Funciones definidas a trozos | Mediateca de EducaMadrid

Esto es una función definida a trozos, entonces en una función definida a trozos me tienen que indicar cuáles son esos trozos, que me lo suelen indicar aquí, y cómo está definida esa función en cada trozo, y eso me lo darán mediante algún tipo de expresión, en este caso algebraica. 00:00:00

Entonces, me voy a fijar primero en los trozos 00:00:18

Si me fijo en los trozos veo que hasta que llego al cero 00:00:22

Aquí en la recta real, hasta que llego al cero 00:00:26

Mi función se expresa de una forma, entre cero y cuatro de otra forma 00:00:29

Y de cuatro en adelante de otra forma 00:00:35

Es decir, es como si me dieran tres funciones 00:00:39

Pero definidas, la primera en una semirrecta 00:00:42

la segunda en un segmento y la tercera en una semirrecta. 00:00:46

Aquí el x igual a 0 y el x igual a 4 los he indicado con puntos simplemente para indicar que es donde cambia el trozo. 00:00:51

Es decir, aquí me está hablando de los puntos, de los valores de x que son menores o iguales que 0. 00:01:00

Por tanto, mi primer trozo llega hasta el 0 y este 0 está incluido en este primer trozo que he marcado en azul 00:01:07

porque aquí me ponen un menor o igual. 00:01:16

En el segundo trozo, que me dicen que voy de 0 hasta 4, es un segmento, 00:01:18

pero en este segmento me dicen que el 0 es estrictamente menor que x. 00:01:23

Aquí el 0 no pertenece a este trozo verde y el x sí es menor o igual que 4, 00:01:27

es decir, me vale que la x valga 4, es decir, x igual a 4 sí estaría en este segundo trozo. 00:01:36

Y el tercer trozo, el rosa, me dice que son los valores de X que son estrictamente mayores que 4. 00:01:43

Por tanto, el 4 no pertenece a esta semirrecta rosa. 00:01:50

Vale, cuando yo hago una tabla de valores, tengo que pensar, por tanto, en, digamos, tres tablas separadas. 00:01:55

De momento, hemos visto la representación, que sería analítica, mediante una fórmula. 00:02:04

En este caso mediante tres fórmulas sería esta que me han dado. La siguiente forma de representar una función es mediante una tabla de valores. Entonces yo podría poner esto como una tabla larga seguida teniendo cuidado de en qué trozo estoy. 00:02:10

O lo puedo poner así, como tres tablas, sabiendo que en realidad se refiere a la misma función, son tres tablas que me representan la misma función, pero voy a usar esta primera tabla para el primer trozo, esta segunda tabla para el segundo trozo y esta tercera tabla para el tercer trozo. 00:02:27

Las x, los valores de x que coja los voy a elegir yo, pero los voy a elegir teniendo cuidado de en qué trozo estoy. 00:02:48

Por ejemplo, aquí en el primer trozo de mi función puedo coger cualquier valor hasta el 0, incluido el 0. 00:02:56

Yo he cogido menos 2, menos 1 y 0. Podría haber cogido aquí menos 44 o menos 0,5 o menos un tercio, que también son números menores que 0, menores o iguales que 0. 00:03:05

He optado por números enteros porque suele ser más sencillo manejarlos, pero podemos coger fracciones, decimales, raíces, lo que nos dé la gana. 00:03:19

En mi segundo trozo estoy entre 0 y 4 00:03:27

El 0 sé que no lo puedo coger 00:03:31

Porque hemos visto aquí que tengo un menor o igual 00:03:33

Por tanto en el segundo trozo tengo un estricto entre el 0 y la x 00:03:36

El 0 no pertenece a este trozo 00:03:41

Entonces no lo puedo coger en mi tabla 00:03:43

Pero el 4 sí puedo cogerlo 00:03:45

Yo lo he cogido y de entre todos los números que hay entre 0 y 4 00:03:48

Que hay infinitos números 00:03:52

Yo he cogido por ejemplo el 1 y el 2 00:03:53

podría haber cogido el 3,7 o el 2 quintos 00:03:56

y luego en mi tercer trozo 00:04:02

mi tercer trozo empieza en el 4 pero no incluye el 4 00:04:05

por tanto aquí en mi tabla no puedo coger el 4 00:04:09

pero puedo coger cualquier número mayor que 4 00:04:13

podría haber cogido 4,1 me valdría 00:04:16

yo he optado por coger el 5, el 6 y el 7 00:04:18

Y ahora calculo los valores de la y. La x la he elegido libremente, ahora la y la calculo y me he puesto encima la formulita que estoy usando en cada tabla para no despistarme. 00:04:23

Entonces, en mi caso, en el primer trozo, cuando la x vale menos 2, menos 2 más 2 vale 0, cuando la x vale menos 1, menos 1 más 2 vale 1 y cuando la x vale 0, 0 más 2 es 2. 00:04:37

En el segundo trozo uso la expresión 3 menos x, entonces, ¿cuándo la x vale 1? 3 menos 1, 2. 00:04:52

¿Cuándo la x vale 2? 3 menos 2, 1. 00:05:01

¿Y cuándo la x vale 4? 3 menos 4, menos 1. 00:05:04

Y en el tercer trozo estoy usando la expresión igual a x menos 5. 00:05:09

Entonces sustituyo, cuando la x vale 5, x menos 5 vale 0. 00:05:14

Cuando la x vale 6, 6 menos 5 vale 1 00:05:19

Y cuando la x vale 7, 7 menos 5 vale 2 00:05:23

Y ya tengo mis tablas de valores 00:05:27

Con esto ya podría hacer la representación gráfica de mi función 00:05:31

Y eso yo lo he hecho con GeoGebra 00:05:36

Entonces, lo primero, voy a ir representando trozo por trozo 00:05:39

Voy a empezar con el primer trozo 00:05:44

Tengo los puntos menos 2, 0, menos 1, 1 y 0, 2. 00:05:46

Pues me he venido a mi tabla, he representado el menos 2, 0, el menos 1, 1 y el 0, 2. 00:05:51

Y la gráfica de la función será la línea que me sale al unir estos puntos. 00:06:01

En este caso me sale una semirrecta. 00:06:06

Como el 0 habíamos visto que estaba incluido en este primer trozo, 00:06:11

porque tenía que el primer trozo era válido cuando la x era menor o igual que 0, aquí este punto lo pongo relleno, porque el valor 0, menos 2, el punto 0, menos 2, pertenece a este primer trozo. 00:06:17

Me voy a la segunda tabla y tengo estos tres puntos, 1, 2, 2, 1 y 4, menos 1, y los represento en mi gráfica, 1, 2, 2, 1 y 4, menos 1. 00:06:34

Y los uno, entonces cuando yo los una, esto voy a ver que me sale un segmento que llega justo hasta el cero, me queda este segmento que está entre cero y cuatro, por eso he puesto estas dos líneas azules aquí. 00:06:47

El 4 está incluido porque veíamos que eran en el segundo trozo, la x, los valores que están entre 0 y 4, incluyendo el 4, pero no incluía el 0. 00:07:10

Por eso aquí he puesto el punto hueco, ¿vale? 00:07:22

Porque el valor cuando la x vale 0 lo incluía en el primer trozo, aquí lo relleno, pero no en el segundo, aquí vacío, ¿vale? 00:07:26

Los puntos en los que cambia de un trozo a otro siempre van a estar incluidos en uno, pero no en el otro. 00:07:35

Aquí no podría poner los dos puntos rellenos, ¿vale? 00:07:43

Y por último, el último trozo son los valores de X mayores que 4. 00:07:48

Tenía estos tres puntos, 5, 0, 6, 1 y 7, 2. 00:07:55

dibujo mis puntos, 5, 0, 6, 1, 7, 2 y los 1 00:07:59

en este caso resulta que me sale una semirrecta que empieza en el punto 4, 1 00:08:06

mi función aunque aquí tiene un cambio de trozo en el valor de x igual a 4 es continua 00:08:14

porque un trozo se une con el otro, eso puede pasar 00:08:21

Entonces aquí este punto está relleno, porque aunque sé que pertenece al segundo trozo, pero bueno, es un punto de la función donde se unen los dos trozos. 00:08:24

Y con esto ya tendría las tres posibles representaciones de una función definida a trozos, que serían mediante expresiones analíticas, en este caso polinómicas, 00:08:35

es decir, mediante fórmulas, mediante una tabla, que en este caso me conviene hacer mi tabla en tres trozos, 00:08:48

en tantos trozos como trozos tenga mi función, y gráficamente, donde mi gráfica tendrá también tantos trozos como tenga la función, 00:08:56

en este caso una semirrecta, un segmento y otra semirrecta. 00:09:05

Y recordamos eso, en un punto donde cambia el trozo, si mi función es discontinua, podría ser que estos dos puntos estuvieran vacíos, pero lo que nunca va a poder ser es que estén los dos puntos rellenos. 00:09:08

El punto, el valor x igual a cero o pertenece a un trozo o pertenece al otro, pero nunca puede pertenecer a los dos a la vez. 00:09:27