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Sistemas de ecuaciones lineales. (Soluciones y método gráfico) - Contenido educativo

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Subido el 29 de diciembre de 2023 por Miguel G.

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Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Solución del sistema y análisis de las soluciones posibles. Ejemplo de resolución con el método gráfico.

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Estudiemos ahora los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 00:00:00
Cuando tenemos simultáneamente dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas existe el sistema de ecuaciones. 00:00:05
Se puede escribir simplificado de la forma ax más bi igual a c para la primera ecuación 00:00:13
y a'x más b'i igual a c' para la segunda ecuación, donde x e y son las incógnitas y abc'b'c' son los coeficientes, 00:00:21
siendo a el número que multiplica la x de la primera ecuación, b el número que multiplica la y en la primera ecuación 00:00:38
y c el término independiente de la primera ecuación, y a' el número que multiplica la x en la segunda ecuación, 00:00:46
b' el número que multiplica la y en la segunda ecuación y c' el término independiente de la segunda ecuación. 00:00:56
Vamos a estudiar los coeficientes en el sistema 2x más y igual a 1, 3x menos 2 y igual a 5. 00:01:08
En la primera ecuación podemos observar que a, el número que multiplica la x es 2, b es 1. 00:01:15
Fijaros que si no hay nada a la izquierda se entiende que hay un 1 y c sería 1. 00:01:23
En la segunda ecuación a' es 3, b' es menos 2 y c' es 5. 00:01:28
La solución del sistema de dos ecuaciones es un par de números x y que verifican las dos ecuaciones a la vez. 00:01:41
Por ejemplo, ¿es 2 menos 3 solución de este sistema? 00:01:49
Para verlo lo que tenemos que realizar es sustituir la x por 2 y la y por menos 3 en ambas ecuaciones 00:01:58
y comprobar que se cumplen las igualdades numéricas. 00:02:06
Así que vamos a ver cómo se hace. 00:02:09
Realizando las operaciones de la izquierda tenemos 4 menos 3 igual a 1. 00:02:13
Es decir, 1 igual a 1. Es una igualdad numérica verdadera. 00:02:19
Fijaros que también tenemos que comprobarlo en la segunda ecuación. 00:02:24
Es decir, vamos a sustituir la x por 2 y la y por menos 3 en ambas ecuaciones y comprobar que se cumplen las igualdades numéricas. 00:02:28
Fijaros que también tenemos que comprobarlo en la segunda ecuación. 00:02:37
Es decir, vamos a sustituir ahora en la segunda ecuación la x por 2 y la y por menos 3. 00:02:41
Y observar qué ocurre. Tenemos 3 por 2 menos 2 por menos 3. 00:02:48
Esto tiene que darnos 5. 00:02:56
Es decir, haciendo las operaciones, 6 más 6. 00:02:58
Fijaros que menos por menos es más. 00:03:03
Esto tiene que dar igual a 5. 00:03:06
Como vemos, 12 no es lo mismo que 5. 00:03:10
Por lo tanto es una igualdad numérica falsa. 00:03:14
Como una de las dos ecuaciones no se ha cumplido, podemos decir que no es solución del sistema. 00:03:17
El punto 2 menos 3. 00:03:25
Es el punto 1 menos 1 solución del sistema. 00:03:29
Si sustituimos en la primera ecuación nos queda 2 por 1 más menos 1 igual a 1. 00:03:33
Es decir, haciendo las operaciones nos queda 2 menos 1 igual a 1. 00:03:42
Es decir, 1 igual a 1, lo cual es una igualdad numérica verdadera. 00:03:48
En la segunda ecuación, al cambiar la x por 1, tenemos 3 por 1 menos 2 por el valor de la y que es menos 1. 00:03:53
Y esto nos tiene que dar 5. 00:04:03
Es decir, 3 más 2 igual a 5. 00:04:05
Por lo tanto obtenemos que 5 es igual a 5. 00:04:09
Como tenemos dos igualdades numéricas verdaderas, concluimos con 3 por 1. 00:04:12
Concluimos que sí. 00:04:22
El par de valores 1 menos 1 sí es solución. 00:04:28
Podemos analizar las soluciones del sistema en función de los coeficientes de las ecuaciones. 00:04:39
Si A entre A' da distinto de B entre B', el sistema es compatible determinado, lo cual significa que tiene solución única. 00:04:46
Si representamos además las rectas que corresponden a la primera ecuación y a la segunda ecuación, obtenemos dos rectas secantes, siendo el punto de intersección la solución del sistema. 00:05:00
Cuando tenemos que A entre A' es igual a B entre B' pero distinto de C entre C', el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución. 00:05:16
Si representamos las rectas en ese caso, vamos a obtener dos rectas paralelas. 00:05:30
Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto, por eso el sistema es incompatible. 00:05:36
O sin solución. 00:05:44
Y la última posibilidad es que el cociente de todos los coeficientes dé el mismo resultado. 00:05:47
En ese caso el sistema es compatible, es decir, tiene solución pero indeterminado, lo que significa que tiene infinitas soluciones. 00:05:56
La representación gráfica de las dos rectas correspondientes a las dos ecuaciones del sistema van a ser en realidad una recta encima de otra, lo que llamamos rectas coincidentes. 00:06:06
Las dos rectas tienen en común infinitos puntos, que son las infinitas soluciones del sistema. 00:06:21
Volviendo al sistema de nuestro ejemplo inicial, tenemos que A es igual a 2, B es igual a 1, A' es igual a 3 y B' es igual a menos 2. 00:06:27
Observamos que el cociente de A entre A' nos queda 2 tercios y no es lo mismo que el cociente entre A' y B' que nos queda 1 entre menos 2. 00:06:44
También podríamos observar que esto no es una igualdad cierta multiplicando en cruces, es decir, 2 por menos 2 nos sale diferente que 3 por 1. 00:07:00
Es decir, no se cumple la proporción. 00:07:11
Por lo tanto, podemos deducir que el sistema es compatible y determinado, es decir, si representamos las rectas de las dos ecuaciones vamos a ver que son secantes y se cortan en la solución del sistema. 00:07:13
Para terminar vamos a hallar las soluciones de este sistema utilizando el método gráfico. 00:07:31
Este método consiste en representar las dos ecuaciones lineales que forman el sistema. 00:07:39
Voy a llamar R1 a la recta correspondiente a la ecuación 2X más Y igual a 1. 00:07:48
Para representarla lo primero que tenemos que hacer es despejar la incógnita Y. 00:07:57
En este caso nos queda 1 menos 2X. 00:08:04
Fijaros que el término 2X ha pasado a la derecha restando. 00:08:08
Una vez que tenemos despejada la incógnita Y que es la variable dependiente vamos a realizar una tabla de valores para hallar puntos del plano. 00:08:19
La primera columna corresponde a la X que es la variable independiente, la segunda columna corresponde a la Y o variable dependiente que se calcula en este caso con la expresión 1 menos 2 por X. 00:08:34
Comenzamos dando valores a la X. Por ejemplo si a X le damos el valor 0 la Y se calcula como 1 menos 2 por 0. 00:08:48
Esto nos queda 1 menos 0 que es 1. 00:08:58
De aquí obtenemos el punto del plano 0,1. 00:09:04
Lo vamos a representar en nuestro sistema de ejes cartesianos que tenemos aquí a la derecha. 00:09:09
0 de X, 1 de Y. 00:09:16
Por lo tanto el punto lo tenemos aquí. 00:09:20
Ahora vamos a dar a la X otro valor. Por ejemplo para X1 la Y sería 1 menos 2 por 1. 00:09:26
Esto nos queda 1 menos 2 que es menos 1. 00:09:37
De aquí obtenemos el punto 1, menos 1. 00:09:41
Recordar que para representar los puntos en el plano primero se da la coordenada X y luego la coordenada Y. 00:09:46
Así para representar el punto 1, menos 1 nos fijamos en X1 y en Y menos 1. 00:09:54
La intersección de las dos líneas imaginarias nos proporciona el punto buscado. 00:10:01
Uniendo los dos puntos con una regla obtenemos la recta correspondiente a la primera ecuación del sistema de ecuaciones que hemos llamado R1. 00:10:08
Para representar la recta R2 correspondiente a la segunda ecuación del sistema 3X menos 2 igual a 5, 00:10:20
lo primero que hacemos es despejar el término menos 2Y. 00:10:27
Nos queda 5 menos 3X. 00:10:32
Observar que el término 3X pasa a la derecha restando. 00:10:35
Ahora tenemos que despejar la variable Y. 00:10:42
Fijaros que el número que multiplica a la Y es 5 menos 3X. 00:10:47
Fijaros que el número que multiplica a la Y es menos 2. 00:10:53
Por lo tanto pasa dividiendo a los dos términos que tenemos a la derecha. 00:10:59
Es decir, 5 menos 3X todo dividido entre menos 2. 00:11:04
Para hacer esta división procedemos de la siguiente forma. 00:11:08
Primero dividimos los signos. 00:11:13
El 5, ¿qué signo tiene a la izquierda? 00:11:16
El signo es positivo porque no tiene nada. 00:11:20
Hacemos más entre menos. 00:11:24
Eso nos queda menos. 00:11:27
Y ahora dividimos los números. 00:11:29
5 entre 2 nos queda 5 medios que lo dejamos en forma de fracción. 00:11:31
Seguimos con el siguiente término. 00:11:35
Realizamos menos entre menos. 00:11:38
Nos queda más. 00:11:41
Ahora dividimos los números. 00:11:43
3 entre 2. 00:11:45
Eso nos queda 3 medios. 00:11:47
Y a la derecha va multiplicando la letra X. 00:11:49
A continuación realizamos la tabla de valores. 00:11:55
Si a la X le damos el valor 0, la Y la obtendremos como menos 5 medios más 3 medios por 0. 00:11:59
Es decir, nos queda menos 5 medios. 00:12:06
Y ahí obtenemos el punto 0 menos 5 medios. 00:12:08
Para representarlo en nuestro sistema de ejes cartesianos, observar que hemos separado la distancia unidad, es decir, el 0 del 1 o del menos 1, que es el segmento unidad, lo hemos separado de dos cuadraditos, que es lo que indica o lo que marca el denominador de la fracción. 00:12:12
De esta forma, menos 5 medios se encuentra en el eje de ordenadas a distancia de 5 cuadraditos hacia abajo. 00:12:31
Es decir, en menos 2,5. 00:12:42
Fijaros que menos 5 medios es lo mismo que menos 2,5. 00:12:45
Así podemos dibujar el punto 0 de X menos 5 medios correctamente. 00:12:49
Ahora, si a la X le damos el valor 1, la Y será menos 5 medios más 3 medios por 1. 00:12:59
Es decir, menos 5 medios más 3 medios. 00:13:06
Esto nos queda menos 2 medios, que es igual a menos 1. 00:13:11
Este punto es más fácil porque obtenemos el punto 1 menos 1. 00:13:15
Uniendo los dos puntos hallados, representamos la recta R2 correspondiente a la segunda ecuación del sistema. 00:13:31
Las rectas R1 y R2 se cortan en el punto 1 menos 1, que es la solución del sistema de ecuaciones. 00:13:38
Autor/es:
Miguel Gras Gigosos
Subido por:
Miguel G.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
53
Fecha:
29 de diciembre de 2023 - 19:08
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
Duración:
13′ 58″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
960x540 píxeles
Tamaño:
53.12 MBytes

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