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FU2. 5 Funciones logarítmicas. Ejercicio 8 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:20
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones logarítmicas. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones logarítmicas, que son aquellas que contienen 00:00:40
la variable independiente en el argumento de un logaritmo. En su forma más sencilla, 00:00:51
que es la que nosotros vamos a estudiar, adoptan la forma f de x igual a logaritmo en una cierta 00:00:56
base de x menos x0, aquí es donde tenemos la variable independiente, más un valor constante 00:01:01
y sub cero. x0 e y sub cero, igual que ocurría con las funciones exponenciales que hemos visto 00:01:06
en la videoclase anterior, van a ser especialmente relevantes a la hora de buscar la representación 00:01:12
gráfica que corresponde a una determinada expresión algebraica. Igualmente, serán 00:01:18
especialmente relevantes cuando a partir de la representación gráfica queramos determinar 00:01:22
cuál es la expresión algebraica que le corresponde. En lo que respecta a la base, en completo 00:01:27
paralelismo con lo que ocurría con las funciones exponenciales, ésta debe ser un número positivo 00:01:32
distinto de 1 y distinguiremos qué es lo que ocurre cuando la base toma valores entre 00:01:37
0 y 1 y qué es lo que ocurre cuando la base toma valores mayores que 1, puesto que, por 00:01:42
ejemplo, la representación gráfica va a depender precisamente de la base, de en 00:01:46
cuál de estos dos intervalos se encuentre. El dominio de las funciones 00:01:51
logarítmicas es el intervalo comprendido entre x cero y más infinito con ambos 00:01:55
extremos abiertos y la imagen va a ser toda la recta real. En lo que respeta a 00:01:59
los puntos de corte con los ejes se pueden determinar algebraicamente. El 00:02:04
punto de corte con el eje de las x se va a determinar resolviendo la ecuación f 00:02:08
f de x igual a cero y obtenemos esta abstisa que vemos aquí. En cuanto al punto de corte con el eje 00:02:14
de las y es de existir se va a determinar a través de la imagen f de cero y de existir puesto que 00:02:20
dependerá de si cero pertenece o no al dominio de la función. En cuanto a la monotonía dependiendo 00:02:27
de si la base es menor que uno o mayor que uno en el primer caso vamos a encontrarnos con una 00:02:33
función monótona decreciente y en el segundo caso con una función monótona creciente. Estas 00:02:38
funciones no tienen extremos relativos. En cuanto a la curvatura también va a depender de si la base 00:02:43
es menor que 1 o mayor que 1, puesto que en el primer caso la función va a ser convexa en todo 00:02:48
su dominio y en el segundo va a ser cóncava en todo su dominio. Estas funciones no tienen puntos 00:02:54
de inflexión. En lo que respecta a las asíntotas, tan sólo van a tener asíntota vertical. Su ecuación 00:02:59
va a ser x igual a x0 y van a ser asíntota en el límite cuando x se aproxima a este valor x0 por 00:03:05
la derecha, no por la izquierda, puesto que la función no va a tomar valores cuando x toma 00:03:12
valores menores que x0. Fijaos que el dominio comienza en x0. Hacia la derecha la función sí 00:03:18
existe, hacia la izquierda no. Pues bien, hacia la izquierda no hay función, hacia la derecha el 00:03:23
valor x igual a x0, la recta x igual a x0, va a ser una asíntota vertical. Las funciones logarítmicas 00:03:28
son continuas en todo su dominio y por otro lado no tienen ningún tipo de simetría. Vamos a estudiar 00:03:34
a continuación un par de ejemplos. En este ejercicio se nos pide que comencemos estudiando 00:03:41
y representando la función a de x igual a logaritmo en base 3 de x más 3 menos 1 y 00:03:46
posteriormente estudiaremos la función b de x igual a logaritmo de un medio, en base 00:03:51
un medio, perdón, de x más 4 más 1. En cuanto a la función a de x vamos a identificar 00:03:56
la base que es el valor 3 mayor que 1, x0 es igual a menos 3 puesto que espero encontrar 00:04:02
en el argumento x menos x cero y x menos menos tres es este x más tres que vemos aquí e y cero 00:04:08
es el valor menos uno. Con esto ya tenemos bastante información puesto que la base es mayor que uno 00:04:14
la función va a ser monótona creciente. Por otro lado el valor de x cero igual a menos tres que 00:04:21
vamos a representar gráficamente esta línea vertical va a ser la asíntota vertical. A la 00:04:28
izquierda del valor x0, del valor x igual a menos 3, la función no existe. En todo este semiplano 00:04:34
la función no está definida y sabemos que esta recta x igual a menos 3 va a ser asíndota vertical 00:04:41
cuando x se aproxima a este valor menos 3 por la derecha. Puesto que la función es monótona 00:04:48
creciente y la función tiene que despegarse de la asíndota, la única forma de poder representar 00:04:53
la función en esta parte es de esta manera. Desde menos infinito despegándonos de la asíntota vamos 00:04:59
a representar la función creciente. ¿Qué más puntos podemos utilizar para poder representar 00:05:06
gráficamente esta función? Bueno, pues podemos buscar los puntos de corte con los ejes. En este 00:05:12
caso esta función corta únicamente a los ejes en el origen de coordenadas, en el 0,0, y es 00:05:17
simultáneamente el punto de corte con el eje de las y y el punto de corte con el eje de las x. 00:05:22
Así que podríamos, solo con esta información, hacer un primer bosquejo de la función, despegándonos de la asíntota sin llegar a tocarla, una función creciente que pasa, tenemos que curvarla por el 0,0 y a partir de aquí tenemos que seguir pintando una función monótona creciente. 00:05:27
Va a tender a más infinito en el límite cuando x tiende a más infinito. 00:05:46
Esta representación con esta información es suficiente, pero no va a ser la mejor posible. 00:05:51
Dentro de un momento volveremos atrás a buscar más información con la cual poder representar más fielmente la función. 00:05:57
De momento vamos a pasar a la función b y vamos a hacer el equivalente. 00:06:03
Vamos a analizar la expresión algebraica. 00:06:08
Vemos que la base es un medio, es un valor entre 0 y 1, así que vamos a tener una función monótona decreciente. 00:06:12
Vemos que x0 va a ser menos 4, puesto que aquí espero encontrar x menos x0, y x menos menos 4 es este x más 4 que tengo aquí. 00:06:18
Y 0 va a tomar el valor más 1. 00:06:26
Bien, el valor de x0 igual a menos 4 es el que me permite representar esta recta vertical x igual a menos 4. 00:06:29
A su izquierda no va a haber función, puesto que con valores menores que menos 4, x menores que menos 4 no se encuentran en el dominio, y esta recta va a ser una asíntota vertical, en el límite en el que x se aproxima a menos 4 por la derecha. 00:06:36
puesto que tenemos que pintar una función monótona decreciente que se despega de esta 00:06:51
asíntota vertical la única posibilidad es pintarla así como estamos viendo desde más infinito una 00:06:57
función decreciente que se despega sin llegar a tocar nunca a la asíntota vertical vamos a buscar 00:07:03
algunos puntos con los cuales poder representar más fielmente la función y lo que vamos a hacer 00:07:08
es buscar los puntos de corte con los ejes el punto de corte con el eje de las y es lo vamos 00:07:12
a determinar, sin más que buscar, el valor b de 0. Sería el logaritmo en base a un medio de 4 que va a ser 00:07:17
menos 2 más 1 y tenemos el punto de corte 0 menos 1 que hemos representado aquí. En cuanto al punto 00:07:24
de corte con el eje de las x lo que vamos a hacer es igualar logaritmo en base a un medio de x más 4 00:07:30
más 1 igual a 0. Eso nos va a dar el valor de x igual a menos 2 y entonces tenemos el punto menos 2, 0 00:07:36
que hemos representado aquí y entonces vamos a pintar una función monótona decreciente que se 00:07:43
despega de la asíndota vertical desde más infinito hacia abajo pasando por el punto menos 2 0 por el 00:07:48
punto 0 menos 1 y continuamos con la tendencia va a ser una función monótona decreciente así que 00:07:55
tenderá menos infinito conforme la función conforme x tiende a más infinito con esto vamos a obtener 00:08:00
una representación de la función adecuada, es un bosquejo adecuado, pero hay más información 00:08:08
codificada dentro de la representación gráfica. Y es que, igual que pasaba con las funciones 00:08:13
exponenciales, hemos utilizado uno de los dos parámetros, en este caso x0, que es la asíntota 00:08:18
vertical, pero no hemos visto la relevancia del valor y0 más 1 en el caso de b o menos 1 aquí en 00:08:24
el caso de a. Bien, lo que vamos a hacer es lo siguiente. Vamos a representar una recta y igual 00:08:31
a y sub 0. Vamos a empezar por este caso a. Vamos a representar la recta y igual a menos 1. Es esta 00:08:37
que tenemos aquí. La recta y igual a menos 1 no es una asíntota horizontal de la función, pero nos va 00:08:43
a servir como recta auxiliar para poder pintar la función. Y la idea es la siguiente. Si buscamos 00:08:50
este punto de corte de las dos rectas x igual a x0 e igual a y sub 0, está este punto x0 y 0, 00:08:55
Si nos desplazamos a lo largo de esta recta horizontal una unidad hacia la derecha, aquí nos vamos a encontrar siempre a la función. 00:09:02
Y fijaos, efectivamente aquí tengo a la función. 00:09:10
Si voy al ejemplo B, lo mismo. En este caso y sub cero es más uno. 00:09:13
Si trazo la recta horizontal y igual a y sub cero, en este caso y igual a uno, y voy al punto de corte, al punto x cero y sub cero, 00:09:18
si me desplazo una unidad hacia la derecha, aquí voy a encontrarme a la función. 00:09:26
Y este es un punto que me va a servir para poder representar fielmente la función. 00:09:29
Igualmente, si a partir de este punto x0 y 0 me desplazo una unidad hacia arriba, ahora voy a encontrarme la base. 00:09:36
Me voy a desplazar hacia la derecha y la distancia que me tengo que desplazar hacia la derecha para encontrar la función va a coincidir con el valor de la base. 00:09:47
Repito, si desde el punto x0 y 0 me desplazo una unidad hacia arriba, la distancia hacia la derecha que me tengo que desplazar para encontrar la función va a ser el valor de la base. 00:09:56
En este caso, me tengo que desplazar hacia la derecha 3 unidades porque la base es 3. 00:10:04
En el caso de la función b, igualmente, si desde este punto x0 y 0 me desplazo una unidad hacia arriba, lo que tengo que desplazar hacia la derecha para encontrar la función, en este caso es media unidad, se corresponde con el valor de la base. 00:10:09
La base es un medio. 00:10:23
Si en lugar de desplazarme hacia arriba desde este punto x0 y 0 me desplazo hacia abajo una unidad, 00:10:25
lo que necesito desplazarme hacia la derecha para encontrarme la función no es la base sino su inverso. 00:10:32
En este caso de la función b la base es un medio, el inverso 1 entre un medio es 2, 00:10:37
y fijaos, si me desplazo una unidad hacia abajo, hacia la derecha debo desplazarme dos unidades para encontrarme la función. 00:10:42
Lo mismo con la función a, con cualquier función exponencial de hecho. 00:10:49
Si me desplazo hacia abajo una unidad, lo que tengo que desplazarme hacia la derecha es 1 entre 3, un tercio, y efectivamente aquí podemos ver cómo el punto se encuentra 0,3 unidades, un tercio hacia la derecha. 00:10:52
Así pues, este valor x0 y 0 me va a permitir representar tres puntos con los cuales hacer una buena, una fiel representación gráfica de la función. 00:11:06
Desde x0 y 0, hacia la derecha de la función se va a encontrar una unidad hacia la derecha. 00:11:16
Si me desplazara una unidad hacia arriba, me voy a encontrar la función hacia la derecha a una distancia igual a la base. 00:11:21
Y si desde x0 y 0 me desplazo una unidad hacia abajo, me voy a encontrar la función hacia la derecha a una distancia en un valor igual a 1 entre la base, al inverso de la base. 00:11:29
En este caso, hacia la derecha una unidad, subo uno, hacia la derecha tres unidades, bajo uno, hacia la derecha un tercio de unidad, 0,33. 00:11:40
Aquí igual. Hacia la derecha en una unidad. Hacia arriba subo una unidad, hacia la derecha un medio, que coincide con la base. 00:11:50
Y si desde aquí me desplazo hacia abajo una unidad, hacia la derecha dos unidades, que es el inverso de la base. 00:11:57
con la tendencia el hecho de despegarme de la asíntota estos tres puntos y los puntos de corte 00:12:03
con los ejes y luego la tendencia monótona decreciente en este caso porque la base toma 00:12:11
un valor menor que 1 y monótono creciente porque la base toma un valor mayor que 1 puedo hacer una 00:12:16
fiel representación gráfica de las funciones logarítmicas y esto que acabo de contar se 00:12:22
parece muchísimo a lo que conté en la videoclase anterior en referencia a las 00:12:28
funciones exponenciales, y es que no en vano las funciones logarítmicas y las 00:12:33
funciones exponenciales son unas las inversas de las otras. Con lo cual, todo 00:12:37
lo que en su momento dije de las funciones exponenciales, vuelvo hacia 00:12:42
atrás, acerca de, con respecto al punto x0 y 0, una unidad hacia arriba. Si me 00:12:46
desplazo una unidad hacia la izquierda, una unidad hacia la derecha, una altura 00:12:52
igual a la base, una altura igual al inverso de la base, es equivalente a lo que acabo de mencionar 00:12:55
con las funciones logarítmicas. Lo único que en lugar de hablar hacia arriba me refiero hacia la 00:13:01
derecha y en lugar de hablar hacia la derecha me estoy refiriendo hacia abajo. Aquí es, con respecto 00:13:06
a este punto, me encuentro la función una unidad hacia la derecha en lugar de una unidad hacia 00:13:11
arriba, como en las exponenciales. Si me desplazo una unidad hacia arriba, la distancia hacia la 00:13:15
derecha es igual a la base en lugar de ser una unidad hacia la derecha y hacia arriba. Cambiando 00:13:21
lo que sea necesario, lo que he contado con las funciones exponenciales y con las funciones 00:13:26
logarítmicas es absolutamente equivalente, puesto que, una vez más, son funciones unas las inversas 00:13:30
de las otras. Vamos a continuación a ver qué es con lo que tenemos que hacer si nos encontramos 00:13:35
con una situación inversa. Se nos da la representación gráfica de la función y se nos pide que determinemos 00:13:41
la expresión algebraica que le corresponde. Bien, lo primero de identificar el tipo de función en 00:13:47
este caso va a ser muy sencillo, igual que ocurría con las funciones exponenciales, y es que estas 00:13:51
son las únicas que tienen todo un semiplano en el cual no están definidas. Son las únicas que 00:13:56
tienen una asíntota vertical a partir de la cual la función va a ser o bien monótona creciente o 00:14:02
bien monótona decreciente, como vemos aquí. Eso nos va a identificar las funciones logarítmicas e 00:14:08
incluso nos va a indicar cómo es la base. En este caso con función monótona decreciente la base del 00:14:14
logaritmo va a ser un número comprendido entre 0 y 1. En este caso con la función monótona creciente 00:14:20
sabemos que la base va a ser un número mayor que 1. El valor de la asíntota vertical, en este caso 00:14:25
va a ser x igual a menos 3, nos va a dar el x0 que tenemos que poner dentro del argumento del 00:14:31
logaritmo. Aquí vemos x igual a menos 3 así que en el argumento pondremos x menos menos 3, x más 3. 00:14:36
Y en este otro caso vemos que la asíntota vertical tiene por ecuación x igual a menos 4, así que en el argumento pondremos x menos menos 4, x más 4. 00:14:43
En cuanto a cómo determinar el valor de y sub 0 y de la base, lo que vamos a hacer es aprovechar esos puntos característicos que hemos descrito hace un momento. 00:14:53
Vamos a ir recorriendo la asíntota vertical y lo que vamos a hacer es buscar a qué altura nos vamos a encontrar la función 1 unidad a la derecha de esta recta vertical. 00:15:01
Podemos recorrerla de arriba a abajo, de abajo a arriba, en cualquier caso, por ejemplo, aquí, justo a esta altura, nos encontramos a la derecha de la recta que nos da la asíntota vertical la función una unidad a la derecha. 00:15:12
Vamos a trazar esta recta horizontal, que pasa justamente por este punto, y este valor de y igual a 1 nos va a dar el valor y sub 0 que tenemos que poner fuera del logaritmo. 00:15:23
Así que como argumento, en este caso, x más 4 y luego más 1, como vemos aquí. 00:15:35
En el caso anterior igual. Vamos a ir recorriendo la asíntota vertical hasta que nos encontremos el punto, la altura a la cual la función se encuentra una unidad hacia su derecha. 00:15:39
Trazamos la recta horizontal correspondiente y este valor y igual a menos uno va a ser el valor de y sub cero que como veis vamos a tener que poner aquí fuera del argumento del logaritmo. 00:15:51
ritmo. A partir de aquí, ¿cómo podemos determinar la base? Pues bien, lo que vamos a hacer es, a partir 00:16:00
de este punto x0 y 0, subir una unidad y buscar cuánto hemos de desplazarnos hacia la derecha 00:16:06
para encontrarnos con la función. Y esa distancia va a coincidir con el valor de la base. En este 00:16:12
caso, desde este punto x0 y 0 subo una unidad, me encuentro la función 3 unidades hacia su derecha, 00:16:18
así que la base va a ser 3. En el caso siguiente, en el caso de la función b, igualmente, subo una 00:16:24
unidad hacia arriba desde ese punto x0 y 0, me desplazo hacia la derecha y, bueno, en este caso 00:16:30
la base está convenida entre 0 y 1. Creo que sería el valor 1 medio. ¿Cómo puedo cerciorarme? Bien, 00:16:35
pues hacer lo mismo que en el caso anterior. En lugar de una unidad hacia arriba, ¿qué ocurre 00:16:42
si me desplazo una unidad hacia abajo? Bien, en ese caso lo que me tengo que desplazar hacia la 00:16:47
derecha es el inverso de la base. En el caso en el que la base es un número entre 0 y 1, desplazar 00:16:51
más hacia abajo me va a ayudar más. Me desplazo una unidad hacia abajo, veo que la función me la 00:16:57
encuentro dos unidades hacia la derecha, bien, la base es 1 partido por 2, un medio. Antes tenía 00:17:01
la hipótesis aproximadamente un medio, bien, ahora me he asegurado de que la base es un medio. Y 00:17:07
entonces la función va a ser logaritmo más un medio de x más 4 y fuera del argumento más 1, 00:17:12
como podemos ver. En el caso de la función a, donde tenemos una base mayor que 1, igualmente 00:17:20
subir una unidad hacia arriba y ver cuánto hay de desplazarme hacia la derecha para encontrarme 00:17:26
la función me ayuda, me da que la base es el valor 3, pero igualmente podría haberme desplazado 00:17:30
hacia abajo una unidad y ver cuánto tengo que desplazarme hacia la derecha. Ese valor es el 00:17:36
inverso de la base, un tercio, y sí, efectivamente, me encuentro la función a un tercio de unidad. 00:17:40
Así pues, ¿cuál va a ser la expresión algebraica de la función adx? Bueno, pues logaritmo en base 3 00:17:46
de x más 3 y fuera del argumento, menos 1 en este caso. 00:17:50
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:18:00
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:18:06
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:18:11
Un saludo y hasta pronto. 00:18:17
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3
Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 8:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
18′ 45″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
44.94 MBytes

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