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Introducción a los logaritmos - Contenido educativo

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Subido el 25 de octubre de 2020 por Rafael O.

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Vamos a ver una pequeña introducción a los logaritmos. 00:00:03
Lo primero es la definición. 00:00:07
Se llama logaritmo en base a de p y se escribe log a p al exponente al que hay que elevar la base a para obtener p. 00:00:09
Dicho de otra forma, logaritmo en base a de p es igual a x, si y solo si, es decir, si se cumple esto, se cumple esto otro, a elevado a x es igual a p. 00:00:21
Por tanto, un logaritmo no es otra cosa que un exponente. 00:00:31
Es el exponente al que tienes que elevar a para que nos dé b. 00:00:35
Por ejemplo, ¿cuándo lo vamos a utilizar? 00:00:39
Cuando queremos resolver ecuaciones en las que la integral con mitad está en el exponente. 00:00:41
Entonces usamos los llamados logaritmos. 00:00:46
Por ejemplo, si tenemos 3 elevado a x igual a 18, 00:00:47
entonces lo que hacemos es que la x es el logaritmo en base 3 de 18. 00:00:51
Cogeríamos la calculadora y lo calcularíamos. 00:00:58
Los logaritmos, igual que las potencias, tienen una serie de propiedades 00:01:01
Estas propiedades son que el logaritmo en base a de 1 es igual a 0 00:01:06
Porque a elevado a 0 es 1 00:01:10
Otra propiedad es que el logaritmo en base a de a es igual a 1 00:01:13
Porque a elevado a 1 es a 00:01:18
Aquí tenemos una de ellas, empezamos con las propiedades más importantes 00:01:21
Que es el producto, un logaritmo del producto lo convertimos en suma 00:01:28
Igual que recordamos en las potencias 00:01:32
Si teníamos un producto de la misma base 00:01:35
Se sumaban los exponentes 00:01:38
Eso es lo que estamos haciendo aquí 00:01:40
Si en vez de un producto tenemos un cociente, una división 00:01:42
Pues en vez de sumar, lo que hacemos es restar 00:01:46
Ahora si tenemos el logaritmo de una potencia 00:01:48
¿Qué se hacía con las potencias? 00:01:53
Cuando tenían una potencia y una potencia 00:01:55
Se multiplicaban los exponentes 00:01:57
Pues aquí pasa lo mismo 00:01:58
El exponente pasa multiplicando 00:01:59
n por el logaritmo de base a de b. 00:02:02
Y por último, si lo que tenemos es un radical, el radical recordamos lo podemos poner como potencia 00:02:06
y al expresarlo como potencia el índice pasa al denominador, 00:02:12
una vez lo podemos aplicar la propiedad 5 y el exponente pasa multiplicando 00:02:17
y nos queda la fracción k partido por n por el logaritmo de base a de b. 00:02:22
Vamos a ver una serie de ejercicios que son los que vamos a ver durante el curso. 00:02:27
Por ejemplo, tenemos este. 00:02:31
Nos dice calcular el término que falta en cada uno de los siguientes logaritmos usando la definición. 00:02:32
Tenemos todos estos ejemplos, todos estos ejercicios, vamos a ir haciéndolos poco a poco. 00:02:38
Ejercicio, logaritmo en base 2 de 32. 00:02:42
Cuando nos piden calcular el logaritmo usando la definición, lo que vamos a hacer es factorizar el número. 00:02:45
Lo primero, ponemos la definición, que el logaritmo en base a de p es igual a x, si y solo si, a elevado a x es igual a p. 00:02:52
Por tanto, lo que vamos a intentar es factorizar cuando nos den p, vamos a factorizarlo. 00:03:00
Intentar ponerlo con la misma base que a y que el exponente sea x. 00:03:06
Entonces, logaritmo en base 2 de 32, 32 es 2 elevado a 5. 00:03:11
Como las bases coinciden, la base de la potencia y la base del logaritmo coinciden, 00:03:16
pues el exponente y el resultado del logaritmo también deben de conseguir. 00:03:19
Por tanto, x es igual a 5. 00:03:24
En este caso lo que nos piden es p, digamos, el número que está dentro del logaritmo. 00:03:26
Entonces, como sabemos que la base es 3 y el exponente es 4, pues x va a ser 3 elevado a 4, 00:03:34
porque tienen que coincidir las bases y tienen que coincidir los exponentes. 00:03:41
Por lo tanto, x3 elevado a 4 es 81, pues x es igual a 81. 00:03:45
Bien, y vamos. 00:03:50
Ahora lo que nos piden es la base. Pues vamos a factorizar, 125, buscando que el exponente sea 3. 00:03:50
En este caso, 125 es 5 elevado a 3. Como coinciden los exponentes, pues la x va a ser 5. 00:03:58
Bueno, aquí tenemos uno que no es fácil de factorizar. 00:04:08
Pero ¿qué pasa? Que este número es más pequeño que 1. 00:04:11
Entonces vamos a intentar poner el 0,016 de otra forma. 00:04:14
¿Cómo lo conseguimos? Pues 0,016 es 1,625. ¿Cómo he conseguido el 625? Pues si hacemos 1 entre 0,016 nos sale 625. 00:04:17
Entonces de esta forma ya lo tenemos. Ahora, una vez que ya tenemos 625 y que ya es más grande que 5, pues factorizamos. 00:04:32
Y nos queda que 5 es igual a 1 partido por 5 elevado a 4. 00:04:39
La base nosotros es 5, la tenemos en el denominador, nosotros la tenemos en el numerador. 00:04:44
Por tanto, lo que hacemos es aplicando la propiedad de las potencias, 00:04:49
que si está en el denominador, para pasarlo al numerador, cambiamos el signo al exponente. 00:04:53
Por tanto, ya tenemos que tener la misma base, el exponente debe coincidir con la x, pues x es igual a menos 4. 00:04:58
Otro tipo de ejercicio, en este caso tenemos logaritmo neperiano. 00:05:07
Recordamos, logaritmo neperiano, la base es el número e 00:05:10
Como queremos x, pues la base es el número e 00:05:13
Y el exponente es 2 tercios 00:05:17
¿Es una fracción? Pues nada, lo ponemos como una fracción 00:05:19
2 tercios 00:05:22
Y ahora lo único que tenemos que hacer es, como es una fracción el exponente 00:05:23
Transformarlo en radical 00:05:26
Raíz cúbica de al cuadrado 00:05:28
Vamos al siguiente 00:05:31
Tenemos logaritmo, nos piden la base 00:05:35
Y tiene que ser 2 quintos 00:05:37
¿Qué pasa que nosotros valorizamos 16? 00:05:39
16 es 2 elevado a 4, sería 4 quintos que no coinciden, pero sin embargo, si en vez de esto, en vez de 16 lo ponemos como 2 elevado a 4, lo ponemos como 4 al cuadrado, 00:05:42
y así tenemos 4 elevado a 2 quintos que en exponente nos coinciden con el resultado que nos daban. 00:05:53
Por tanto, nuestra x vale 4. 00:06:00
Y por último, en este caso nos dice que el logaritmo de x de 25 es igual a menos 2, pero nosotros tenemos que el logaritmo de x, si factorizamos 25, es 5 al cuadrado. 00:06:02
¿Cómo conseguimos que el exponente no sea negativo? 00:06:14
Pues lo que hacemos para que el logaritmo sea negativo 00:06:18
Cambiamos 00:06:20
Entonces nos queda 1 partido por 5 menos 2 00:06:21
Que es igual a menos 2 00:06:24
Y como ya coinciden los exponentes 00:06:25
Nuestra x es un quinto 00:06:27
Pues así se hacen este tipo de ejercicios 00:06:29
Lo único que tenemos es que pensar en algunos casos 00:06:32
Pues razonar para conseguir llegar a lo que nos dice la fórmula 00:06:35
A poner p como la base elevada al exponente 00:06:40
otro ejercicio que puede ser el más complicado 00:06:43
pero que tampoco lo es tanto 00:06:47
una vez que hayamos hecho varios 00:06:48
es que si nos dicen que sabemos el valor de varios logaritmos 00:06:50
en este caso el logaritmo en base 5 de A 00:06:53
y el logaritmo en base 5 de B 00:06:55
nos dicen su valor 00:06:57
y nos dicen que calculamos el logaritmo en base 5 00:06:58
de una expresión 00:07:01
entonces para utilizar esto lo que necesitamos 00:07:02
son las propiedades de los logaritmos 00:07:05
que las vamos a poner aquí 00:07:07
para tener la sabiduría 00:07:11
Entonces, logaritmo en base 5 de 25 por A4 partido por B4 a 2 raíz cúbica de A. 00:07:12
Lo primero que vamos a utilizar es la propiedad 4. 00:07:18
Es decir, cuando tengamos un cociente, lo vamos a separar en una resta. 00:07:20
Pues simplemente lo escribimos. 00:07:26
Logaritmo en base 5 del numerador menos logaritmo en base 5 del denominador. 00:07:27
Una vez que ya tenemos eso, nos fijamos y dentro de los logaritmos lo que tenemos son productos. 00:07:33
Pues los vamos a utilizar es la propiedad 3. 00:07:38
Entonces estamos haciendo esto porque nosotros queremos expresarlo que aunque no solamente dentro del logaritmo nos aparezca la letra a o la letra b. 00:07:40
Entonces vamos a aplicar la propiedad b que nos dice que nos lo separa. 00:07:49
Entonces el logaritmo en base 5 de 25 más el logaritmo en base 5 de a elevado a 4 menos, como aquí tenemos este menos, tenemos que ponerlo entre corchetes 00:07:54
porque este menos afecta tanto al logaritmo en base 5 de b al cuadrado como al logaritmo en base 5 de raíz cúbica de a. 00:08:05
Podríamos haber escrito menos logaritmo en base 5 de b al cuadrado menos logaritmo en base 5 de raíz cúbica de a. 00:08:12
Una vez que ya tenemos esto vamos a pasar los números que nos faltan a potencias, el 25 y la raíz. 00:08:21
Entonces 25 es 5 al cuadrado y la raíz cúbica de a es a elevado a un tercio. 00:08:28
Ahora, ya que tenemos todo el pretarjado con potencias, pues pues reubricamos la propiedad número 5. 00:08:35
Es decir, que el exponente lo salga más bueno. 00:08:42
El 2 pasa multiplicando, el 4 del logaritmo de a pasa también multiplicando, 00:08:45
el 2 del logaritmo de 5 de b pasa multiplicando y el 1 tercio pasa multiplicando. 00:08:52
Y ahora ya sí, ya tenemos que el logaritmo en base 5 de 5, por la propiedad 2, es 1. 00:08:57
el logaritmo en base 5 de A nos dice en el enunciado que es 1,3, el logaritmo en base 5 de B es menos 0,4, el logaritmo en base 5 de A es 1,4. 00:09:03
Pues sustituimos los valores y nos da 2 por 1 más 4 por 1,3 menos 7, 2 por 0 menos 0,4 más un tercio por 1,4, que cogemos la calculadora y eso nos sale 7,56 periodo. 00:09:14
pues de este modo es como se hace 00:09:30
hay que ir siguiendo paso por paso 00:09:32
para llegar a una expresión 00:09:34
en el que solamente nos aparezcan 00:09:36
logaritmos en base a, logaritmos de a 00:09:38
o logaritmos de b 00:09:40
que son los que nos dan para poder sustituir los valores 00:09:42
por último 00:09:44
el último ejercicio es al revés 00:09:46
que el anterior que nos dan una expresión 00:09:48
y lo que queremos 00:09:50
es expresarlo en un único logaritmo 00:09:52
pues entonces lo primero 00:09:54
las propiedades para 00:09:56
podrías guiarnos y a partir de hoy tenemos que tener en cuenta que en todos los términos 00:09:58
tiene que aparecer el logaritmo, si no, no nos podemos juntar. 00:10:03
Entonces, si miramos en el último término, tenemos un menos 3 aquí, 00:10:06
no nos aparece el logaritmo multiplicando. 00:10:10
Entonces lo que vamos a utilizar es que 3 es 3 por 1 y entonces podemos utilizar la propiedad 2, 00:10:12
que nos dice que el logaritmo en base a de a es igual a 1. 00:10:19
Vamos a cambiar el 1 por el logaritmo en base a de a. 00:10:22
como en este caso tenemos que la base es 2 00:10:24
pues lo vamos a poner como lo haga el 1 00:10:27
lo vamos a poner como lo haga ningún base 2 de 2 00:10:29
ahora vamos a aplicar la propiedad 5 00:10:31
es decir, los números que están multiplicando 00:10:35
los pasamos dentro como potencias 00:10:38
al contrario que antes 00:10:40
entonces el 4 pasa arriba 00:10:43
el 2 tercio lo pasamos, el 5 también 00:10:45
y el 3 pasa arriba 00:10:48
y ahora lo que vamos a hacer es 00:10:51
vamos a utilizar para la propiedad 3 y la propiedad 4 al mismo tiempo, es decir, los que están sumándose 00:10:53
vamos a ponerlos en el numerador multiplicando y los que están restando lo vamos a poner en el denominador 00:11:01
multiplicándose entre sí. Entonces tenemos que el logaritmo de 2 como en base de 2 como son positivos 00:11:07
a elevado a 4 y b elevado a 2 tercios pues lo ponemos en el numerador y como son negativos b elevado a 5 00:11:14
y 2 elevado a 3 pues lo ponemos en el denominador 00:11:19
y ya por último 00:11:21
lo único que hacemos es 00:11:23
transformar 00:11:25
las potencias en radicales 00:11:27
si es necesario 00:11:29
o si tenemos algún número que 00:11:31
podemos calcular la potencia lo hacemos 00:11:33
y nos queda que abrimos 00:11:35
ese 2 de a4 de raíz cúbica 00:11:37
de b al cuadrado por 00:11:39
8 por b 00:11:41
partido por 8 por b elevado a 5 00:11:43
el 8 lo he puesto delante 00:11:46
porque queda un poquito más decente, pero se podría poner detrás. 00:11:47
Y esto es todo lo que vamos a ver de logaritmos. 00:11:51
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Rafael Oliver Fernández
Subido por:
Rafael O.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
178
Fecha:
25 de octubre de 2020 - 20:23
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS AMÉRICAS
Duración:
11′ 57″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
3200x1800 píxeles
Tamaño:
39.60 MBytes

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