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FU1. 2.4 Asíntotas. Ejercicio 5 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las asíntotas de funciones. 00:00:31
A continuación vamos a estudiar las asíntotas. 00:00:40
Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de la función va a tender a aproximarse infinitamente sin llegar a tocarla. 00:00:51
Sin llegar a tocarla en aquellos lugares en donde la asíntota funcione como tal, cosa que vamos a discutir dentro de un momento. 00:00:58
Asíntotas, nosotros vamos a tener tres, asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, que se corresponden con las posiciones posibles de una recta dentro del plano. 00:01:07
Puede ser vertical, horizontal o bien inclinada una asíntota oblicua. 00:01:16
En este caso vemos aquí a la derecha ejemplos de una función que tiene dos asíndotas verticales. Fijaos en que cuando la x tiende a aproximarse al valor menos 2, tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a tomar valores arbitrariamente grandes, tiende a tomar valores hacia más infinito. 00:01:19
Pero vemos que en el dibujo de la función tiende a aproximarse por ambos lados hacia esa recta vertical, x igual a menos 2, pero no va a llegar a tocarla nunca. 00:01:42
Lo mismo nos ocurre en el caso x igual a 2. Vemos que si pintamos la función tanto por la izquierda como por la derecha, la función decrece, toma valores próximos o tendientes hacia menos infinito, próximos aproximándose a esa recta x igual a 2, pero sin llegar a tocarla nunca. 00:01:52
x igual a 2 también es una asíntota vertical. 00:02:10
Asimismo, esta función tiene asíntotas horizontales, también y igual a 2, y igual a menos 2. 00:02:16
En este caso, las asíntotas horizontales no se corresponden con un valor concreto de x, 00:02:24
sino con valores de x tendientes a más infinito, arbitrariamente grandes, o a menos infinito, arbitrariamente pequeños. 00:02:29
Fijaos qué es lo que ocurre si pintamos la gráfica de la función tomando hacia la izquierda valores arbitrariamente pequeños. 00:02:36
Vemos que en ese caso la función, si la pintamos de derecha a izquierda, veríamos que estaría bajando y se curva. 00:02:43
De tal forma que tendería a aproximarse cada vez más a esta recta y igual a menos 2, pero en principio sin llegar a tocarla nunca. 00:02:52
Esta recta igual a menos 2, a la cual la función tiende a aproximarse cuando la x tiende hacia menos infinito, pero no se llegará a tocarla nunca, es una asíntota horizontal. 00:03:01
Y en este caso, cuando x tiende a menos infinito. 00:03:13
Cuando x tiende a más infinito, esta asíntota vertical no es la que corresponde. 00:03:17
Podría no haber asíntota horizontal cuando x tiende a más infinito. 00:03:22
No necesariamente tiene que existir de existir en los dos extremos. 00:03:26
Y en este caso existen ambas y son distintas. Resulta que cuando x tiende a más infinito, cuando pintamos la función hacia la derecha, tomando la x valores arbitrariamente grandes, la función es creciente, tomando valores cada vez más próximos a este valor de y igual a 2, pero sin llegar a tocarlo nunca. 00:03:29
En este caso, y igual a 2 es una asíntota horizontal de la función cuando x tiende a más infinito. 00:03:47
Decía que la asíntota horizontal 00:03:53
lo es cuando corresponde. Acabo de decir que 00:03:57
y igual a 2 es asíntota horizontal de la función cuando x tiende a más infinito 00:04:00
En la definición de asíntota horizontal figura que 00:04:05
la función tiende a aproximarse sin llegar a tocar 00:04:09
Fijaos que en este punto y en este punto la función toma valores 00:04:12
y igual a 2. Si yo hubiera pintado esta asíntota horizontal 00:04:17
hasta el extremo de menos infinito, veríamos que la función no es que se aproxime, 00:04:21
es que corta a la recta y igual a 2 en estos dos puntos. 00:04:27
¿Qué es lo que ocurre? Que en esta región la función y igual a 2 no actúa como una asíntota. 00:04:31
Solo lo es en el extremo cuando x tiende a más infinito. 00:04:37
Y es aquí, en el extremo con x tendiendo a más infinito, 00:04:40
en el que la función se aproxima a la asíntota sin llegar a tocarla. 00:04:44
pero por aquí es posible que llegara a tocarla. Lo mismo, por cierto, con la asíntota cuando x 00:04:48
tiende a menos infinito y igual a menos 2. En este extremo de la función, cuando la y, perdón, 00:04:54
cuando x se aproxima a menos infinito, la función se aproxima a la asíntota sin llegar a tocarla, 00:05:01
pero es cierto que si prolongáramos la asíntota en estos dos puntos la función la corta. Bien, 00:05:06
correcto, pero es que en esta región la función no actúa como asíntota horizontal, tan solo cuando 00:05:11
la x tiende a menos infinito. Las asíntotas oblicuas son algo más 00:05:17
difíciles de caracterizar y en este caso vemos un ejemplo. Vemos esta línea 00:05:22
oblicua, se corresponde con la recta y igual a x y vemos que la función, aparte 00:05:27
de la asíntota vertical x igual a cero, vemos que la función cuando la x se 00:05:33
aproxima a cero, tanto por la izquierda como la derecha, tiende a aproximarse 00:05:39
mucho al eje de las y, es a la recta x igual a cero, pero sin llegar a tocarlo 00:05:43
nunca. Y en los límites, cuando x tiende a menos infinito y a más infinito, la función tiende a 00:05:47
aproximarse muchísimo a esta línea que tenemos aquí pintada, oblicua, y igual a x, pero sin llegar a 00:05:52
tocarla nunca. En este ejemplo, la recta y igual a x, la recta oblicua y igual a x, es una asíntota 00:05:58
oblicua de la función, cuando x tiende tanto a más infinito como cuando x tiende a menos infinito. 00:06:04
Como vemos aquí, las asíntotas que aquí hemos caracterizado de una forma un tanto sui generis a 00:06:11
partir de la gráfica de la función, se podrán caracterizar de una forma rigurosa algebraica 00:06:16
cuando lleguemos a la unidad donde estudiamos los límites de funciones. Vamos a utilizar estos dos 00:06:22
ejemplos en este ejercicio 5 para ver cómo podríamos caracterizar las asíntotas de una 00:06:29
función dada por una gráfica. Aquí tenemos una función, vamos a llamar a, puesto que se trata 00:06:35
del apartado A y vamos en primer lugar a buscar si tiene asíntotas verticales, luego si tiene 00:06:41
horizontales y luego si tiene oblicuas. Vemos que tiene la asíntota vertical x igual a 0, puesto 00:06:46
que el eje de las y actúa como asíntota. Nos podemos fijar en que cuando la función toma valores 00:06:52
x tendientes a 0, tanto por la izquierda como por la derecha, tiende a aproximarse al eje de las y, 00:06:58
pero vemos que sin llegar a tocarlo nunca. Así pues, x igual a 0 es una asíntota vertical. 00:07:04
Esta función no tiene asíntotas horizontales, puesto que estamos viendo que tiene una asíntota oblicua. 00:07:10
La recta y igual a x, que es esta que está aquí pintada con trazo subrayado, es una asíntota oblicua, 00:07:16
puesto que conforme x tiende a más infinito o bien x tiende a menos infinito, 00:07:24
cuando dibujamos la gráfica de la función con valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños de x, 00:07:28
tiende a aproximarse a esa línea recta, a la que viene dada por este trazo punteado, pero sin llegar a tocarla nunca. 00:07:34
Así pues, esta función tiene asíntota vertical x igual a cero, no tiene asíntotas horizontales y tiene la asíntota oblicua y igual a x en ambos límites cuando x tiende a más infinito y a menos infinito. 00:07:39
En cuanto al segundo ejemplo, esta función que vamos a llamar b, puesto que se trata del apartado b, vemos que tiene una asíntota vertical y una asíntota horizontal. 00:07:55
En este caso la asíndota vertical es esta recta x igual a menos 2 que tenemos aquí representada. 00:08:04
La función cuando x tiende a menos 2 por la derecha o por la izquierda vemos que tiende a aproximarse a la recta que da la asíndota vertical pero sin llegar a tocarla nunca. 00:08:10
Y lo mismo en el límite cuando x tiende a más infinito, cuando x toma valores arbitrariamente grandes, x tendiendo a menos infinito, x tomando valores arbitrariamente pequeños. 00:08:20
La función tiende a aproximarse a esta recta horizontal i igual a 1, pero sin llegar a tocarla nunca. 00:08:29
Puesto que la función tiene ambas asíntotas horizontales y la función se aproxima a rectas horizontales, no va a tener asíntotas oblicuas, como vemos aquí. 00:08:37
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:48
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:54
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:59
Un saludo y hasta pronto. 00:09:04
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3
Fecha:
16 de noviembre de 2025 - 13:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 32″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
24.21 MBytes

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