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01_descomposición ortogonal de un vector - Contenido educativo
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En la pantalla tenemos al vector tridimensional a y el ejercicio consiste en descomponerlo
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en dos vectores. El primero va a estar en una dirección dada por un segundo vector
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u y el segundo vector deberá estar en una dirección perpendicular a ella. Así que
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queremos descomponer a como suma de dos vectores cada uno de los cuales esté en una de esas
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rectas. Vamos a intentar poner la vista de perfil porque aunque todo sucede en el espacio
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tridimensional, en realidad el problema se entiende mejor con una vista que sea bidimensional.
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Bueno, pues ahí lo tenemos. ¿Cómo conseguiríamos entonces la descomposición deseada? Está
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claro que si ha de ser suma de dos vectores debe ser la diagonal de un paralelogramo y
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como en este caso los vectores han de ser perpendiculares, ese paralelogramo tiene
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que ser un rectángulo. Así que los vectores deseados son los que podemos situar sobre
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los lados de ese rectángulo. Para el vector en la dirección de u, en la primera de las
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rectas, si nos damos cuenta se trata simplemente de encontrar cuál es el vector que llega
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hasta el pie de esa perpendicular y eso es lo que habitualmente llamamos el vector proyección
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de a sobre u, la proyección vectorial de a sobre u. Y así podremos calcularla. Para
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el segundo vector, pues recordando que tiene que estar sobre el otro lado del cuadrilátero,
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pues simplemente debe ser este vector de aquí que recorre ese lado. Para hallarlo, puesto
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que ha de ser suma de q y p, si tenemos el vector p y el vector a, pues podremos hallar
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q simplemente como una resta. Vamos a poner esto en práctica en un ejemplo en el que
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el vector a sea menos 3, 0, 3 y el vector u, que nos da la primera de las direcciones
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de descomposición, sea menos 1, 1, 1. El vector p, entonces, hemos dicho que será
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la proyección de a sobre u, la proyección vectorial, que recordemos que se calcula de
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la siguiente manera. La proyección escalar, el valor de la medida del vector p, se puede
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obtener con el producto escalar de a sobre u, dividido por el módulo de u. Esta sería
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la longitud del vector p. Y ahora, para darle dirección y sentido, utilizamos el vector
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unitario en la dirección y sentido de u, que se obtiene dividiendo u por su módulo.
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El producto escalar de a por u, pues lo haremos multiplicando cada coordenada, será 3 más
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0 más 3, el módulo de u es la raíz de 3, el vector u es menos 1, 1, 1 y el módulo
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de u, pues es la raíz de 3. Así que, sin más que operar aquí, obtenemos 6 partido
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de raíz de 3 cuadrado menos 1, 1, 1, que sería el vector menos 2, 2, 2. Este es el
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primero de los vectores pedido, que es el vector p. Y como hemos querido explicar, el
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vector q, visto que debe cumplirse la relación a es igual a p más q, pues no será otro
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que el vector a menos p. Es decir, el vector menos 3, 0, 3, menos el vector menos 2, 2,
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pues en este caso obtendríamos el vector menos 1, menos 2, 1. Podemos comprobar que
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se cumplen todas las condiciones. Si sumamos este vector menos 2, 2, 2 con este vector
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menos 1, menos 2, 1, obtenemos efectivamente el vector a menos 3, 0, 3. Por otro lado,
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el vector p menos 2, 2, 2 es proporcional al vector u, es el doble del vector u en este
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caso y, por tanto, está en su misma dirección. Y el vector q menos 1, menos 2, menos 1 es
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perpendicular al vector u, a menos 1, 1, 1, porque si hacemos el producto escalar q por
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u, pues obtenemos menos 1 por menos 1 es 1, menos 2 por 1 es menos 2 y 1 por 1 es 1, que
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da 0. Por lo tanto, q y u son perpendiculares, al igual que q y p.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Guerrero López, Jaime
- Subido por:
- Jaime G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 23
- Fecha:
- 28 de agosto de 2023 - 9:08
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
- Duración:
- 04′ 51″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 1152x720 píxeles
- Tamaño:
- 11.83 MBytes
