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AR4. 3.2 Variaciones sin repetición. Ejercicio 7 - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos
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las variaciones sin repetición y resolveremos el ejercicio propuesto 7.
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El siguiente patrón que vamos a estudiar en esta videoclase son las variaciones sin repetición.
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Es algo similar a las permutaciones sin repetición que vimos en la videoclase anterior.
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En este caso disponemos de los mismos n elementos distinguibles y lo que vamos a hacer es tomar no los n elementos y contar de cuántas formas posibles los podemos ordenar,
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sino que lo que vamos a hacer es contar cuántas ordenaciones podemos hacer, pero no con los n elementos, sino con un subconjunto, sólo con m elementos.
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elementos. Vamos a determinar las variaciones sin repetición de n elementos tomados de mnm,
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que se representan, como veis aquí, v sub nmn, el conjunto de elementos, de entre los cuales
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tomamos un subconjunto de tamaño m. La forma en la que vamos a razonar cómo se determinan las
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variaciones sin repetición va a ser similar a lo que ocurría en el caso de las permutaciones.
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Tengo n elementos, de entre los cuales seleccionar el primero, y tengo n posibilidades. Cuando he
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seleccionado el primero, para seleccionar el segundo tengo n menos una posibilidades. Cuando
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ya he seleccionado dos elementos, para seleccionar el tercero tengo n menos dos posibilidades y así
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sucesivamente. En la video clase anterior, hablando de permutaciones, esta cadena continuó hasta el
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final. Yo hacía n extracciones, las de los n elementos, y acababa n por n menos 1 por n menos
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2, acababa y por 3 y por 2 y por 1. Y había un total de n factores. En este caso, ¿qué hago
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solamente m extracciones, en esta cadena debo acabar cuando tengo aquí m factores, puesto que
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el m-ésimo elemento que yo extraeré será el último. En la cadena n, n-1, n-2, etcétera, el factor m-ésimo
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es este que veis aquí, n-m más 1. Así que aquí es donde tengo que acabar la multiplicación. Tengo
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m factores comenzando por n, n por n-1 por n-2 y el último, insisto, es n-m más 1.
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Esta fórmula se puede poner como este cociente que veis aquí a la derecha de números factoriales y lo podría representar como n factorial dividido entre n menos m factorial.
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Tened en cuenta que n factorial tiene la cadena completa empezando por n, por n menos 1, por n menos 2, hasta por 3 y por 2 y por 1.
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Si yo divido entre n menos m factorial, lo que estoy haciendo es cancelar del numerador. El primer factor sería n menos m, que por cierto es el siguiente a este.
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A continuación, n-m-1 y n-m-2 y así hasta el final por 3 y por 2 y por 1.
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Y como podéis comprobar, lo que me queda es realmente esta cadena que tengo aquí.
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Como ejemplo, supongamos que tengo una clase con 15 estudiantes,
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de entre los cuales hay que elegir un delegado, un subdelegado y un tercero que sea el encargado de reciclaje.
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Y nos preguntan de cuántas formas posibles es posible cubrir estos cargos.
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Hay que seleccionar tres estudiantes y ver de cuántas formas posibles puedo tener delegado, subdelegado y encargado. Los estudiantes son distinguibles y no es lo mismo que A sea delegado, B subdelegado y C encargado de reciclaje a que C sea delegado, B sea subdelegado y A sea encargado de reciclaje.
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Estas combinaciones para nosotros en las variaciones sin repetición van a ser distintas.
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Bien, pues ¿de cuántas formas posibles podemos hacer esta selección?
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Podemos seleccionar de entre los 15 estudiantes a 1 para que sea el delegado y hay 15 posibilidades.
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Ahora que tengo delegado, de entre los 14 restantes puedo elegir a 1 para que sea el subdelegado y tengo 14 posibilidades.
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Y ahora que ya tengo delegado y subdelegado, de entre los 13 restantes puedo elegir a 1 para que sea el encargador de reciclaje y tengo 13 posibilidades.
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En total, 15 por 14 por 13, aplicando el principio de la multiplicación, tengo 2.730 posibilidades.
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Esta forma de contar es la misma y el resultado que obtendré será el mismo, así el primero que elija en lugar de delegado es, por ejemplo, el encargado de reciclaje, el segundo es el delegado y el tercero es el subdelegado.
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Obtendré las mismas posibilidades y el mismo número, por supuesto.
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fijaos que como decía antes este 2730 puede expresarse como el cociente de dos números
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factoriales en mi fórmula era n factorial entre n menos m factorial aquí en las variaciones de 15
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elementos tomados de 3 en 3 será 15 factorial dividido entre 15 menos 3 que es 12 entre 12
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factorial y lo que os decía en el numerador tengo 15 por 14 por 13 por 12 por 11 por 10 etcétera
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hasta por 3 por 2 y por 1 y en el denominador cancelo elementos del numerador comenzando por
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12 por 11 por 10 por 9 por 8 que es lo que me queda vivo del numerador 15 por 14 y por 13 tal
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y como yo pretendía fijaos que en este caso no tiene sentido que pretenda hacer este conteo o
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incluso ver cuáles son las distintas posibilidades y enumerarlas utilizando un diagrama de árbol y
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que aunque mi experimento conste de únicamente tres experimentos simples elijo a una persona
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para delegado otra para su delegado otra para encargado de reciclaje no se cumple lo que decía
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en la videoclase anterior de que el número de posibilidades en cada uno de estos experimentos
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sea pequeño fijaos que aquí para elegir delegado tengo 15 posibilidades para su delegado 14 y para
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encargado de reciclaje 13 el hecho de que estos números sean grandes hace que el número de hojas
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al final, cuando acabe en el árbol, sea demasiado grande y entonces ese tipo de representación
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no sea práctica para este caso.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 3
- Fecha:
- 17 de agosto de 2025 - 7:36
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 07′
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 17.51 MBytes
