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Problema Geometría Analítica 1º Bachillerato - Contenido educativo

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Subido el 18 de julio de 2023 por Beatriz V.

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Vídeo con la resolución del ejercicio 82 de la pág 198 del libro de texto Anaya con subtítulos generados con HandBrake

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Hola, vamos a resolver el ejercicio 82 de la página 198 de vuestro libro Anaya. 00:00:00
Dice el ejercicio que los puntos A de coordenadas 0,0 y B de coordenadas 3,6 son dos puntos de 00:00:10
la recta Y igual a 2X. C y D son los puntos de la recta 2X menos Y más 5 igual a 0, más 00:00:16
cercanos a B y A respectivamente. Calcula el área del rectángulo A, B, C y D. 00:00:25
Entonces, si nos fijamos, las dos rectas que nos dan, vamos a llamarlas por ejemplo R1 00:00:32
que es Y igual a 2X, vamos a escribirlo de esta manera, y R2. Bueno, pues van a ser rectas 00:00:42
donde contienen los puntos de este rectángulo que me dicen. Estas rectas contienen lados 00:00:56
secantes. Rápidamente vemos que su forma implícita, que es la relación entre los 00:01:09
coeficientes, es esta. Por tanto, estas rectas son paralelas. Con lo cual, ¿cuál es la 00:01:15
situación en la que nos encontramos? Si aquí tenemos la recta R1 y aquí tenemos la recta 00:01:32
R2 y el punto A es este punto y ese es el punto B, pues el rectángulo, teniendo en 00:01:39
cuenta que los lados son perpendiculares, este va a ser el lado que va a contener, en 00:01:54
este caso, como el punto más cercano al A es el C. Aquí tenemos al C y aquí vamos 00:02:03
a contener a D. Dice que C es el más cercano a B, así que este es C y ese será el D. 00:02:12
Vale, que lo estaba leyendo al revés. Bueno, entonces, ahí tenemos la situación. Y aquí 00:02:31
está formándose un ángulo recto y aquí tenemos un ángulo recto. Por tanto, encontrar 00:02:36
las ecuaciones de estas dos rectas, a las que vamos a llamar, por ejemplo, a este S1 00:02:40
y a este S2, es relativamente fácil porque la recta S1 va a pasar por el punto A00 y 00:02:45
¿cuál va a ser su vector director? El vector director de la recta S1 es un vector perpendicular 00:02:57
a la recta R1 y sí que conocemos el vector normal de R1 porque sabemos que tiene coordenadas 00:03:04
2, menos 1 si nos fijamos en la ecuación en su forma implícita. Entonces, sabemos que 00:03:12
su vector director, por ejemplo, vector director que vamos a utilizar es el vector 2, menos 00:03:18
1. Y aquí, pues, por ejemplo, vamos a utilizar la ecuación continua, obtenemos que la ecuación 00:03:25
es x más 2y, operando todo esto, sale x más 2y igual a cero. Por tanto, las coordenadas 00:03:37
del vector D son la intersección de las rectas S1 con R2. Tenemos las ecuaciones, ¿no? Pues, 00:03:46
venga, x más 2y igual a cero, la intersección con R2 y R2 es 2x menos y más 5 igual a cero. 00:03:56
Esto se puede resolver, por ejemplo, por el método de reducción. Si multiplicamos, por 00:04:07
ejemplo, por menos 2, esta ecuación nos queda menos 2x menos 4y igual a cero y aquí nos 00:04:12
quedaría 2x menos y más 5 igual a cero. Sumando las dos ecuaciones, si me anula la 00:04:21
componente en x y me quedaría menos 5y más 5 igual a cero, de lo cual obtenemos que la 00:04:30
y vale 1 y después despejando la primera de las ecuaciones, la x, que me quedaría 00:04:37
x igual a menos 2y, me quedaría menos 2. Es decir, las coordenadas del punto D son 00:04:46
menos 2 y 1. Bien, vamos ahora a calcular la recta S2. Sabemos que pasa por el punto 00:04:54
B de coordenadas 3, 6. Lo sabemos ahí, el punto S2 pasa por B36 y además tiene el mismo 00:05:04
vector director normal a la recta R1 que hemos utilizado antes. Ecuación continua. Por ejemplo, 00:05:15
utilizamos la ecuación continua y nos quedaría esto. Operando, la expresión de esta ecuación 00:05:24
nos quedaría x más 2y menos 15 igual a cero. Así que este punto C es la intersección 00:05:31
entre S2 con la recta R2. ¿Quién es S2? x más 2y menos 15 igual a cero. ¿Quién es 00:05:40
R2? Pues R2 era 2x menos y más 5 igual a cero. Podemos aplicar de nuevo el método 00:05:51
de reducción. Entonces, multiplicando por ejemplo por 2, la primera ecuación nos quedaría 00:06:05
2x más 4y menos 2. Mejor vamos a multiplicar la de abajo por 2, perdón. Mejor. Entonces, 00:06:11
a multiplicar esta por 2, que ya tiene signo negativo, me quedaría 4x menos 2y más 10 00:06:25
y arriba nos estaba quedando x más 2y menos 15 igual a cero. Sumamos las dos ecuaciones 00:06:33
y nos queda 5x menos 5 igual a cero, lo que nos lleva a que la x vale 1. Y despejando 00:06:41
por ejemplo la y de la segunda ecuación, que sería 2x más 5, 2 por 1 es 2, más 5 00:06:49
es 7. Así que el punto C tiene coordenadas 1, 7. ¿Cómo calcularíamos el área de este 00:06:58
rectángulo? El área del rectángulo es igual a la base por la altura. Así que vamos a 00:07:10
llamar a, por ejemplo, a la base le llamamos a la longitud del vector o del segmento AB, 00:07:15
que sería esto, la distancia entre los puntos A y B, y aplicando la fórmula restamos coordenadas 00:07:26
y las elevamos al cuadrado y eso lo sumamos. Después aplicamos la raíz cuadrada y nos 00:07:41
quedaría la raíz cuadrada de 45, que como es 3 al cuadrado por 5 podemos extraer un 00:07:46
factor 3. Nos quedaría esta longitud, ¿vale? Unidades a unidades, porque no sabemos si 00:07:55
trabajamos en centímetros, en metros, no sabemos, pero sabemos que mide 3 raíz de 00:08:02
5 unidades. Y la altura vamos a considerar, por ejemplo, la distancia entre A y B. Entonces 00:08:06
vamos a calcularlo como la distancia entre A y B, que es igual que el módulo del vector 00:08:16
A y B, y el módulo es la raíz cuadrada, restamos las coordenadas, nos quedaría que 00:08:21
es la raíz cuadrada de 4 más 1, que es la raíz de 5 unidades. Así que el área definitiva 00:08:35
sería el producto de la base, que es 3 por raíz de 5, por la altura que es raíz de 5, 00:08:43
nos quedaría 3 por 5, que son 15 unidades al cuadrado. Y esa sería la solución del ejercicio. 00:08:51
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
Beatriz Viguera
Subido por:
Beatriz V.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
5
Fecha:
18 de julio de 2023 - 23:16
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES N.15 BARRIO LORANCA
Duración:
09′ 05″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
26.19 MBytes

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