yo tengo... 00:05:23
Como está diciendo que es perpendicular 00:05:26
Me pongo a perpendicular aquí en F 00:05:32
Acuérdate que una cuerda 00:05:34
Por ejemplo en una circunferencia 00:05:42
Era la línea que unía 00:05:44
Dos puntos distintos de la circunferencia 00:05:46
Sin pasar por el centro 00:05:48
¿Vale? 00:05:49
Pues esto 00:05:53
Esta medida es 2P 00:05:58
Por ejemplo si a este punto le llamo A 00:06:01
Y a este punto le llamo B 00:06:05
el 2P es igual a 00:06:07
el segmento AB 00:06:09
¿vale? para que se entienda 00:06:11
¿sí? 00:06:13
vale, vamos a seguir 00:06:15
a ver que más cosas nos dice 00:06:17
¿cuál? 00:06:18
ah, nos dice 00:06:24
que el parámetro P es la distancia 00:06:25
del foco a la directriz 00:06:27
del foco a la directriz 00:06:29
entonces, la distancia que tienes 00:06:30
a esto le llamas P 00:06:33
Sí, ese feo 00:06:35
¿Vale? Y este, digamos, que es lo del parámetro 2P de la cuerda 00:06:39
tan y cual, pues esto sería 00:06:43
¿Vale? 00:06:46
Sí 00:06:50
Vale 00:06:51
Bueno, pues seguimos entonces 00:06:56
¿Por dónde iba? 00:06:59
Ya me he perdido 00:07:00
Vale, sí 00:07:00
Circunferencia principal nos dice 00:07:04
Recta tangente en V, lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a cada una de las tangentes de la cónica 00:07:05
Luego vamos a ver qué es lo que significa esto de los pies 00:07:13
Vale, pues te está diciendo que es una recta tangente en V 00:07:15
Esta de aquí, esto es la circunferencia principal 00:07:20
Esto es C, CP, circunferencia principal 00:07:24
Vale, siguiente, circunferencia focal 00:07:33
Nos dice que es igual que hacíamos, ¿te acuerdas que hacíamos en las elipses que hacías centro en los focos con distancia 2a? 00:07:36
Y entonces teníamos dos circunferencias focales, ¿vale? 00:07:45
Pues aquí te dice que la circunferencia focal es una directriz de la parábola, es decir, es una línea recta. 00:07:48
Porque digamos que la circunferencia focal de aquí se ha ido abriendo tanto, tanto, tanto, tanto, tanto, tanto, que se ha quedado como una recta, ¿vale? 00:07:57
Que va al infinito. 00:08:05
Entonces, la directriz es la circunferencia focal. 00:08:06
Vale, directriz de la parábola, lugar geométrico de los simétricos de los focos respecto a las tangentes de la elipse. 00:08:13
Igual que ocurría en la elipse, que siempre la circunferencia focal era donde estaban los simétricos, 00:08:20
porque estaba la circunferencia focal a una distancia 2a, 00:08:27
pues aquí todos los simétricos de los focos van a estar también en la directriz. 00:08:31
¿Por qué? Porque la directriz al mismo tiempo es circunferencia focal, ¿vale? 00:08:36
Bien, más cosas, radios vectores. 00:08:41
Con los radios vectores, igual que pasaba en la LISE, es, si cogemos un punto, el que sea, 00:08:44
vamos a inventarnos un punto aquí, por ejemplo, este punto P, 00:08:51
pues el radio vector es al unir P con F, con el foco, esto es un radio vector, 00:08:56
y luego perpendicular a la directriz 00:09:02
me pongo aquí con mi escuadra 00:09:08
y ahora perpendicular a la directriz 00:09:13
aquí tengo F' 00:09:20
vamos a ponerle, aunque en la parábola solamente hay un foco 00:09:24
y no tenemos el prima, para no liarnos cuando pasemos de una figura 00:09:28
a otra, a los simétricos siempre les ponemos prima prima, ¿vale? Y esto es perpendicular. 00:09:32
Esto es un radiovector de P y esto es el radiovector de P. Y en este caso los radiovectores miden 00:09:39
igual, son iguales, ¿vale? Voy a poner aquí entre paréntesis igual, igual. Vale, y nos 00:09:46
dice radiovectores distancia de un punto P al foco F y distancia de P a la directriz 00:09:57
se cumple que fp es igual a f'p. 00:10:02
Bueno, sería segunda, porque nosotros le hemos puesto otra comita. 00:10:06
Muy bien, pues ahora vamos a hallar la tangente. 00:10:11
¿Te acuerdas de cómo era una tangente en la elipse? 00:10:14
¿Cuáles eran las dos posibles opciones para sacarla? 00:10:18
O su definición, por decirlo de alguna manera. 00:10:22
La tangente puede ser bisectriz de los radiovectores 00:10:27
o puede ser mediatriz de un foco y el simétrico, ¿vale? 00:10:30
Pues como aquí tengo los radiovectores, también tengo los simétricos. 00:10:35
Pues puedo coger y hacer una mediatriz o puedo coger y hacer, unimos F con el simétrico 00:10:40
y como una mediatriz al final es como si hicieras una perpendicular en un segmento, 00:10:53
Pues si hacemos la perpendicular a esa mediatriz y yo sé que la recta tangente tiene que pasar por P, esto es la recta tangente. 00:10:59
La recta tangente a la parábola por P. 00:11:18
Y nos apuntamos aquí, que puede ser mediatriz, igual que pasaba con la lisa, mediatriz de F, F prima prima, o puede ser bisectriz de radios vectores, ¿vale? 00:11:24
Y esto 00:11:48
Perpendicular 00:11:50
¿Sí? 00:11:53
Vale, y aquí nos decía antes en una definición 00:11:55
Que no le hemos hecho caso y nos decía 00:11:58
Circunferencia principal, recta tangente en V 00:11:59
Lugar geométrico de los pies de las perpendiculares 00:12:02
Trazada desde los focos a cada una de las tangentes a la cónica 00:12:06
Esto 00:12:10
Tú tienes aquí la tangente 00:12:11
Y a esto de aquí se le llama el pie 00:12:16
Y es perpendicular, ¿ves que el pie coincide justo aquí? 00:12:18
¿Ves que el punto medio de F y F' cae justo en la circunferencia principal? 00:12:28
Ese dato es importante, el saber que aquí está cayendo justo en la mitad. 00:12:36
Vamos a ponerle un color inchi para tenerlo presente. 00:12:43
que esto y esto es igual, porque para algún ejercicio te puede ser útil, 00:12:46
porque a lo mejor te da la circunferencia principal 00:12:54
y si tú no eres consciente de que la circunferencia principal, 00:12:56
la distancia que tienes a los focos es exactamente la misma, 00:13:00
puede que no seas capaz de resolver, ¿vale? 00:13:05
Cosas que puedo observar aquí y que me pueden ser útil para un ejercicio, 00:13:09
Que yo aquí, los radiovectores junto con la unión, digamos, de los focos 00:13:14
Forman un triángulo isósceles, ¿vale? 00:13:19
Tengo igual lado aquí, igual lado aquí, triángulo isósceles 00:13:24
¿Vale? 00:13:28
Pues esto hasta aquí 00:13:30
Este que emita, que es bastante simple 00:13:32
Debes sabértelo de memoria 00:13:34
¿Por qué? 00:13:36
Cuando hagas los ejercicios en el que te da la tangente 00:13:39
te va a ayudar mucho a hacerte el esquemita 00:13:42
en chiquitillo para saber 00:13:45
a ver qué dato tengo, qué puedo sacar y qué tal 00:13:47
igual que el elipse 00:13:49
no te hace tanta falta, para la parábola 00:13:50
ayuda mucho, ¿vale? 00:13:54
este esquemita no te hace falta estar poniéndote 00:13:55
dos P ni P ni tal 00:13:58
pero saberte que las distancias son iguales 00:13:59
que esto aquí es perpendicular 00:14:02
que por aquí va la circunferencia 00:14:03
principal y tal, esto es como que te lo tienes que saber de memoria 00:14:05
de hecho cuando 00:14:08
hagamos en la siguiente página 00:14:09
no, en la siguiente, que empecemos a resolver lo de las tangencias, lo dibujaremos, ¿vale? 00:14:11
Vale, pues ahora vamos a para la siguiente y aquí hay otros poquitos de datos teóricos 00:14:17
que resulta que nos los han zampado en algún ejercicio de PAU de Madrid. 00:14:24
Entonces, pues, lo vamos a ver. 00:14:32
Vale, vamos a ver la parábola que es la tangente, la normal, la subtangente y la subnormal. 00:14:34
vale, es que la verdad que la palabrita 00:14:40
bueno, tenemos la tangente 00:14:43
sabemos que es perpendicular 00:14:47
o mejor dicho, la normal es perpendicular a la tangente 00:14:49
tangente 00:14:52
perpendicular a la normal 00:14:54
vale, entonces 00:14:58
cosa que vamos a hacer, pues vamos a coger un punto P 00:15:01
el que nos dé la gana y vamos a empezar 00:15:04
a sacarle datos y demás aquí a la parábola, porque si lo poníamos en el otro ejercicio 00:15:07
nos íbamos a liar con muchas cosas, ¿vale? Entonces vamos a coger un punto, por ejemplo 00:15:15
aquí P, mínimamente, esto es un punto P, y voy a sacar los radiovectores. Con los radiovectores 00:15:19
Yo sé que es unir el punto con el foco 00:15:32
Radiovector de P 00:15:35
Y luego perpendicular a la directriz 00:15:39
¿Vale? Pues perpendicular a la directriz 00:15:43
El otro punto P 00:15:47
¡Ah! Me he torcido 00:15:51
Bueno, no pasa nada 00:15:55
Me va a estorbar luego para la... 00:15:56
No, está bien, vale 00:16:01
Y esto, perpendicular 00:16:02
Y lo mismo, esto es un radiovector de P 00:16:04
Perfecto 00:16:06
Vamos a sacar lo primero de todo la tangente 00:16:07
Porque si yo no tengo la tangente no puedo sacarla normal 00:16:11
Entonces la tangente decíamos que podía ser bisectriz de radios vectores 00:16:14
O mediatriz del foco y del simétrico 00:16:20
¿Qué tengo aquí? 00:16:23
Radios vectores, pues lo voy a hacer con bisectriz 00:16:25
De verdad, no sé cuándo se mira a mí las dos 00:16:27
Pues voy a coger y voy a hacer la bisectriz 00:16:32
Mediatriz del foco y el simétrico 00:16:40
Igual que pasaba en la elipse 00:16:44
Pues 00:16:46
Aquí no lo voy a hallar 00:16:50
Porque como tengo los radios vectores 00:16:53
No lo hallo 00:16:54
Aquí, sí, lo podrías poner si quisieras 00:16:55
Podrías poner que esto 00:17:00
A ver si me acuerdo y esto lo muevo para abajo 00:17:03
Y aquí tengo 00:17:06
Pero yo por cambiar 00:17:11
Este lo voy a hacer con bisectriz 00:17:15
Para no tenerlos todos iguales 00:17:16
Vale, entonces yo cojo y me hago la tangente 00:17:18
La bisectriz 00:17:22
Vale, esto es mi tangente 00:17:25
Perfecto 00:17:34
Tangente 00:17:38
Vale 00:17:38
¿Cuál es la normal? 00:17:42
La normal es cuando tú coges 00:17:48
Y por el punto de tangencia 00:17:51
Que en este caso es P 00:17:53
Haces la perpendicular 00:17:54
A esa tangente 00:17:56
que dijimos cuando estuvimos estudiando la elipse 00:17:59
que valía simplemente para si te dice que hagas una circunferencia tangente a la curva 00:18:02
ya sea una elipse o ya sea una parábola en un punto 00:18:09
pues tú ya sabes que en la normal es como el haz de centros 00:18:12
y que ahí será donde pongas el centro de tu circunferencia. 00:18:16
¿Vale? 00:18:23
Normal. 00:18:27
Ahí la tenemos. 00:18:28
Vale, y ahora vamos a ver qué es la definición de subtangente y subnormal 00:18:29
Pues vamos a escribirlo 00:18:42
Voy a ponerlo aquí que lo veas con el zoom 00:18:44
Subtangente, subtangente y subnormal 00:18:47
Son la proyección de la tangente y de la normal 00:18:58
sobre el eje de la parábola, ¿sí? 00:19:19
Vale, entonces, ¿cómo proyecto yo la tangente y la normal? 00:19:49
Pues yo tengo todo este trozo de aquí, desde el punto P hasta el eje, 00:19:55
todo esto sería, todo esto es la normal, lo proyecto en perpendicular, 00:20:00
y desde P proyecto en perpendicular 00:20:05
y ahora todo este trocito que hay 00:20:16
desde donde se me ha proyectado hasta donde me corta 00:20:25
la normal al eje, esto es la subnormal 00:20:29
y desde donde me corta la tangente al eje 00:20:35
a donde está la proyección de P 00:20:41
todo esto es la subtangente. Si a este punto en el que se ha proyectado 00:20:44
el punto P, le llamamos por ejemplo, pues no sé, P', si esto es P', resulta que P'P es 00:21:05
la media proporcional de la subtangente y la subnormal. Sí, ahora me lo voy a escribir 00:21:19
para que lo tengas. P', este segmento, ¿vale? Esto de aquí es media proporcional, media 00:21:26
proporcional de la subtangente y la subnormal. Acuérdate que la media proporcional tú lo 00:21:44
que tenías es dos segmentos, pones uno a continuación del otro, haces mediatriz, pinchas 00:22:02
en el centro el punto medio y entonces donde tienes la unión de un segmento y el otro 00:22:13
subías en perpendicular y donde 00:22:18
cortara con el arco, eso era la media 00:22:20
proporcional 00:22:22
¿vale? porque esto en los ejercicios 00:22:23
es que te pueden pedir, es que de hecho 00:22:27
creo que pidieron algo así en uno de Madrid 00:22:28
que era con la subtangente, te daban 00:22:30
estas dimensiones y entonces 00:22:32
claro, no podías sacar P 00:22:34
vamos, que ahí pilló a todo el mundo, básicamente 00:22:35
a partir de ahí es cuando 00:22:38
se ha ido incluyendo un poco eso 00:22:40
en lo que se explica 00:22:42
vale, entonces tienes que saber esto 00:22:43
¿vale? lo de que es media 00:22:46
proporcional, vale, siguiente cosa, a ver, que no me quiero saltar nada, vale, imagínate 00:22:48
que en esta parábola tenemos otro punto, vamos a tener otro punto, cualquiera, pues 00:22:56
este punto aquí, por ejemplo, Q, y desde ese punto vamos a coger y vamos a hacer otra 00:23:07
tangente. Esto también 00:23:18
cayó. Lo que va a salir 00:23:22
ahora también cayó en un 00:23:25
examen. Y lo mismo. Pues a todo el mundo 00:23:27
lo pilló que madre mía. Yo creo 00:23:29
que es que van buscando propiedades a ver qué es lo que 00:23:34
te pueden zampar en 00:23:36
la pauta. Vale, y esto es el 00:23:37
radiovector de Q. Y ahora 00:23:40
en perpendicular 00:23:42
o bueno, lo voy a hacer así. 00:23:43
En perpendicular a la directriz 00:23:52
desde Q 00:23:55
tengo el otro radiovector. 00:23:57
aquí en perpendicular tenemos radio vector de Q 00:24:01
y esto digamos, este punto de aquí sería también simétrico del foco 00:24:13
¿vale? porque la distancia es la misma 00:24:19
hemos hecho una perpendicular, este punto que yo he dado aquí 00:24:23
esto sería otro más, ¿vale? 00:24:26
acuérdate que en todo lo que es la directriz 00:24:28
que resulta que es circunferencia focal de la parábola 00:24:31
aquí esto está, vamos, de infinitos puntos simétricos 00:24:33
Vale, pues aquí puedo coger, me hago otra vez otra bisectriz, 00:24:37
tengo los radios vectores y voy a dar la tangente que pasa por Q. 00:24:42
Me voy a hacer la otra tangente que pasa por Q y esto es tangente. 00:24:48
Tangente de Q, la tangente de P. 00:25:26
Vale, resulta que donde se corten las dos tangentes, se cortan, 00:25:28
pueden ser cualquier dos tangentes, ¿vale? Cualquiera. 00:25:36
se cortan en un punto, ese punto lo llamo por ejemplo M 00:25:39
voy a poner otro color, para que se vea 00:25:43
voy a poner el verde este 00:25:50
esto es M, donde se cortan la tangente y la otra tangente 00:25:52
tengo un punto M, vale, pues ahora 00:25:59
voy a poner aquí 00:26:02
tangente de P 00:26:07
Intersección 00:26:11
Con tangente de Q 00:26:13
Me da un punto M 00:26:15
¿Vale? 00:26:17
Y ahora, mediatriz 00:26:19
Mediatriz 00:26:21
De P 00:26:25
Q, me da un punto 00:26:26
Esto es todo como teoría 00:26:31
Me lo tengo que salir de memoria 00:26:35
Por si me lo jampan en un ejercicio 00:26:37
Voy a hacer la mediatriz de PQ 00:26:39
Voy a hacer solo en un lado 00:26:43
¿Vale? Para que no se me ensucie mucho el dibujo 00:26:50
por el otro. La mediatriz o el punto medio que tengo entre P y Q me da un punto M', es 00:26:52
decir, este punto de aquí, esto, M'. Pues resulta que cuando tú tienes el segmento 00:27:28
M, M', 00:27:43
ese segmento es paralelo 00:27:45
al eje. 00:27:48
Y desde esto aquí 00:27:58
lo vamos a comprobar 00:27:58
a ver si me ha salido bien. 00:28:03
Este segmento, lo voy a hacer en discontinua 00:28:10
simplemente, bueno, no, 00:28:12
creo que lo voy a hacer entero. 00:28:14
Este segmento es paralelo 00:28:18
al eje. 00:28:20
¿Vale? 00:28:23
Y por lo tanto 00:28:24
M y M prima 00:28:30
indican 00:28:33
la dirección 00:28:35
del eje 00:28:39
es decir, te pueden dar un ejercicio 00:28:42
en el que te den dos rectas 00:28:47
tangentes, vamos a hacerlo aquí 00:28:49
un poco sucio 00:28:51
imagínate que te dan un ejercicio 00:28:53
así 00:28:55
y te dicen que 00:28:57
hayes el eje de la parábola 00:29:01
el foco, no sé qué, un montón de cosas 00:29:03
vale 00:29:05
Pues tú tienes este punto donde se cortan las tangentes 00:29:06
Que esto sería M 00:29:10
Te tienes que hacer la mediatriz 00:29:12
De los puntos de tangencia 00:29:15
Porque P y Q, recuerda que son puntos de tangencia 00:29:17
¿Vale? 00:29:19
Te haces la mediatriz 00:29:21
Imagínate, te da esto así 00:29:22
Pam, pam, pam, pam 00:29:24
¿Vale? 00:29:26
Ese punto medio es M' 00:29:27
Entonces cuando tú los unas 00:29:29
Esto es la dirección 00:29:32
del eje 00:29:35
con lo cual tú ya sabes 00:29:38
que el eje va a ser 00:29:40
paralelo a esta dirección de aquí 00:29:42
y además 00:29:45
fíjate en una cosa, cuando tú 00:29:46
haces los radiovectores, los que son 00:29:48
perpendiculares a la directriz 00:29:50
fíjate en esto 00:29:52
mira, cuando haces el radiovector 00:29:54
que es perpendicular a la directriz 00:29:56
este radiovector aquí es paralelo 00:29:58
con lo cual 00:30:00
también es paralelo al radiovector 00:30:04
Esto podría ser paralelo, paralelo 00:30:06
Y pues un radiovector de P 00:30:13
Y desde aquí, paralelo, radiovector de Q 00:30:15
¿Vale? 00:30:20
O sea que puede venir bien para ejercicios de ese tipo 00:30:23
Ya sabes la dirección 00:30:25
Pues puedes sacar el radiovector 00:30:27
Con el radiovector ya a lo mejor eres luego capaz de sacar también 00:30:29
Evidentemente con más datos 00:30:32
El simétrico, etcétera, etcétera 00:30:33
¿Sí? 00:30:36
¿Hasta aquí bien? 00:30:37
Vale, pues esto 00:30:37
Hay que sabérselo de memoria 00:30:40
Porque 00:30:43
Es lo que te va a ayudar 00:30:45
A sacar los ejercicios 00:30:47
¿Vale? 00:30:48
Una cosa simplemente 00:31:00
Sin apuntarlo 00:31:01
Ni nada 00:31:02
No lo vamos a apuntar 00:31:03
Imagínate que aquí tienes un punto 00:31:04
Por ejemplo 00:31:05
Pues lo voy a llamar 00:31:06
Punto 00:31:09
¿Vale? 00:31:13
Aquí tienes un punto X 00:31:14
Tú desde aquí 00:31:15
Puedes tarzar 00:31:18
tangentes exteriores a la parábola, ¿vale? 00:31:19
Y ese punto X también forma 00:31:24
triángulo isósceles con los focos. 00:31:28
Esta distancia que tú tienes de X al simétrico 00:31:34
y de X al foco, también te forma 00:31:37
aquí un triángulo isósceles, ¿vale? 00:31:42
Simplemente así como da tu patrón. 00:31:47
Vale, pues a ver 00:31:49
Esta lámina de aquí 00:31:51
La tienes que hacer en casa 00:31:52
Con los vídeos que están ya colgados en el aula virtual 00:31:54
¿Vale? 00:31:57
Está colgado ya de cómo sacar 00:31:59
Una parábola por puntos 00:32:01
Por haces proyectivos y la intersección de recta y parábola 00:32:03
Eso está colgado 00:32:06
Nosotros vamos aquí al meollo 00:32:08
Que es tangente de la parábola 00:32:11
Me he mirado todos los ejercicios 00:32:12
De Pau de Madrid 00:32:23
y solo hay un ejercicio de hipérbola. 00:32:25
O sea, de elixes y parábolas sí hay bastantes, 00:32:28
pero de hipérbola solo hay uno. 00:32:31
Entonces estoy ahí un poco con la esa de 00:32:34
¿te explico la hipérbola o no te la explico? 00:32:36
Estoy ahí que no sé. 00:32:38
¿No te la explico? 00:32:40
A ver, yo creo... 00:32:42
Ha caído solo una vez. 00:32:44
Entonces, yo qué sé. 00:32:48
Vale. 00:32:50
Bueno, pues vamos a empezar con las estas de la parábola. 00:32:51
Vale. 00:32:56
El otro día hicimos tangentes a la elipse con un punto contenido en la elipse, un punto exterior y dirección de la tangente 00:32:57
Pues igual lo vamos a hacer aquí con la parábola 00:33:05
Punto contenido en la parábola, punto exterior a la parábola y dirección tangente 00:33:07
Entonces empezamos, dice tangente a la parábola por un punto de la curva 00:33:12
Definición de tangente, ¿cómo era? 00:33:16
¿Vale? Del foco y el simétrico, perfecto 00:33:25
Tengo un foco, puedo sacar el simétrico y además también tengo un radiovector, si yo uno esto con esto, unir el foco con P, yo sé que esto es radiovector y ahora a la directriz le hago una perpendicular y ya tengo el foco simétrico y también el radiovector. 00:33:31
radiovector de P 00:34:00
foco simétrico 00:34:08
vale 00:34:10
y entonces aquí 00:34:10
como me pide la tangente 00:34:11
pues puedo hacer eso 00:34:13
bisectriz 00:34:14
o mediatriz 00:34:15
lo que yo quiera 00:34:15
yo creo que voy a hacer 00:34:16
mediatriz 00:34:18
cojo 00:34:19
uno 00:34:22
el foco y el foco 00:34:22
y no me hace falta 00:34:23
hacer la mediatriz 00:34:27
porque tengo el punto 00:34:28
de tangencia 00:34:29
entonces lo único 00:34:30
que tengo que hacer es 00:34:30
perpendicular 00:34:31
a la unión del foco y el foco simétrico 00:34:33
y luego simplemente 00:34:37
esto 00:34:38
por el foco, por el punto 00:34:45
de tangencia, esto es mi tangente 00:34:49
ya lo tengo 00:34:51
¿sí? 00:34:53
lo puedo hacer con bisectriz si quiero 00:35:01
voy a marcar que esto es perpendicular 00:35:08
que a mí me gusta 00:35:11
para que quede claro y lo vayamos metiendo en la cabeza 00:35:12
vale, y ahora tangente 00:35:17
exterior 00:35:19
Sí, tangentes por un punto exterior 00:35:21
Vale 00:35:23
Cosas 00:35:24
Que puedo sacar 00:35:26
El radiovector 00:35:29
Vale, pero el radiovector 00:35:34
Digamos que lo tengo cuando el punto 00:35:36
Está en la parábola 00:35:38
Si no, no se llama radiovector 00:35:39
Creo yo 00:35:41
Sí, cuando el punto está en la parábola 00:35:42
Cuando está fuera, no 00:35:46
Vale 00:35:47
Podríamos sacar un simétrico 00:35:47
Del foco 00:35:52
Los simétricos siempre son del foco. 00:35:57
¿Dónde van a estar ese simétrico? 00:36:01
Bueno, vamos a recopilar. 00:36:05
Desde el punto P, ¿cuántas tangentes puedo hacer? 00:36:07
Dos. 00:36:10
Entonces, si puedo hacer dos tangentes, ¿cuántos simétricos voy a tener? 00:36:11
Dos. 00:36:14
¿Y dónde van a estar situados los simétricos? 00:36:16
¿Dónde se sitúan los simétricos en la parábola? 00:36:19
En las directrices. 00:36:24
Es decir, aquí los voy a tener. 00:36:25
¿Vale? 00:36:28
Yo sé que si yo, por ejemplo, pinchar aquí con el compás y cojo esta distancia, 00:36:31
si yo hago así, me corta aquí, ¿no? 00:36:41
La distancia es la misma. 00:36:44
O sea que yo puedo coger desde P, es como que lo mismo que aplica aquí, aplica aquí. 00:36:46
Yo puedo coger desde P hasta F y ya tengo la distancia. 00:36:52
¿Sí? 00:37:01
Pues yo me cojo mi distancia de P al foco. 00:37:04
es que no estoy segura, a ver si me acuerdo 00:37:07
pero es que yo creo que cuando el punto 00:37:11
está fuera de la curva no se le llama 00:37:14
radiovector 00:37:16
voy a ver si lo veo en los libros 00:37:17
pero me creo que no se le llama 00:37:19
así, vale 00:37:22
entonces aquí arriba tengo 00:37:23
pues f'1 00:37:25
y aquí abajo tengo 00:37:27
la f'2 00:37:35
vale 00:37:44
y ahora si yo quiero hallar las tangentes 00:37:46
¿qué tengo que hacer? 00:37:48
la mediatriz, vale 00:37:52
voy a ir avanzando pero luego te voy a hacer 00:37:53
una pregunta 00:38:05
a ver si te acuerdas 00:38:06
vale 00:38:08
yo tengo hecha mi mediatriz 00:38:09
y vale, yo sé que la tangente 00:38:23
me pasa por aquí 00:38:26
pero tú tienes que dar el punto de tangencia 00:38:26
siempre 00:38:31
aquí, ese es el vértice 00:38:33
si te acuerdas de las 00:38:46
era, para sacar el punto de tangencia 00:38:49
era con el simétrico 00:38:51
en la elipse 00:38:53
tenías que unirte con el otro foco 00:38:55
y cortaba en algún sitio 00:38:57
y aquí es, desde el simétrico 00:38:58
haces una perpendicular 00:39:01
y es como si estuvieras 00:39:03
hallando P 00:39:05
solo que en vez de llamarle P 00:39:06
le vas a llamar T 00:39:08
¿ves? este P es un punto de tangencia 00:39:10
sí 00:39:14
y está en la curva 00:39:16
Es un punto de tangencia en la curva 00:39:17
Y tú desde aquí, ¿qué haces? 00:39:20
Radio vector perpendicular 00:39:22
Tengo el foco 00:39:23
Esto, aquí, estaba perpendicular 00:39:26
Perpendicular 00:39:28
Y donde te corte tienes el punto de tangencia 00:39:30
Entonces a ver así 00:39:32
Dime 00:39:35
No, el foco de la parábola 00:39:39
Solo es 1 00:39:46
¿Vale? 00:39:47
Y esto, en vez de llamarlo P 00:39:49
Pues es punto de tangencia 00:39:51
T, T1 00:39:53
y este de aquí 00:39:55
desde este foco 00:39:57
que no me ha cortado aquí 00:39:58
lo prolongo aquí así a mano alzada un poco 00:40:03
esto 00:40:08
no, digamos que la elipse 00:40:11
tiene dos focos que siempre son F y F' 00:40:14
y la parábola tiene un único 00:40:17
foco que es F 00:40:19
y da igual 00:40:20
digamos 00:40:22
da igual el punto desde que tú hagas las tangentes 00:40:24
que los simétricos 00:40:27
van a ser 00:40:28
Los métricos 00:40:29
O sea, sí que puedo 00:40:31
Tener infinitos simétricos 00:40:32
Según como esté haciendo la tangente 00:40:35
Por ejemplo, a mí esta tangente 00:40:37
Me cae así 00:40:40
¿No? 00:40:41
Pero imagínate que en vez de darte este punto 00:40:43
Te da otro, te lo da aquí 00:40:45
Pues ya te cambia la tangente 00:40:46
Te cambia el simétrico 00:40:49
¿Vale? 00:40:50
Vale, esto aquí perpendicular 00:40:53
Esto aquí perpendicular 00:40:54
Y ahora tengo el punto de tangencia 00:40:56
que tengo un punto de tangencia. Ahora sí, cuando yo estaba haciendo la perpendicular, 00:40:58
ahora ya sí, digamos que es como 00:41:04
a modo de comprobación, que la tangente pasa por 00:41:10
P y por T1 y que 00:41:14
en el otro caso pasa por P y por 00:41:18
T2. Bueno, aquí tengo un poco de error, no sé por qué. 00:41:24
Y esto sería tangente 1 y esto 00:41:30
tangente 2 00:41:33
¿vale? 00:41:35
ya por ejemplo, mira 00:41:39
yo aquí sí que me he hecho la perpendicular, pero aquí 00:41:41
no me la he hecho, ¿por qué? porque si 00:41:43
yo sé que en la perpendicular tiene que estar 00:41:45
el punto de tangencia 00:41:47
pues 1P con T2 00:41:48
y ya lo tengo, ni siquiera me tengo que hacer la 00:41:51
línea de unión entre los focos 00:41:53
es que al final esto 00:41:54
va siendo un poco en, ¿qué me apetece hacer? 00:41:57
mediatriz, ¿qué me apetece hacer? 00:42:00
bisectriz 00:42:01
en los puntos de tangencia es verdad que los tienes que sacar siempre 00:42:02
entonces si los sacas 00:42:05
pues ya va a ser tiro hecho 00:42:07
vale, y ahora aquí 00:42:09
dirección tangente 00:42:12
pues igual 00:42:13
yo sé que cuando 00:42:15
quiero sacar el simétrico 00:42:18
del foco, porque básicamente siempre hay que sacar 00:42:20
el simétrico del foco 00:42:22
cuando yo quiero sacar el simétrico del foco 00:42:23
yo sé que va a estar aquí 00:42:26
vale 00:42:27
primero, ¿cuántas 00:42:29
tangentes voy a tener 00:42:32
que tengan esta dirección? 00:42:34
Una, la de aquí arriba 00:42:37
porque aquí abajo lo que estoy 00:42:38
es cortando, ¿vale? 00:42:40
Entonces yo sé que aquí en la directriz 00:42:42
que es también circunferencia focal 00:42:44
porque te puede decir el ejercicio 00:42:46
y haya, estás haciendo el ejercicio 00:42:48
de la parábola y haya la circunferencia 00:42:50
focal y tú dices, ¿esta cuál es? 00:42:52
La circunferencia focal de una 00:42:55
parábola en la directriz, ¿vale? 00:42:56
Es que luego te pueden dar muchas vueltas 00:42:59
en los ejercicios, ¿vale? 00:43:00
Entonces yo sé que aquí, en la directriz o circunferencia focal, es donde van a estar los simétricos. 00:43:02
¿Cómo lo hallarías? 00:43:10
¿Qué ocurre aquí? 00:43:19
Las tangentes son perpendiculares al foco y al simétrico. 00:43:26
Tienes la dirección de la tangente, entonces tú le puedes trazar desde F una perpendicular a la dirección de la tangente. 00:43:34
Pones aquí 00:43:42
Haces así 00:43:45
Y aquí tienes tú 00:43:51
Perpendicular a la dirección de la tangente 00:43:56
¿Quién es este? 00:43:59
Este punto 00:44:03
F'' 00:44:04
Este es el simétrico 00:44:05
Perfecto 00:44:07
Pero ya hemos dicho que tú no te puedes coger 00:44:09
La dirección de la tangente 00:44:16
O la mediatriz y bisectriz 00:44:18
Y directamente trazarla y ya está 00:44:19
Tú tienes que hallar el punto de tangencia 00:44:22
Como lo hayas 00:44:23
¿Vale? ¿Desde dónde? 00:44:26
Exacto, paralela al eje desde F, F' 00:44:35
O perpendicular a la directriz 00:44:37
Desde F', ahí 00:44:40
Donde me corte tengo el punto de tangencia 00:44:43
Perpendicular o, como has dicho, paralela al eje 00:44:46
Y ahora ya sí 00:44:52
Cojo mediatriz, que ni siquiera me la tengo que dibujar 00:44:54
Mediatriz a F, F' que pase por T 00:44:59
Como ya tengo el punto de tangencia 00:45:06
Y además es que estoy obligado a sacarlo 00:45:09
Pues ya ni me molesto en hacerme la mediatriz 00:45:12
Tangente 00:45:14
Y ahí lo tires 00:45:15
¿Hasta aquí bien? 00:45:16
Esto es así 00:45:40
¿Qué ocurre ahora en el otro ejercicio? 00:45:41
Que no nos da tiempo ya de terminar 00:45:43
Estos son como ya un poquito pues ejercicio 00:45:45
¿Vale? 00:45:47
En el que tienes 00:45:50
La tangente, un punto de tangencia y el foco 00:45:52
y tienes que darle la vuelta. 00:45:54
Hay que hacerlo al revés, ¿vale? 00:45:56
Aquí te va a pedir que dice, 00:45:59
haya el eje, la directriz 00:46:00
y también vamos a hallar, por ejemplo, el vértice 00:46:02
y tal, vamos a sacar más cosas. 00:46:04
Es al revés. 00:46:07
Te doy datos y generalmente los ejercicios son así. 00:46:08
Te doy tangentes y tú sácame todo lo demás. 00:46:11
¿Vale? 00:46:14
Pero siempre necesitamos pasar un poco por este paso 00:46:16
para entender las cosas. 00:46:18
Vale. 00:46:22
Materias:
Dibujo Técnico
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Carmen Ortiz Reche
Subido por:
Carmen O.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
1
Fecha:
6 de mayo de 2025 - 13:46
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES FRANCISCO AYALA
Duración:
46′ 23″
Relación de aspecto:
16:9 Es el estándar usado por la televisión de alta definición y en varias pantallas, es ancho y normalmente se le suele llamar panorámico o widescreen, aunque todas las relaciones (a excepción de la 1:1) son widescreen. El ángulo de la diagonal es de 29,36°.
Resolución:
1272x720 píxeles
Tamaño:
888.73 MBytes

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