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Regla de Cramer - Contenido educativo

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Subido el 12 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Regla de Cramer. La regla de Cramer nos va a ser muy útil para resolver de una forma rápida y directa algunos sistemas de ecuaciones. 00:00:03
Lo primero de todo vamos a ver qué se define como un sistema de Cramer. 00:00:15
Un sistema alineante de m ecuaciones y n incógnitas se dice que es de Cramer si cumple las siguientes condiciones. 00:00:19
La primera, que tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, es decir, que la m es igual a n. 00:00:25
Y la segunda, que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0, el determinante de A es distinto de 0. 00:00:29
En tal caso decimos que el sistema es de Cramer. 00:00:37
Lo que vamos a hacer a continuación es deducir las fórmulas de Cramer, las fórmulas que nos van a calcular de forma directa la solución del sistema. 00:00:41
Vamos a deducirlo generalizándolo para un sistema lineal de tres ecuaciones y tres incógnitas. 00:00:56
Y partiendo de que es un sistema de Kramer, es decir, un sistema que cumple, que tiene el mismo número de ecuaciones que incógnitas 00:01:05
y que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. 00:01:11
Este sistema expresado matricialmente sería de la siguiente manera. 00:01:16
Una matriz A donde tenemos los coeficientes de las incógnitas. 00:01:19
Fijaos, en la primera columna los coeficientes de la primera incógnita, en la segunda columna los coeficientes de la segunda incógnita y en la tercera columna los coeficientes de la tercera incógnita. 00:01:24
Matricialmente expresaríamos esa matriz de coeficientes por la matriz columna donde indicamos las incógnitas. 00:01:35
Cada fila es cada una de las incógnitas. Y eso será igual a esta matriz columna también, donde se especifica el término independiente de cada una de esas ecuaciones. 00:01:43
Luego, matricialmente, lo podemos poner como la matriz A por la matriz X, la matriz de incógnitas, igual a la matriz de términos independientes. 00:01:58
Vale, por ser un sistema de Cramer hemos dicho que P cumplía esta condición 00:02:05
que la matriz de coeficientes era distinta de cero 00:02:12
y esta era una condición necesaria y suficiente para decir, para afirmar que la matriz A era una matriz invertible 00:02:14
Por lo tanto podemos resolver la ecuación matricial del modo 00:02:21
Tenemos la matriz A por la matriz X igual a la matriz B 00:02:25
Lo que se trata es de despejar esa matriz de incógnitas, esa matriz columna donde tengo las incógnitas 00:02:29
Para ello es necesario que desaparezca esta A. Matricialmente, la forma de resolver ecuaciones no es como hacíamos algebraicamente, decir lo que está multiplicando pasa dividiendo. 00:02:34
Aquí la manera de resolver o de despejar esta matriz de incógnitas sería intentando eliminar esta matriz de coeficientes. 00:02:50
Eliminarla en este caso consiste en, si multiplico por la izquierda por su inversa, el producto de a a la menos 1 por a va a ser la identidad. 00:03:04
Y la identidad es el elemento neutro de la multiplicación de matrices, por lo tanto la identidad por x va a ser x. 00:03:13
Luego ya estaría despejada la x. 00:03:18
Repito, para despejar la X lo que vamos a hacer es multiplicar por la izquierda por la inversa de A. 00:03:21
Si multiplicamos por la izquierda por la inversa de A, lo que tenemos que hacer es multiplicar por la izquierda en ambos lados del igual. 00:03:29
Recordad que en las propiedades de la multiplicación de matrices no siempre, en general, no siempre era conmutativo. 00:03:34
Luego, sobre todo aquí, tenemos que tenerlo muy claro. 00:03:42
Si aquí he multiplicado por la izquierda, aquí también, puesto que a lo mejor no es lo mismo a la menos 1 por b que b por a la menos 1. 00:03:45
Vale, entonces, al multiplicar a la menos 1 por a, nos queda la matriz identidad. 00:03:55
En la matriz identidad hemos dicho que se alimenta tanto la multiplicación de matrices, por lo tanto, la matriz identidad por x sería x. 00:04:02
Y en la derecha nos quedaría a la menos 1 por b. 00:04:09
Vale, si lo escribimos con los elementos y utilizando la definición o la construcción de la matriz inversa por adjuntos, tendríamos la matriz de incógnitas, la matriz columna, será igual. 00:04:11
Y ahora escribimos la matriz inversa definida como la traspuesta de la adjunta dividida entre el valor del determinante por la matriz columna de términos independientes. 00:04:31
Bueno, pues expresamos esto con sus elementos. 00:04:43
Acordaos, la traspuesta de la adjunta, en la primera columna tenemos los adjuntos de los elementos de la primera fila de A. 00:04:45
En la segunda columna los adjuntos de los elementos de la segunda fila de A. 00:04:54
y en la tercera columna los adjuntos de los elementos de la tercera fila de A. 00:04:58
Multiplicamos estas dos matrices, fijaos se puede multiplicar, orden 3 por 3, orden 3 por 1, 00:05:03
obtenemos una matriz 3 por 1 y sería A1, 1 por B1 más A2, 1 por B2 más A3, 1 por B3. 00:05:09
Ese sería el primer elemento de esa matriz columna, el segundo multiplicando cada uno de los elementos de la segunda fila por esta matriz columna y el tercero multiplicando cada uno de estos elementos por esta matriz columna. 00:05:21
Bien, si multiplicamos, bueno, lo que hemos hecho operando y igualando término a término 00:05:35
Tenemos que x1 va a ser igual a este cociente 00:05:46
Al primer elemento dividido por el valor del determinante 00:05:50
El primer elemento de la matriz columna que habíamos obtenido 00:05:54
Es el primer elemento de la matriz columna que hemos obtenido 00:05:56
Partido por el valor del determinante 00:05:59
La segunda incógnita, el segundo elemento de la matriz columna obtenida 00:06:01
Partido por el valor del determinante 00:06:06
Y el tercero, el tercer elemento de la matriz columna partido por el valor del determinante. 00:06:07
Ahora bien, esto de aquí me recuerda muchísimo a la definición de la matriz de un determinante desarrollada por adjuntos. 00:06:12
Entonces, ¿quién va a ser ese determinante? 00:06:22
Pues fijaos, este determinante va a ser el que se forma sustituyendo en la matriz de coeficientes, sustituyendo la primera columna por la columna de términos independientes. 00:06:23
Y si yo ahora desarrollase, imaginaos que aquí tengo B1, B2, B3, y yo ahora desarrollo ese determinante por adjuntos por la primera columna, sería primer elemento por el adjunto, que sería este determinante de aquí. 00:06:42
Y ese determinante coincide con el adjunto de A1, A1. 00:06:57
Segundo elemento por su adjunto, que es el adjunto de A2, A1. 00:07:00
Y tercer elemento, el B3, por el adjunto, que sería el adjunto de A3, A1. 00:07:04
Luego, si nos fijamos en la primera, tenemos el cociente, la primera incógnita se calcula como el cociente de los determinantes 00:07:10
Primero el determinante que se forma sustituyendo en la matriz A la primera columna por la columna de términos independientes 00:07:19
Y dividido por el determinante de A 00:07:29
De la misma manera vamos a razonar las otras dos expresiones para X2 y para X3 00:07:31
y a las tres expresiones se les conoce como fórmulas de Kramer. 00:07:38
Es decir, X2 se va a formar como el cociente del determinante que se forma 00:07:42
sustituyendo la segunda columna de A por la columna de términos independientes 00:07:47
dividido por el valor del determinante de A. 00:07:53
Y la tercera incógnita se resuelve como el cociente del determinante que se forma 00:07:55
sustituyendo la tercera columna de A por la columna de términos independientes 00:08:01
y dividido por el determinante de A. 00:08:06
Generalizando, si un sistema en ecuaciones es de Cramer, 00:08:14
si tenemos un sistema en ecuaciones de Cramer que cumple en ecuaciones en incógnitas 00:08:18
y el determinante de matriz de coeficientes, el determinante de A, es distinto de 0, 00:08:24
entonces existe una solución única y se obtiene mediante esos cocientes. 00:08:30
es un determinante delta 1 partido determinante de A, determinante delta 2 partido determinante de A, 00:08:34
en general, determinante delta n partido determinante de A. 00:08:40
Donde ese determinante es delta I, es el determinante de la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz de coeficientes 00:08:43
la columna I por la columna de términos independientes. 00:08:51
Bueno, resuelvo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. 00:08:58
Si el sistema, comprobamos que es un sistema de Kramer 00:09:09
La regla de Kramer nos resuelve rápidamente, de forma rápida, el sistema 00:09:15
Entonces vamos a comprobar 00:09:19
Para que sea un sistema de Kramer, tiene que cumplir 00:09:21
Primero, que el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones, lo cumple 00:09:25
Y segundo, que la matriz de los coeficientes tenga determinante distinto de 0 00:09:28
Recordamos, la matriz de los coeficientes se formaba en la primera columna 00:09:34
los coeficientes de la incógnita x, 2, 3, menos 2, en la segunda los coeficientes de 00:09:39
la incógnita y, menos 3, 1, 1, y en la tercera los coeficientes de la incógnita z, 1, menos 00:09:44
2, 3. Y además que existía la matriz columna que estaba formada por los coeficientes, los 00:09:51
términos independientes, mejor dicho, que es 0, 2, o sea, 2 positivo menos 1, 0, 2 menos 00:10:01
1. Vale, bueno, pues entonces nos faltaba comprobar que el determinante de A fuese distinto 00:10:09
de 0 para poder afirmar que el sistema es de Kramer. Luego 2 menos 3, 1, 3, 1, menos 00:10:15
2, menos 2, 1, 3, determinante, por Sarrus, 6, menos 12, vale, esperad, 6 menos 12, más 00:10:22
3, más 2, más 4, y más 27, vale, 6 menos 12, menos 6, menos 6, más 3, menos 3, menos 00:10:38
3 más 2, menos 1, más 4, 3, más 27, 30. Distinto de 0. Por tanto, este sistema es 00:10:51
de Kramer. Pues la fórmula rápida, resolverlo por la regla de Kramer, que nos da directamente 00:10:58
la solución de cada una de las incógnitas. x es el cociente, donde el denominador es 00:11:03
el valor del determinante de los coeficientes, en este caso 30, y el numerador es el determinante 00:11:10
que se forma sustituyendo la columna, o sea, sustituyendo en el determinante de A 00:11:16
la columna de los coeficientes de esta incógnita, la columna de los coeficientes de la X 00:11:21
por el término independiente y la columna de los coeficientes de la Y y de la Z queda igual. 00:11:27
Vale, pues un treintaavo por cero, menos seis, más dos, más uno, cero, y más dieciocho. 00:11:35
Es decir, un treintaavos por menos cuatro más uno, menos tres más dieciocho, quince. 00:11:52
Igual quince treintaavos, simplificando, tres, no sé, podemos dividir entre cinco, sí, tres sextos, podemos dividir, hoy podríamos dividir entre quince, perdón, un medio, un medio. 00:12:03
Bueno, la incógnita I se calcula como el cociente donde el denominador es el valor del determinante de A 00:12:18
Y el numerador, el determinante que se forma a partir de A, sustituyendo la segunda columna por el término independiente 00:12:24
2, 3, menos 2, 0, 2, menos 1, 1, menos 2, 3 00:12:33
Luego un treintaavo que multiplica doce, cero, menos tres, más cuatro, menos cuatro y cero 00:12:40
Venga, doce menos tres, nueve más cuatro, bueno y el cuatro menos cuatro se me va 00:12:52
Luego nueve treintaavos simplificado, tres décimos 00:13:00
Y Z se forma mediante el cociente donde he denominado el valor del determinante 00:13:05
Y en el numerador a partir del determinante de A cambiando la tercera columna por la columna de términos independientes 00:13:13
Luego me queda 1 treintaavos por sarrus, menos 2, más 12, 0, 0, menos 4 y menos 9. 00:13:24
Haciendo las operaciones, menos 2 más 12, 10, menos 4, 6, menos 9, menos 3, menos 3 treintaavos, menos 1 décimo. 00:13:43
Luego la solución de este sistema sería x igual a 1 medio igual a 3 décimos, z igual a menos 1 décimo. 00:13:55
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
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Fecha:
12 de octubre de 2020 - 12:37
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
14′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
653.66 MBytes

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