Videotutorial - Continuidad 2º Bach
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Hola, buenos días chicos. Este vídeo es para explicaros el concepto de continuidad.
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¿De acuerdo? Entonces, lo primero que tenemos que reconocer es la definición.
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La definición dice que una función f de x es continua en el punto x igual a a si cumple lo siguiente.
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Que el límite cuando x tiende a por la izquierda es igual al límite cuando x tiende a por la derecha es igual a f de a.
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Es decir, como pone en las observaciones, tengo que calcular tres cosas. El límite por la izquierda, el límite por la derecha, el valor justo en el punto A, es decir, que el tercer cálculo no es un límite, sino que es evaluar la función cuando la X va a la A, y por último, comparar los tres valores.
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vale, insisto en que el primer trozo es un límite lateral por la izquierda
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el segundo es un límite lateral por la derecha
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y el tercero no es un límite sino que es evaluar la función cuando la x vale a
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gráficamente el concepto de continuidad lo tenemos muy claro
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una función es continua cuando puedo trazar la gráfica fácilmente sin levantar el trazo en la mano del papel
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sin embargo una función es discontinua cuando la dibujo
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pero para continuar dibujándola debo de hacer algún tipo de salto y continuarla, ¿vale?
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Pero a nosotros no nos van a dar gráfica, sino que nos van a dar la función en forma analítica.
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Por eso tenemos que dominar esa definición y además repasar algunos conceptos que vamos a utilizar.
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Tenemos que saber qué tipos de discontinuidad hay.
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Vamos a manejar tres tipos.
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Tenemos discontinuidad evitable, ¿vale? Gráficamente es lo que tenemos aquí. Una discontinuidad evitable es aquella en la que parece que la función es continua salvo por un pequeño agujerito que tiene en la gráfica, ¿vale?
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Si ese agujerito lo podríamos tapar con un dedo, no se notaría la discontinuidad, ¿vale?
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Se llama evitable porque si tapo ese agujero se podría evitar, ¿vale?
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Entonces, como pone aquí, son las que tienen un agujero y los límites laterales son iguales, pero no coinciden con el valor de FDA, ¿vale?
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Vamos a aplicar la definición también para identificar qué tipo de discontinuidad es.
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Ahora retomamos esto.
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Discontinuidad es salto finito, como veis en la gráfica un salto finito es cuando hay un salto que yo podría medir
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Como es este caso, la función acaba en el punto cerrado y continúa en el punto abierto y parece que esa distancia que hay ahí es medible
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Y discontinuidad es salto infinito, salto infinito es cuando una de las ramas de la función o las dos, da igual una rama o la otra o las dos
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dan un salto que no se puede medir.
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Por ejemplo, en este caso, esta rama continúa de forma infinita,
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no sabemos dónde acaba y luego continúa por aquí.
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El hecho de que no sepa dónde acaba una rama que tiende a infinito
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me indica que es una discontinuidad de salto infinito.
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Las discontinuidades, los tipos de discontinuidades,
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están relacionadas con la definición.
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La discontinuidad evitable, los límites laterales coinciden,
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pero no existe, no coincide con f de a, ¿vale? De ahí el agujerito. Salto finito indica que los límites laterales existen, pero este toma un valor y este toma otro.
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Por lo tanto, como ya no se cumple esta igualdad, pues ya es una discontinuidad. Y de salto infinito es que o un límite es infinito menos infinito,
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o que el otro límite también lo es o que los dos lo son, ¿vale?
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Y ese tipo de discontinuidad está relacionado con la definición.
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Falla alguna igualdad de las que hay aquí, ¿vale?
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Acordaros que hay que decir dónde un punto, dónde una función es discontinua y de qué tipo.
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Por último, hay que recordar o hay que pensar cuándo vamos a tener problemas de discontinuidad, ¿vale?
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Y esto es para que os sirva de ayuda.
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¿Dónde puede haber problemas de discontinuidad?
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Pues cuando nos aparezca una función con denominadores o cuando nos aparezcan funciones a trozos,
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vamos a tener que discutir o estudiar la continuidad de esa función.
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Cuando la función es racional, sabemos que el problema está en los valores de x que hagan que el denominador se anule,
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es decir, cuando el denominador es cero.
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Y en una función a trozos, pues tengo que revisar la función a trozos, pero normalmente va a coincidir con los valores de x donde acabo un trozo y empiezo el siguiente.
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Vemos el primer ejemplo. Me dicen que f de x es una función a trozos de este tipo.
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Es decir, que f vale x al cuadrado siempre que x sea distinto de 2.
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Y si x vale 2, la función vale 5.
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¿Cómo hacemos aquí el estudio?
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Pues sabemos que x al cuadrado es una función continua, si la función valiera solamente 5 sería una función constante y sería continua, luego por sí solo cada trozo es continuo, pero como no son solas sino que es una función a trozos, ¿dónde está el problema?
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¿Dónde la función cambia de valor?
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La función cambia de valor si x es igual a 2.
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Por lo tanto, aplico la definición en x igual a 2.
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Aplico la definición y sustituyo mi valor a por 2.
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Por lo tanto, para comprobar la definición, calculo el primer trozo.
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¿Cuánto es el límite de la función cuando me acerco a 2 por la izquierda?
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Atención a esto porque tenéis que saber qué función tengo que coger cuando me acerco a 2 por la izquierda
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Si me acerco a 2 por la izquierda estoy cogiendo x al cuadrado
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Evalúo, esto me vale 4
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Por la derecha es igual, si tienes f, si me acerco a 2 por la derecha
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En este caso, si me acerco a 2 por la derecha, debería tomar este trozo.
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¿Vale? Calculo este límite y por último me queda calcular quién es f de 2.
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La función cuando la x vale 2, ¿dónde la tengo que evaluar?
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Pues según dice la definición, si la x vale 2, la función valdría 5.
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Y en el resto de los casos valdría x al cuadrado.
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¿Vale? Pues f de 2 vale 5.
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por lo tanto completo esta definición con mis resultados
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el límite por la izquierda de esta función es 4
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el límite por la derecha es 4
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luego estos dos límites coinciden
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pero en el último trozo f de 2 es distinto
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entonces es distinto porque f de 2 es 5
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por lo tanto veo que los límites laterales coinciden
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parece que la función va a ser continua
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pero tiene un pequeño agujerito justo en f de 2.
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Por tanto, la solución final de este ejercicio sería que f tiene una discontinuidad en x igual a 2
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y ¿de qué tipo? Una discontinuidad evitable, ¿vale? En x igual a 2.
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Hay que decir en dónde y de qué tipo es la discontinuidad, ¿de acuerdo?
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Vale, vamos a ver un caso más común, ¿vale? El primero es un poquito especial,
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pero aquí tenéis otra función a trozos donde la función vale x al cuadrado más 1
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si los valores de x son más pequeños que 1 y si son mayores que 1 vale menos 2x.
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El razonamiento es el mismo, cada trozo por sí mismo es una función continua.
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Si f de x fuera x al cuadrado más 1 o solamente fuera menos 2x no habría problema de discontinuidad,
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pero como es una función a trozos el problema está justo en el punto donde cambia la función en x igual a 1.
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Estudio la discontinuidad en x igual a 1
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Estudio el límite lateral por la izquierda, por la derecha y f de 1
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Cuidado con estos límites, tengo que saber en cada momento qué trozo de la función cojo
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Si me acerco a 1 por la izquierda, me estoy acercando por los valores de x más pequeños que 1
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Por lo tanto, cogería esta f de x
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x al cuadrado más 1, evalúo, calculo el límite y me sale 2
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Y si lo hago por la derecha de 1, cogería esta función y justo en f de 1 tengo que elegir esta.
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¿Por qué? Porque estos son los x mayores igual que 1.
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Compruebo los resultados y en este caso los límites laterales son distintos, aunque son valores finitos.
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Por lo tanto, f tiene una discontinuidad de salto finito en x igual a 1.
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En este vídeo vamos a estudiar la continuidad con parámetros.
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Como pone en el objetivo, en el primer comentario, dice, vamos a calcular el valor de uno o dos parámetros para que la función sea continua.
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Es decir, no tiene nada que ver con lo que hemos hecho en los anteriores vídeos.
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Ahora no se trata de estudiar la discontinuidad, la continuidad o discontinuidad de una función.
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Se trata de buscar valores de un parámetro desconocido para hacer que esa función sea continua.
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Eso es lo que se explica en este tramo.
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Bien, por ejemplo, si me dan la función que tenemos en el ejemplo 1, aquí el parámetro sería la letra A.
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Recordad que un parámetro es el equivalente a un número, es el representante de un número.
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Un parámetro sería un valor numérico, no es una variable.
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A podría ser 5, 8, 10, se comporta exactamente con un número.
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Ya lo hemos trabajado en matrices, lo hemos trabajado en sistemas de ecuaciones,
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que hemos trabajado mucho antes. ¿De acuerdo? Pues, ¿cómo abordo yo este ejercicio?
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Bien, la primera parte de la función sería una recta, porque x tiene grado 1,
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la segunda sería una parábola. En sí, estos trocitos no tienen ningún problema de continuidad.
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Como es una función a trozos, el problema, la discusión se va a hacer en torno a x igual a 3,
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que es donde la f de x, donde la función, cambia de gráfica.
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Por lo tanto, tenemos que pensar que para que f sea continua en x igual a 3,
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tiene que cumplir la definición.
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Recordad que el objetivo es que esta función sí sea continua
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y tenemos que hacer que se cumplan estas tres condiciones, que las tres sean iguales.
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Hacemos como hemos hecho antes en el primer vídeo.
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Calculamos por separado cada uno de estos conceptos, ¿vale? Con cuidadito.
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El primer límite, cuando la x se acerca a 3 por la izquierda, f la tengo que sustituir por 2x más a.
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¿Por qué? Porque lo pone en la definición 2x más a para los valores más pequeños que 3.
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Perdonad.
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Vale, sustituyo y evalúo. Aquí tengo el parámetro.
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Entonces, evalúo todo lo que pueda evaluar. Puedo hacer 2 por 3, 6, más a. 6 y a no se pueden juntar, no son términos semejantes.
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Calculo el límite lateral cuando x tiende a 3 por la derecha. Si me acerco a 3 por la derecha, estoy tomando los valores de x mayores que 3.
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Luego f la tengo que sustituir por este trámito, x al cuadrado menos 2, ¿vale?
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Pues en la definición donde hay una f pongo x al cuadrado menos 2, que es el cachito que se corresponde a los x mayores que 3.
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Evalúo, me sale 7, ¿vale?
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Y f de 3 es evaluar la función cuando la x vale 3, ¿vale?
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La función se evalúa en x igual a 3, como veis en esta definición, 2x más a ocurre cuando el x es más pequeño que 3 y también igual a 3.
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Pues entonces cuando el x vale 3, evalúo la función en este trocito de función.
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Y de nuevo me sale lo de antes, 2 por 3 más a, 6 más a, 6 y a no son semejantes, se quedaría así.
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Para que la función sea continua tengo que forzar que estas tres cosas que he calculado sean iguales.
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Normalmente va a ocurrir que hay dos cosas que se repiten, por lo tanto esto y esto ya sé que son iguales.
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Voy a juntar estas dos cosas. Para que la función sea continua tiene que ocurrir que esto y esto sea igual.
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Es decir, obtengo una ecuación sencilla de primer grado donde despejo A y A vale 1.
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Este a vale 1 ocurre cuando aplico la definición, por lo tanto, para que la función sea continua, a tiene que valer 1, o dicho de otra manera, si a vale 1, para que la función sea continua, en x igual a menos 3.
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¿De acuerdo? Revisad el resto de los ejemplos, os digo igual que antes, hay varios ejemplos diferentes con casuísticas diferentes, revisadlos porque este es el más fácil.
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Puede darse hasta un sistema de ecuaciones.
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Así que con esto hemos terminado.
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- Subido por:
- María Soledad L.
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- 13 de septiembre de 2024 - 23:14
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