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3. CALCULO DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Cálculo de derivadas de funciones compuestas. Regla de la cadena

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En este vídeo vamos a ver cómo se aplica la regla de la cadena. 00:00:02
La regla de la cadena es la regla de derivación para funciones compuestas. 00:00:07
¿Qué es una función compuesta? 00:00:12
Pues vamos a repasar la definición. 00:00:14
En todas las dos funciones f y g se llama función compuesta 00:00:17
y se lee g compuesto de f a la función que se tiene sustituyendo en f 00:00:21
los valores o imágenes dados por g de x. 00:00:28
Es decir, si yo tengo un valor x perteneciente al dominio, aplico la función g de x, obtengo su imagen según esa función 00:00:31
y a este valor le aplico la función f de x, el resultado sería esta función compuesta, g compuesto de f. 00:00:40
Vamos a ver algunos ejemplos. Imaginar que tenemos la función f de x igual a x al cuadrado y la función g de x igual a logaritmo neperiano de x. 00:00:52
Vamos a ver cuál sería la función g compuesto de f. Según la definición sería esto. 00:01:23
¿Cómo la calculamos? En la función f de x donde aparezca la variable x tenemos que poner g de x, es decir, que en este caso sería g de x elevado al cuadrado. 00:01:37
Como g de x es el logaritmo neperiano de x, la función sería esta. 00:01:53
Vamos a calcular lo contrario, f compuesto de g. 00:02:02
f compuesto de g 00:02:07
En este caso, donde en la función g de x aparezca la variable x 00:02:11
yo tengo que poner f de x 00:02:19
El resultado sería este 00:02:22
Fijaros que no es lo mismo el logaritmo neperiano de x elevado al cuadrado 00:02:29
que logaritmo neperiano de x al cuadrado 00:02:36
En general, la composición de funciones no va a ser conmutativa. 00:02:44
Bien, la regla de la cadena entonces nos va a permitir calcular la derivada de una función compuesta. 00:03:01
¿Cómo la calculamos? ¿Cuál es esta regla? 00:03:07
Si tenemos la función g compuesto de f y la queremos derivar, 00:03:11
pues la derivada de esta función sería la derivada de la función f evaluada en g de x 00:03:16
y luego multiplicamos por la derivada de g. 00:03:23
Vamos a ver algunos ejemplos. 00:03:28
En este caso, la función logaritmo neperiano del seno de x, pues vemos que es una composición. 00:03:48
En la función logaritmo neperiano, el argumento no es x, sino que es otra función, seno de x. 00:03:57
¿Cómo se deriva? 00:04:04
La derivada del logaritmo neperiano de x, según la tabla de derivadas, es 1 partido de x. 00:04:05
Si en lugar de x aparece una función, la derivada será 1 partido de f de x, 00:04:20
estamos derivando el logaritmo, pero luego tendremos que multiplicar por la derivada de f. 00:04:37
Entonces, en este ejemplo, aquí tendríamos que escribir la derivada del logaritmo neperiano del seno de x, 00:04:44
La derivada del logaritmo es 1 partido del seno de x y ahora multiplicaríamos por la derivada del seno, que es el coseno de x. 00:04:51
O sea que en este caso nos daría la cotangente de x. 00:05:07
Segunda función, elevado a x cuadrado más 2x menos 1. 00:05:17
Esto también es una función compuesta. En el exponente de la exponencial no tenemos la variable x, sino que tenemos otra función. 00:05:26
La derivada de elevado a x es ella misma, elevado a x. 00:05:38
pero si en lugar de x tenemos una función en el exponente f de x 00:05:46
la derivada aplicando la regla de la cadena sería e elevado a f de x 00:05:52
es decir igual que hacemos aquí pero en lugar de x tenemos f de x 00:05:59
pero tenemos que añadir multiplicado por la derivada de f 00:06:03
entonces en nuestro ejemplo la derivada de la función sería 00:06:08
elevado a x cuadrado más 2x menos 1 00:06:15
multiplicado por la derivada de este polinomio 00:06:19
La derivada de este polinomio sería 2x más 2 00:06:23
Así que esta sería la derivada de esta función compuesta 00:06:28
Veamos otro ejemplo más 00:06:33
Por ejemplo, esta función 00:06:37
que si os dais cuenta 00:06:52
es una función compuesta 00:06:55
Ahora, ¿cómo se deriva una función potencial? 00:07:03
Pues la derivada de la función potencial es n por x elevado a n-1. 00:07:11
Lo que ocurre es que ahora en lugar de x tenemos un polinomio, 00:07:19
es decir, una función f de x elevado a n. 00:07:26
La derivada, aplicando la regla de la cadena, será n f de x elevado a n-1, y ahora por la derivada de f. 00:07:30
En nuestro ejemplo, la derivada de esta función sería, derivamos como una función potencial, 00:07:47
1 medio, este polinomio quedaría elevado a 1 medio menos 1, que es menos 1 medio, y 00:07:58
ahora tendríamos que añadir la derivada de este polinomio. Y la derivada de este polinomio 00:08:11
sería 4x cubo menos 6x al cuadrado. Arreglando un poco esa expresión, nos quedaría este 00:08:15
resultado y podemos simplificar un poco más dividiendo entre dos, numerador y denominador. 00:08:38
Para finalizar este vídeo sobre la regla de la cadena vamos a realizar un ejercicio 00:08:56
de cinemática relativo a un movimiento circular uniforme. Nos dan el vector de posición de 00:09:01
una partícula donde r está expresado en metros, t en segundos y ω es la velocidad 00:09:07
angular de la partícula. En el apartado A nos piden el vector velocidad de la partícula 00:09:13
en cualquier instante y su módulo. El vector velocidad es la derivada del vector posición 00:09:19
con respecto al tiempo. Derivando estas dos componentes nos damos cuenta que seno de omega 00:09:26
t es una función compuesta y el coseno de omega t es otra función compuesta. Vamos 00:09:35
a aplicar la regla de la cadena. Por un lado, r, que es una constante, sale fuera de la 00:09:41
derivada, la derivada del seno de omega t sería coseno de omega t por la derivada de 00:09:47
omega t con respecto al tiempo que es omega. La segunda componente, r sale fuera de la 00:09:56
derivada, coseno de omega t, su derivada es menos seno de omega t y la derivada de omega 00:10:04
con respecto al tiempo es omega. Podemos extraer el factor común r omega. Esta velocidad la 00:10:14
expresaríamos en metros partido por segundo. El módulo de esta velocidad sería la raíz 00:10:39
cuadrada de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado. Por 00:10:52
la relación fundamental de la trigonometría esto es igual a 1, con lo cual el resultado 00:11:11
sería R omega, unidades metros partido por 2. 00:11:17
Vemos que el módulo de la velocidad es una constante, puesto que R es, bueno, luego lo 00:11:25
vamos a ver, es el radio de la trayectoria, una trayectoria circular, y omega era la velocidad 00:11:33
angular que le llevaba la partícula y no depende del tiempo, es una constante. 00:11:38
En el apartado B nos piden la aceleración en cualquier instante y su módulo. 00:11:42
La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. 00:11:53
Derivando de nuevo esta expresión, 00:12:01
tendríamos la derivada del coseno de omega t, 00:12:04
sería menos seno de omega t, 00:12:12
y aplicando la regla de la cadena multiplicamos por omega, que es la derivada de omega t con respecto al tiempo. 00:12:16
La segunda componente, la derivada del seno de omega t es coseno de omega t 00:12:27
y la derivada de omega t es omega, sacando factor común a menos r de omega cuadrado. 00:12:34
Esta sería la aceleración expresada en metros partido de segundo cuadrado. 00:12:56
El módulo de este vector sería la raíz cuadrada de cuadrado del primero más cuadrado del segundo y aquí tenemos de nuevo la relación fundamental de la trigonometría, seno cuadrado omega t más coseno cuadrado de omega t es igual a 1, así que el resultado final es r unido al cuadrado. 00:13:04
En el apartado C nos piden las componentes intrínsecas de la aceleración. 00:13:55
Vamos a ver de dónde vienen las dos componentes que tiene la aceleración. 00:14:09
Apartado C. 00:14:16
La velocidad es un vector que lo podemos escribir como módulo de v por un vector unitario en la dirección de v. 00:14:40
Hemos visto que la aceleración era la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. 00:14:57
derivando el vector velocidad como un producto, esto sería la derivada del módulo de v con respecto al tiempo 00:15:05
por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada del vector unitario en la dirección de v 00:15:19
con respecto al tiempo. Esto es lo que da lugar a las dos componentes intrínsecas de la aceleración. 00:15:33
Este primer término que tenemos aquí es lo que llamamos aceleración tangencial. 00:15:40
Es la que da cuenta de la variación en el módulo de la velocidad. 00:15:48
En este otro término, la variación que estamos apreciando en el vector es en la dirección. 00:15:56
A este otro componente se le llama aceleración normal. 00:16:10
Cuando el movimiento es rectilíneo, la variación en la dirección es 0, es nula 00:16:14
Con lo cual la aceleración normal es 0 y la aceleración coincide con la aceleración tangencial 00:16:22
En este ejercicio que estamos haciendo, donde tenemos un movimiento circular uniforme 00:16:29
La trayectoria, como veremos en el apartado D, es una circunferencia de radio r. 00:16:37
En este caso, la velocidad, el módulo de la velocidad, no varía con respecto del tiempo. 00:16:51
Lo hemos calculado anteriormente. 00:16:57
Hemos visto que la velocidad, el módulo de la velocidad, es r omega. 00:17:01
Ah, tenemos aquí. 00:17:09
Esto es una constante, no depende del tiempo, 00:17:16
con lo cual en este movimiento la aceleración tangencial va a ser nula. 00:17:20
¿Por qué existe aceleración? 00:17:28
Pues existe aceleración porque hay cambio en la velocidad. 00:17:30
Recordad que la velocidad es siempre tangente, 00:17:35
el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria 00:17:40
y tratándose de un movimiento con cierta curvatura, en este caso un movimiento circular, 00:17:44
sí que observamos cambio en la dirección. 00:17:53
O sea que la aceleración que vamos a tener en un movimiento circular uniforme es la aceleración normal. 00:17:57
Aceleración normal, que podemos deducir su expresión. 00:18:05
hemos visto que el módulo de a que hemos calculado antes era r omega al cuadrado 00:18:10
como en este caso coincide con el módulo de a sub n 00:18:20
con el módulo de la aceleración normal 00:18:26
haciendo los cálculos tendremos que la aceleración normal 00:18:29
la podemos expresar así en función de omega 00:18:37
o teniendo en cuenta que r omega era la velocidad lineal, tenemos esta otra expresión conocida, que es v cuadrado partido de r. 00:18:42
Por último, el apartado d nos pide la ecuación de la trayectoria. 00:19:08
El vector posición que venía dado por esta expresión nos da las componentes x e y en función del tiempo 00:19:17
Para eliminar el parámetro t en estas ecuaciones lo que vamos a hacer va a ser elevar al cuadrado cada una de ellas 00:19:41
y sumando vemos que esto es igual a 1 y nos queda la ecuación de una circunferencia centrada en el origen y de radio R. 00:20:02
Bien, por último considerar este apel de GeoGebra que nos representa el movimiento circular uniforme que acabamos de estudiar. 00:20:43
Para t igual a 0 el vector de posición nos da este punto inicial 00:20:56
Variando los parámetros de r y omega vamos obteniendo diferentes valores para el módulo de la velocidad y el módulo de la aceleración 00:21:01
La aceleración solamente tiene una componente que es la aceleración normal 00:21:14
La que da cuenta de la variación en la dirección del vector velocidad 00:21:19
El módulo no cambia, con lo cual la aceleración tangencial es cero. 00:21:27
Por otro lado, omega está relacionado con el periodo. 00:21:31
El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa el móvil. 00:21:35
Con lo cual la relación entre omega y t es 2pi partido de t es igual a omega. 00:21:40
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 15:19
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
21′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
67.06 MBytes

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