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Ecuaciones de grado mayor que dos - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Maria Jose G.

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Buenas, en este vídeo vamos a resolver la siguiente ecuación que nos proponen, la cual como vemos tiene grado mayor que 4 y tampoco puedo suponer tal cual está la ecuación que sea una ecuación de grado mayor que 2 de tipo especial, tipo bicuadrada u otra. 00:00:01
Lo primero que debería hacer es despejar este segundo miembro, pasar todos los sumandos que tengo aquí, transponerlos al primer miembro y después decidir si es de algún tipo especial o no. 00:00:20
Entonces en el primer miembro voy a dejar todos los sumandos que tengo, x al cuadrado, 8x al cubo, más x al cuadrado, menos 9x, más 10, y ahora con un poquito de cuidado voy a realizar la transposición y el producto de este paréntesis, que es lo primero que deberíamos hacer en realidad. 00:00:32
hace. Este 3x al cubo yo me lo quito restando, menos 3x al cubo y aquí este paréntesis, 00:00:54
bueno, menos 2 por x al cuadrado me va a dar menos 2x al cuadrado y bueno, pues puedo eliminarlo 00:01:03
sumando 2x al cuadrado, ¿vale? Y este menos 2 multiplicando por menos 5 va a resultar 00:01:09
más 10 en el segundo miembro. Si lo quiero eliminar del segundo miembro lo que tengo 00:01:18
que hacer es restar 10 unidades. Y por tanto en el segundo miembro no quedaría nada, porque 00:01:23
he realizado las operaciones pertinentes, restar 3x al cubo, sumar 2x al cuadrado y 00:01:29
restar 10 unidades para que desaparezcan todos los términos del segundo miembro. Voy a juntar 00:01:36
todo lo que tengo, por ejemplo, x a la cuarta solo tengo estas, x a la cuarta, x al cubo 00:01:43
pues tendré aquí 8x al cubo, junto con estas menos 3 tengo más 5x al cubo, x al cuadrado, pues aquí tengo una x al cuadrado y otras dos son 3x al cuadrado, 00:01:49
x tengo menos 9 únicamente, pues tengo menos 9x y por último las unidades, 10 unidades con 10 unidades que se van, pues desaparecen. 00:02:07
¿De acuerdo? Si efectivamente lo que tengo es una ecuación de grado mayor que 4 y lo que resulta no es una bicuadrada. Los exponentes de la x son 4, 3, 2, 1, nada. 00:02:19
Lo que sí que puedo realizar, chicos, y es que cuando tengo una ecuación de grado mayor que 4, se suele trabajar así, es una vez que tengo todos los sumandos igualados a cero, esto lo puedo considerar un polinomio, polinomio vamos a llamarle p de x, 00:02:36
Y bueno, pues si yo lo que busco son los valores de X que hacen que el polinomio se anule, sería exactamente lo mismo que buscar una raíz del polinomio. 00:02:57
Así que, en realidad, voy a dedicarme a buscar una raíz de polinomio de la misma forma que lo hago al factorizar. 00:03:08
En este caso, bueno, pues veremos qué tengo que hacer, si tengo que tirar por Ruffini o por otro método. 00:03:16
En este caso, lo que me doy cuenta es que todos los sumandos, x a la cuarta, 5x al cubo, 3x al cuadrado, 9x, todos tienen al menos una x. 00:03:23
Entonces lo suyo sería empezar sacando factor común la x. 00:03:36
x al cubo más 5x al cuadrado más 3x menos 9. 00:03:41
Esto ya supone el que yo conozca una de las soluciones 00:03:48
Porque si la x vale 0, esta igualdad se va a cumplir 00:03:54
Puesto que 0 por cualquier otra cosa que valga el paréntesis va a tener resultado 0 00:04:02
Por lo tanto una de las soluciones sería x igual a 0 00:04:10
solución, una de ellas, x igual a cero. El resto de las soluciones me las va a dar el polinomio que está dentro del paréntesis, ¿vale? 00:04:14
Ya he visto que si esta x valía cero, la igualdad se cumplía, pero bueno, puede ser que el paréntesis también sea lo que valga cero. 00:04:28
Entonces, cualquier otra cosa por el valor 0 también daría 0. 00:04:37
Entonces, ahora sí voy a buscar raíces de este polinomio de grado 3. 00:04:43
¿De acuerdo? 00:04:49
Buscar raíces en un polinomio de grado 2 es muy fácil porque puedo utilizar directamente la fórmula de la ecuación de segundo grado. 00:04:51
Cuando yo tengo un polinomio de grado 3, para buscar raíces suelo utilizar Ruffini. 00:04:59
En Ruffini, lo único que realizamos es en esta caja, colocamos todos los coeficientes del polinomio, que si es de grado 3 habrá 4, no os olvidéis del término independiente, el de grado 3 es el 1, grado 2, 5, coeficiente de grado 1, 3 y el término independiente menos 9. 00:05:04
¿Vale? Esto está bien que vosotros penséis que si tenéis un polinomio de grado tal, voy a tener tal más uno coeficientes, bueno, pues únicamente por controlar que lo estamos haciendo bien. 00:05:27
Hay también otro truco que justamente se cumple en este caso, que es comprobar si la suma de todos los coeficientes me da 0. Es el caso, fijaos, 1 más 5 es 6, más 3 es 9, menos 9 es 0. 00:05:41
Este caso me viene bastante bien porque lo único que implica es que la raíz es 1 00:05:55
No tengo que ir tanteando, ya directamente tengo una de las raíces 00:06:02
¿Por qué? Porque vosotros pensad 00:06:06
Si yo sustituyera la x por el valor 1 00:06:10
Lo único que tendría que hacer es juntar los valores de los coeficientes 00:06:15
Los valores de los coeficientes son tal que estos 00:06:22
Si yo lo sumo y me da 0 es porque 1 era una de estas raíces, ¿de acuerdo? Mirad, lo compruebo con Ruffini, bajo el 1, 1 por 1, 1, 5 y 1, 6, 6 por 1, 6, 3 y 6, 9, por 1, 9, menos 9 y 9, 0. 00:06:24
Efectivamente, si yo tengo en el resto cero es porque el 1 era una de las raíces. 00:06:39
Esto de aquí, ya sabemos que es raíz. 00:06:49
En el supuesto caso de que este truco no se cumpla, ya sabéis que las raíces están escondidas en los divisores del término independiente. 00:06:55
En este caso he tenido suerte y además no voy a seguir haciendo Ruffini. 00:07:03
No os aconsejo que seguís haciendo Ruffini. ¿Por qué? Porque yo las otras dos raíces que me quedan, puesto que este polinomio es un polinomio de grado 3, como mucho tiene tres raíces y ya tengo una, las otras dos que me quedan están escondidas en el polinomio de grado 2 que me ha dejado Ruffini. 00:07:08
Este polinomio de grado 2 sería, estos son sus coeficientes, pues sería x al cuadrado más 6x más 9. 00:07:28
Es preferible realizar la fórmula de la ecuación de segundo grado, porque yo en realidad lo que necesito es que este polinomio valga 0. 00:07:38
Pues bueno, es tal cual resolver una ecuación de segundo grado con la fórmula menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a. 00:07:48
Pero en este caso voy a borrar este igual a 0 porque si yo lo que quiero es factorizar, en vez de buscar las raíces, factorizar este polinomio. 00:07:59
Ya sabéis que, bueno, pues para factorizar buscamos raíces y también para buscar raíces factorizamos de esta siguiente forma. 00:08:13
Ese polinomio es, vamos, factorizable en un solo paso. 00:08:21
El paso es darte cuenta de que esto es una identidad notable. 00:08:26
Fijaos, aquí tengo un cuadrado, aquí tengo otro cuadrado, justamente x al cuadrado es cuadrado de x, 00:08:31
9 es cuadrado de 3 y el doble de 3 por x es justamente 6x. Esto de aquí es la identidad notable, la primera, la de suma al cuadrado, de x más 3 al cuadrado. 00:08:38
Perfecto. Si vosotros conseguís factorizar un polinomio también tenéis sus raíces. Ya sabéis que por el teorema del factor cada raíz está asociada a un factor y cada factor está asociado a una raíz. 00:08:52
En este caso, si yo tengo el factor x más 3 repetido, es porque tengo como raíz el número menos 3. Esta raíz sería raíz doble porque este factor aparece dos veces, como veis aquí elevado al cuadrado. 00:09:07
Bueno, pues yo ya podría resolver esta ecuación, ya podría dar todas las soluciones. Mirad, esta ecuación es una ecuación de grado 4, como hemos dicho. 00:09:28
Como mucho tendría cuatro soluciones y las tiene. Porque mirad, el factor común que he sacado aquí, x, ya hemos deducido que me daba la solución 0. Cada vez que pueda sacar factor común la x es porque x igual a 0 es una de las soluciones de la ecuación. 00:09:43
La otra raíz, el valor x igual a 1, era raíz de este polinomio, por tanto lo hacía 0 y por tanto también resolvía la ecuación. Es otra de las soluciones. 00:10:04
Y por último, este polinomio que he conseguido factorizar como x más 3, suponía que el valor x igual a menos 3 también hacía 0 esto y por tanto menos 3 también hace 0 este polinomio de aquí, el del paréntesis y por tanto también supone que es una de las soluciones de la ecuación. 00:10:18
Bien, esta última solución podríamos indicar que es una solución doble, puesto que proviene de una raíz doble. 00:10:47
Por tanto, las soluciones de esta ecuación serían 0, 1 y menos 3, menos 3, menos 3 dos veces, ¿de acuerdo? 00:10:56
Y bueno, pues así es como hemos resuelto una ecuación de grado 4, pues convirtiéndola en un polinomio en el que hay que buscar sus raíces. 00:11:03
vale, muy fácil 00:11:13
espero que lo hayáis entendido 00:11:14
y bueno, pues ya sabéis 00:11:17
a practicar 00:11:19
Autor/es:
MARIA JOSE GARRO CEBALLOS
Subido por:
Maria Jose G.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
99
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 19:17
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS ROZAS I
Duración:
11′ 21″
Relación de aspecto:
5:4 Es el estándar al cual pertenece la resolución 1280x1024, usado en pantallas de 17". Este estándar también es un rectángulo.
Resolución:
852x682 píxeles
Tamaño:
24.32 MBytes

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