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Madrid 2020 Matemáticas Modelo A 3 a

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Subido el 17 de noviembre de 2019 por Pablo Jesus T.

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vamos a resolver un problema modelo evau 2019-2020 de la comunidad de madrid de 00:00:13
geometría 3d para eso vamos a hacer que se vea la vista gráfica 3d y también la 00:00:20
vista cas porque haremos ahí nuestras cuentas como veis pues mientras 00:00:27
está puesto esto de vista aparecen estos iconos que me permiten colocarlo así que 00:00:34
Voy a poner aquí la vista algebraica, la vista CAS y la vista donde vamos a poner el problema, ¿de acuerdo? 00:00:42
Bueno, cuatro ventanas, lo colocáis un poquito, aquí quitamos los ejes y la cuadrícula 00:00:54
y aquí en la vista gráfica normal vamos a insertar nuestro problema. 00:00:59
Para ello pinchamos en imagen, la seleccionamos, que la tengo aquí capturada y aquí la tengo. 00:01:05
Como veis, pues tiene dos puntos A y B que ya sabéis para lo que sirven. 00:01:16
Y os recuerdo que si los borramos, la imagen ya se queda a un determinado tamaño, al tamaño original, 00:01:23
que por otro lado es el que yo quiero, en este caso, sino simplemente ocultarlos y ya está. 00:01:33
Por simplicidad con el problema, si vosotros no los borráis porque queréis hacerlo más pequeño 00:01:41
y para eso hay que mantener los puntos A y B, lo que sí que os recomiendo es que los renombréis 00:01:48
a P1 y P2, por ejemplo, para que se vean. 00:01:53
Bueno, lo primero que voy a hacer es un ejercicio de texto para que veáis que esto también se puede escribir en GeoGebra, un pequeño ejercicio de látex. 00:01:56
Entonces vamos a pinchar aquí en texto, marcamos fórmula látex y en avanzado vamos a empezar por escribir, como aquí es un texto, 00:02:06
pues podemos poner R1 00:02:22
así 00:02:24
con la tecla de subrayado 00:02:25
es para poner su índice 00:02:27
aunque luego cuando trabajemos con ello 00:02:29
en GeoGebra 00:02:31
os recomiendo que lo llaméis R1 a secas 00:02:34
porque si no después 00:02:37
para llamarlo en otras órdenes 00:02:39
pues siempre nos va a ir haciendo complicaciones 00:02:40
que sea R1 00:02:43
bueno 00:02:44
vamos a poner el símbolo este 00:02:44
de las tres rayitas 00:02:48
definido, idéntico 00:02:49
vale, ahora vamos a poner 00:02:52
en látex 00:02:55
este símbolo 00:02:56
de las llaves 00:02:58
bueno, fijaros que esto nos va a hacer 00:02:59
unas llaves 00:03:02
del tamaño que haga falta 00:03:03
como estáis viendo aquí 00:03:06
pero si no queremos que 00:03:09
ponga raya al final, podemos borrar 00:03:12
eso, pero hay que poner 00:03:14
un puntito, porque si no 00:03:16
no entiende que se cierre esto 00:03:18
¿de acuerdo? 00:03:22
bueno, ahí vamos a poner nuestras 00:03:23
ecuaciones 00:03:26
para eso vamos a utilizar un array 00:03:28
hay muchas maneras de ponerlo 00:03:31
podríamos utilizar binom 00:03:33
porque solamente vamos a poner dos cosas 00:03:34
podríamos utilizar atop 00:03:37
pero vamos a utilizar un array 00:03:38
así que ponemos 00:03:43
barra begin 00:03:44
de que aquí comienza nuestro array 00:03:45
y entre llaves la palabra array, o array o array, o como lo queráis llamar, ¿de acuerdo? 00:03:48
Y para que esto funcione, pues hay que ponerle un end, vamos a hacerlo ya, array, entre llaves. 00:03:58
Bueno, como veis parece que no ha pasado nada, pero ya en medio podemos definir una matriz en filas y columnas. 00:04:09
por ejemplo si yo quiero separar en dos filas 00:04:19
pues se hace con una doble barra invertida 00:04:23
entonces aquí ahora ya lo que ponga en este lado 00:04:26
será la línea de arriba 00:04:28
y lo que ponga en el otro lado la línea de abajo 00:04:31
si quiero utilizar dos columnas como va a ser el caso 00:04:34
porque es lo que me parece que han utilizado en látex 00:04:37
para escribir el examen 00:04:39
si os dais cuenta el X y el Y están justificados 00:04:41
pero estos están justificados como central 00:04:45
Entonces le vamos a añadir aquí, dado que vamos a hacer dos columnas 00:04:48
L, L y C, Left y Center 00:04:52
Eso, que de momento no hace nada, va a hacer que nuestra primera columna se alinee a la izquierda 00:04:54
Y la segunda al centro 00:05:00
Por iros explicando 00:05:01
Pero bueno, un poquito de látex 00:05:03
De acuerdo, pues ahora escribiré X igual 00:05:05
Esa es nuestra primera columna 00:05:07
Y ahora el símbolo ampersand, mayúscula 6 00:05:10
Eso hace que pasemos a la segunda columna 00:05:12
Y pues escribimos z menos 1, ¿de acuerdo? Luego esto lo podremos copiar para la segunda y no tener que escribir tanto, ¿vale? Ahora nos vamos a la derecha, como veis ya está listo para escribir nuestra segunda fila, igual, ampersand, y ahí escribiremos 2 menos 3z. 00:05:17
Como estáis viendo abajo en la vista previa, pues está quedando fenomenal como nosotros queremos, ¿de acuerdo? 00:05:42
Y si queréis que quede más parecido al tipo de letra, pues le podéis marcar Sheriff y ya tenemos nuestra ecuación. 00:05:53
Le damos OK y como veis, vamos a poner aquí arriba el X9, configuración, lo vamos a poner un poquito más grande. 00:06:02
Recordar que normalmente después de cambiar el tamaño es mejor dar aquí OK, por lo menos en la 5 es imprescindible. 00:06:19
en la 6 se ve que es más lista 00:06:26
y vamos a coger el color azul 00:06:29
de acuerdo 00:06:30
porque nosotros vamos a pintar esta recta en azul 00:06:33
si queréis podéis poner el objeto sujetado 00:06:36
ya para que no se mueva 00:06:39
muy bien 00:06:40
pues ahora 00:06:41
simplemente vamos a hacer lo mismo con la segunda 00:06:44
si nosotros 00:06:47
hacemos doble clic 00:06:48
para editarlo 00:06:51
podemos copiarlo 00:06:53
control c 00:06:54
y cuando pongamos nuestro segundo texto 00:06:55
pues con control V ya podemos poner R2 00:07:00
tenemos casi todo escrito, solo hay que poner aquí 00:07:04
4 más 5Z y aquí 00:07:07
4Z menos 3 y nos hemos ahorrado 00:07:14
escribir un poquito. Alguno me podría decir 00:07:20
bueno, ¿y esto no se podrían haber definido las ecuaciones como dinámicas? 00:07:24
Pues sí, claro, haber intentado que cuando pusiera otra ecuación en algún sitio de otro enunciado, pues me lo cogiera automáticamente. 00:07:28
Bueno, ya tengo mis dos ecuaciones de las rectas. 00:07:45
Bien, vamos a empezar el problema en GeoGebra, yo puedo escribir esto como un plano, x igual a z menos 1 y ponerlo como un plano, le doy enter y aquí tengo el primer plano, 2 menos 3z igual a 2 menos 3z que me daría el segundo plano y lógicamente mirar que no sé por qué no lo llama ecuación 2 que es como debería llamarlo, 00:07:49
supongo que es porque empieza por la letra I 00:08:21
y por eso se cree que es una función 00:08:24
como veis ahí tenemos los dos planos 00:08:27
y la intersección es la recta que buscamos 00:08:34
de hecho no la voy a quitar para que lo veáis 00:08:37
que es la recta que buscamos 00:08:39
en realidad esto a nosotros no nos vale 00:08:43
nosotros lo que queremos es un punto A 00:08:45
que nos dé 00:08:47
que en este caso sería 00:08:50
si cogemos los términos independientes 00:08:53
menos 1, 2, 0 00:08:55
ahí tenemos nuestro punto A 00:08:57
por supuesto en la intersección de los dos planos 00:09:03
voy a dejar ahí 00:09:06
un vector U 00:09:07
que lo escribiremos así 00:09:08
vector 00:09:11
y ahora vamos a poner A 00:09:12
coma, para que salga de A 00:09:15
A más 00:09:17
y entre paréntesis 00:09:19
voy a poner las coordenadas del vector 00:09:21
Eso, si yo solo escribo vector, o me hace desde un punto A hasta un punto B, que aquí no tenemos el punto B, o si pongo simplemente las coordenadas, en este caso, que serían 1, menos 3, 1, pues me lo haría siempre en el origen. 00:09:23
Entonces este es el pequeño truco para hacer que salga de A. 00:09:41
Tengo el vector 1, menos 3, 1, pero saliendo de A. 00:09:47
Muy bien, pues ya veis que tengo efectivamente sobre la intersección. 00:09:51
Y finalmente escribimos la recta. 00:09:56
La recta va a ser A, U. 00:10:00
entonces pues me la ponen paramétricas 00:10:08
y ya la tengo 00:10:11
a esta recta es a la que voy a renombrar 00:10:14
y voy a llamar R1 00:10:16
sin su índice porque sea más fácil después 00:10:19
vale, pues ya tengo R1 00:10:22
ahora puedo coger esta herramienta 00:10:24
copiar estilo visual 00:10:27
pinchar en mi texto que ya puse en azul 00:10:29
pinchar en el punto, en el vector y en la recta 00:10:32
¿De acuerdo? Pues así tengo mi recta azul, ¿lo veis? 00:10:36
Ahora, como ya he visto dos maneras de hacerlo, voy a ocultar las dos ecuaciones de los planos porque no me interesan. 00:10:42
La segunda la voy a hacer directamente como he hecho esta, es decir, voy a definir el punto B, que va a ser 4 menos 3, 0. 00:10:50
voy a definir el vector v 00:11:03
que va a ser 00:11:08
como hemos dicho antes 00:11:11
b, b más 00:11:15
y ahora el vector 00:11:17
que sería 5, 4, 1 00:11:18
ahí le tenemos 00:11:21
y finalmente 00:11:27
r2 que va a ser 00:11:28
para no tener que cambiar luego el nombre 00:11:31
la recta 00:11:33
b, v 00:11:35
muy bien 00:11:38
y ahí la tengo 00:11:40
volvemos a lo de antes seleccionamos copiar estilo visual y vamos a poner las tres cosas 00:11:42
en rojo muy bien pues ya tengo las dos rectas como veis no es muy difícil ver 00:11:49
se cruzan aquí hay un ejercicio muy interesante que es intentar poner las paralelas porque de 00:11:57
Y ahí podríamos sacar la distancia, ¿no? 00:12:06
Muy bien. 00:12:10
Pero así, claro, los chicos no lo pueden hacer. 00:12:12
Lo que los chicos harían realmente es, y esto lo vamos a hacer en la vista CAS, 00:12:16
es una matriz en la que aquí pondríamos el vector u, 1, menos 3, 1. 00:12:21
Y aquí pondríamos el vector v, 5, 4, 1. 00:12:34
Muy bien, esa matriz, si yo calculo el rango, 00:12:39
haciendo cualquier determinante, se ve que son distintos de cero cualquiera de los de 2x2, 00:12:46
pero por hacerlo automáticamente le digo, dime el rango de la matriz 1, y me dice 2. 00:12:54
Por cierto, podríamos hacer también ya el vector AB, 00:13:00
que luego me va a venir bien, le voy a llamar W. 00:13:05
W igual a vector AB 00:13:08
Y ese sí que le voy a dejar en negro 00:13:11
Que me va a venir bien después 00:13:14
Bueno, ya tengo el vector W 00:13:16
El vector U 00:13:19
Y el vector V 00:13:20
El vector V y el vector U 00:13:23
Les vamos a poner la etiqueta visible 00:13:27
Que después me van a interesar 00:13:29
¿Vale? 00:13:32
Bueno 00:13:34
Vale 00:13:35
Entonces el rango de Uyube es 2, lo cual me garantiza que ya no van a ser ni coincidentes ni paralelas, ¿verdad? 00:13:36
Y ahora vamos a ver si se cortan o se cruzan numéricamente. 00:13:49
Para eso pues hacemos otra matriz, ahora ponemos W, 5, menos 5,0. 00:13:53
Bueno, os recuerdo que aquí, si solamente me interesara el rango, podría poner 1, menos 1, 0, ¿de acuerdo? 00:14:02
Porque para el valor del determinante daría igual. 00:14:10
Pero ya sabéis todos que en un ejercicio como este, o en este ejercicio concreto de cálculo de la distancia entre dos rectas que se cruzan, 00:14:16
Este valor, este determinante que vamos a hacer ahora 00:14:26
Aquí lo tenemos, determinante de dólar 3 00:14:31
Pues es el producto mixto, ya me estoy adelantando 00:14:35
Pero bueno, entonces le ha hecho con 5 menos 5, 0 00:14:39
¿Vale? Porque este número me va a valer 00:14:46
Aunque repito, si solamente quisiéramos el rango 00:14:47
Sería más sencillo poner 1 menos 1, 0 00:14:50
Para discutirlo 00:14:52
Bueno, como el rango de estas dos y estas tres 00:14:54
las rectas se cruzan, eso es lo que habría que contestar en estudiar su posición relativa 00:14:56
y ahora nos dice hallar la distancia entre ellas 00:15:03
bueno, pues ya sabéis que la distancia entre ellas es una fórmula que nos da el producto mixto de v y w 00:15:06
entre el producto vectorial de u por v 00:15:14
¿de acuerdo? el producto vectorial de u por v 00:15:19
aquí se puede hallar haciendo u 00:15:23
y ahora para escribir vectorial 00:15:26
se puede poner producto vectorial también 00:15:29
o sea, si empezamos por pro 00:15:31
pues ahí hay producto vectorial 00:15:32
¿de acuerdo? 00:15:37
pero otra manera, repito, es poner u 00:15:38
y ahora el símbolo del producto vectorial 00:15:41
¿qué le tenemos aquí? 00:15:43
aquí, si nos vamos a esto 00:15:44
pues tenemos el símbolo del producto vectorial 00:15:47
¿De acuerdo? Y ahora ponemos v y, como veis, nos sale el vector menos 7, 4, 19, que se sale y que no nos interesa mucho, ¿vale? 00:15:50
Nos va a interesar después su módulo, pero que le vamos a hacer aquí de otra manera. 00:16:02
Así que, bien, entonces, lo que sí que estaría bien es que pudiéramos, ya que lo estamos haciendo con GeoGebra, 00:16:08
no hacer solo cuentas y ver que realmente es el producto, o sea, el cociente, perdón, entre el volumen del paralelepípedo y el área de la base. 00:16:14
Para eso vamos a construir nuestro parámetro epípedo. Entonces vamos a poner aquí primero el vector, para que lo veáis, a, coma, a más v, para que tengamos los tres vectores. 00:16:30
¿De acuerdo? Le llama B, pero nosotros vamos a hacer que se vea V en la... en la... aquí en el dibujo. 00:16:53
¿De acuerdo? Entonces, como veis, tenemos tres vectores, V y W, pintados sobre A, que son los que nos van a hacer nuestro paralelepípedo. 00:17:05
¿Y cómo se hace ese paralelepípedo, ese prisma rectangular? 00:17:15
Bueno, pues eso primero lo vamos a hacer aquí. Escribimos prisma, abro paréntesis, dejaros, no hace falta que elijáis nada, vamos a elegir que empiece por A, después va a ir a A más U, después va a ir a A más U más V, ¿de acuerdo? 00:17:20
de tal manera que voy a definir el cuadrilátero de la base 00:17:44
a más v y finalmente a más w para darnos la altura 00:17:54
y ahora ya es cuando sí que ha aparecido 00:18:01
entonces os recuerdo, siempre que queramos hacer este prisma con tres vectores 00:18:03
el punto donde salimos, a más u, a más u más v, a más v 00:18:07
Eso nos da los cuatro puntos de la base. Uno, dos, tres, cuatro. Y el punto de la otra base se llama su W. Y ya es como lo pinta GeoGebra. 00:18:13
Como veis ya nos dice el volumen, que obviamente es, como habíamos dicho, el producto mixto. Me gusta ponerlo en verde. Y aquí tenemos el prisma. 00:18:30
¿Vale? El paralelepípedo que nos va a dar después el ejercicio 00:18:44
Si os dais cuenta, nos han salido ahí todas las aristas 00:18:48
Y si miramos aquí, pues no están las aristas 00:18:55
Lo ha llamado C al prima, pero no están las aristas 00:18:59
Esto ya lo hemos visto en otro ejercicio 00:19:02
Se trata simplemente de pinchar aquí 00:19:05
irnos a el simbolito 00:19:08
este gráfico de GeoGebra y decir que se vean los objetos 00:19:12
auxiliares, ahora ya como veis aquí 00:19:16
pues me salen todas las caras y todas las aristas y una manera 00:19:20
pues es coger las 12 aristas, una 00:19:24
a ver si me deja bien, cogerlas 00:19:27
empezamos por aquí, una, dos, tres 00:19:31
la cara no 00:19:36
el prisma 00:19:38
5, 6 00:19:43
7, 8 00:19:44
10, 11 y 12 00:19:47
si ahora le doy botón derecho 00:19:51
quitar la etiqueta visible 00:19:52
pues ya me las ha quitado 00:19:54
podría hacer lo mismo con los puntos 00:19:56
si no quiero que se vean los puntos 00:19:59
C, D 00:20:01
y E 00:20:03
pues les quito la etiqueta visible 00:20:03
ahora podéis ver que la cara 1 00:20:07
es la orden polígono A, A más U, A más U más V, A más V 00:20:10
es decir, es la base definida por los vectores U y V 00:20:17
entonces si esta cara damos configuración 00:20:25
la ponemos por ejemplo en negro 00:20:29
y opacidad 100, pues tendremos la base 00:20:32
que por cierto, también esa cara 1 00:20:38
esa cara 1 00:20:42
tiene de área 20,64 00:20:47
si también en configuración le desmarcamos objeto auxiliar 00:20:51
pues cuando ahora yo vuelva a marcar 00:20:56
desmarcar, que no se vean todos los objetos auxiliares 00:21:00
aquí se me ha quedado la cara 1 00:21:04
además del prisma, que es lo que nosotros estábamos buscando 00:21:08
¿de acuerdo? entonces ya tenemos 00:21:12
el paralelepípedo, tenemos la base 00:21:15
que está definida por y por v, pues ya solamente nos queda 00:21:19
dividir, que lo podemos hacer aquí 00:21:24
C entre cara 1 00:21:27
y nos da 2,66 00:21:34
por cierto, si nosotros simplemente hubiéramos dicho 00:21:37
que nos hubiera calculado la distancia 00:21:40
entre las dos rectas 00:21:43
R1 y R2 00:21:46
pues también da 2,66 00:21:49
y ¿cómo es como nos lo tendrían que haber dado los alumnos? 00:21:52
Pues finalmente aquí tendrían que haber hecho el valor absoluto de 4 partido por la raíz cuadrada del vector u por v. 00:21:57
Bien, ¿cómo habríamos hecho el producto vectorial de u por v? 00:22:06
Pues los chicos habrían hecho i, j, k, que esto no es un determinante, pero lo vamos a resolver como ello, 00:22:10
y 1 menos 3 es 1 00:22:18
ya sabemos lo que va a dar porque nos lo hizo automáticamente 00:22:21
GeoGebra arriba, pero para enseñarles a los chicos 00:22:28
que en realidad lo que haríamos sería el determinante 00:22:31
de $6 y como veis nos sale 00:22:35
menos 7, 4, 19, si nosotros hacemos 00:22:41
la raíz cuadrada de 00:22:45
entre paréntesis, menos 7 al cuadrado más 4 al cuadrado más 19 al cuadrado, 00:22:49
pues ya tenemos raíz cuadrada de 426, que es el módulo del producto vectorial 00:23:02
y por tanto el área de la base. 00:23:13
Ya solo nos queda dividir 4, el valor absoluto de dólar 4 entre dólar 8 00:23:16
Y nos sale la distancia entre las dos rectas 00:23:36
55 partido por raíz de 426, que es lo que tendrían que haber contestado los chavales 00:23:43
y que debería dar 2,66 00:23:48
si nosotros le decimos primero 00:23:53
que nos lo desarrolle o que nos lo factorice 00:23:56
pues veremos que sale 00:23:59
raíz cuadrada 426 00:24:02
es 2 por 3 por 71 00:24:04
no lo puede simplificar 00:24:07
simplemente ponemos la raíz arriba 00:24:10
y si queremos saber el valor 00:24:13
pues pincharemos aquí 00:24:15
cálculo numérico 00:24:17
y nos da 2,66 00:24:19
evidentemente 00:24:23
lo mismo que las otras dos maneras 00:24:24
de hacerlo de GeoGebra 00:24:27
y así tendríamos hecho 00:24:28
el apartado A 00:24:29
del ejercicio 3 00:24:33
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
250
Fecha:
17 de noviembre de 2019 - 19:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
24′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
75.79 MBytes

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