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PAU 01 [Análisis] - Contenido educativo

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Subido el 1 de diciembre de 2024 por Esteban S.

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¿Qué tal? Hola a todos. Vamos a hacer este problema hoy. 00:00:04
Vamos a hacer este problema que es de la PAU. 00:00:18
Ya voy a poner PAU siempre, que no se llamaba PAU. 00:00:22
PAU, Matemáticas 2, Madrid, Extraordinaria 2024. 00:00:26
Es un problema del bloqueo de análisis y tenemos dos... 00:00:40
Pues parece sencillo, nos dan una función, aquí está, y nos hacen dos preguntas acerca de la función. 00:00:45
Como siempre en la BAO lo primero es que hay que leer el problema para entenderlo y saber de qué va. 00:00:57
La primera pregunta nos preguntan si la función es par o impar y calcular crecimiento y decrecimiento. 00:01:03
La segunda pregunta nos pide un área de una región acotada por las gráficas de dos funciones que hay ahí. 00:01:12
Bueno, vamos a empezar por el primer apartado. 00:01:23
El primer apartado, a ver que me apañe bien, baja el móvil, ¿por qué no busco dónde están mis colores? 00:01:26
Aquí, vale. 00:01:38
Entonces tenemos esta función y el apartado de ahora. 00:01:40
La función x al cubo menos 3. 00:01:42
Por favor, tened siempre mucho cuidado al copiar la función, no os equivoquéis, como hacéis tan a menudo en los exámenes, y luego os da tanta rabia. 00:01:47
Función par o impar. Entonces lo primero que vamos a recordar es que es una función par. 00:01:58
Una función par es aquella que cumple lo siguiente, que f de menos x es igual a f de x. 00:02:03
ya que estoy aquí, voy a poner también lo que es una función impar 00:02:14
y una función impar es aquella que f de menos x 00:02:19
es igual a menos f de x 00:02:27
todas estas cosas siempre es bueno ponerlas en el examen, ya lo hemos dicho 00:02:29
muchas veces, porque poniendo esto 00:02:35
quien nos vaya a corregir el examen, o nosotros los profesores, pues ya sabemos que el alumno 00:02:38
o la alumna ya sabe por donde va, entonces vamos a ver 00:02:42
Vamos a hacerlo, entonces lo único que hay que hacer, como veis, es calcular f de menos x, hay que calcular f de menos x. 00:02:46
Si es igual a f de x, diremos que es par, y si es igual a menos f de x, diremos que es un par. 00:02:59
Pues nada, bastante fácil, allá vamos. 00:03:09
Empezamos, f de menos x, ¿a qué es igual? 00:03:13
Pues f de menos x, cuidado con estos paréntesis, por favor, es igual a esto. 00:03:16
Muy bien, ese menos ahí, entonces esto es igual a menos x al cubo, es menos x al cubo y menos por menos más 3x. 00:03:27
Resulta que esto es exactamente, fijaros, menos x al cubo menos 3x. 00:03:38
Claro, aquí es f de x. 00:03:49
Por tanto, hemos llegado a la conclusión de que f de menos x es igual a menos f por a menos f. 00:03:54
Por tanto, f es impar. 00:04:03
Ya tenemos ahí, ya hemos arañado unos puntillos ahí. 00:04:11
Muy bien. 00:04:14
Hemos hecho un sencillo, pero ya lo tenemos. 00:04:15
Recordamos brevemente lo que significaba par o impar, cómo afectaba luego a la gráfica. 00:04:19
Voy a poner aquí. Una función par era la que tenía la peculiaridad que era simétrica respecto al eje. 00:04:24
Es decir, que si por aquí la función hacía esto, por aquí era simétrica respecto al eje X. 00:04:33
En cambio, la función impar, lo hago aquí arriba que no me cabe, era simétrica respecto al eje al punto O. 00:04:43
viene por ahí, ahí, simétrica 00:04:51
respecto al origen 00:04:56
y la función par simétrica 00:04:58
este apartado, la primera parte de este apartado está ahí 00:05:01
¿qué hacemos? bueno, vamos a seguir 00:05:08
vamos a 00:05:12
si lo voy haciendo pequeño pequeño 00:05:15
no quiero hacerlo pequeño, ¿qué vamos a hacer? pasar de página 00:05:19
¿cómo paso de página? 00:05:28
a la página no sé cómo se pasa de página no sé cómo se pasa de página lo que hace decirme 00:05:30
seguimos con el mismo cuarto vamos despacio ahora vamos a estudiar el crecimiento y de 00:06:08
crecimiento de esta función el crecimiento y de crecimiento de crecimiento de crecimiento 00:06:25
¿Quién nos da información sobre el crecimiento y decrecimiento? 00:06:37
La derivada. 00:06:40
En concreto, el signo de la derivada. 00:06:41
Así que estamos en la apartada y lo que hay que hacer es estudiar. 00:06:44
Hay que estudiar. 00:06:48
Estudiaremos el signo de la derivada. 00:06:51
Repito que escribir estas cosas es buenísimo para cualquier examen, 00:06:58
porque el que corrige... 00:07:01
Bueno, ya está. 00:07:02
No voy. 00:07:04
Vale, entonces lo primero. 00:07:04
Empezamos. 00:07:06
Lo primero que nunca está de más es el dominio de agua. 00:07:06
El dominante no tiene que ser re porque es polinómica. 00:07:11
Eso ya nos aclara, nos da mucha información. 00:07:16
Esa polinómica nos da mucha información. 00:07:19
Para efectos de estudiar el signo de la derivada, pues, 00:07:22
recordaros que cuando estudiamos el signo de la derivada hay que estudiar los agujeros del dominio. 00:07:24
En este caso, como no hay, pues nada. 00:07:30
Y los extremos del dominio, como en este caso no hay extremos del dominio, pues tampoco. 00:07:32
Vale, pues empezamos. 00:07:37
Lo primero es hacer la derivada. 00:07:38
la derivada es esta 00:07:39
y ahora viene nuestra ecuación esta tan importantísima 00:07:43
entonces yo tengo que resolver esta ecuación 00:07:47
y esta ecuación se resuelve fácilmente 00:07:51
entonces esto nos hace x cuadrado menos 1 igual a 0 00:07:56
¿cómo se borra? 00:08:06
no sé cómo se borra 00:08:17
aquí, aquí está 00:08:18
está 00:08:28
polín 00:08:30
bueno, ya está borrado 00:08:32
entonces esta ecuación vale 0 cuando 00:08:46
x cuadrado de 1 es 1 00:08:48
y x cuadrado de 1 es 0 00:08:52
lo hacemos rápidamente cuando x cuadrado de 1 es 1 00:08:55
y x es igual a 1 00:08:57
¿de acuerdo? 00:08:59
estos puntos son 00:09:00
puntos que debemos estudiar 00:09:02
porque ahí pueden ocurrir cosas 00:09:05
lo que sí sabemos seguro que ocurre ahí 00:09:06
son puntos con tangente 00:09:09
horizontal 00:09:11
¿Por qué? 00:09:12
Porque estos puntos tienen tangente horizontal. 00:09:13
Porque el subderivado vale. 00:09:16
Es lo único que se sabe. 00:09:18
¿Hay un error común en decir que esto van a ser más y mínimo relativo? 00:09:20
Pues no. 00:09:24
Pueden serlo o pueden no serlo. 00:09:24
Vale. 00:09:27
Entonces ahora estudiamos. 00:09:28
Cuando nos ponemos nuestra recta real con los valores de x. 00:09:30
Y aquí en los valores de x. 00:09:33
Pues hay que señalar. 00:09:35
Estos valores críticos que son el menos 1 y el 1. 00:09:37
lo señalamos y ahora, estudiando el signo f' de x, vamos a saber el comportamiento de f de x. 00:09:40
Entonces, lo primero que hacemos es escribir la función con astucia. 00:09:56
La función que estamos estudiando, que en este caso es la de f, ¿vale? 00:10:06
Ya vimos que era esto, bueno, ya la podemos poner. 00:10:09
Como esto es igual, pues entonces f' de x es esto. 00:10:12
Y, por favor, esto es mucho mejor. 00:10:20
Según el bachillerato se entiende perfectamente lo que hemos hecho. 00:10:26
Luego la derivada es esto de ahí. 00:10:29
Esto de aquí. 00:10:32
Así que ahí le damos. 00:10:34
Esta es nuestra derivada. 00:10:37
Todo esto es que nos facilita luego muchísimo los cálculos. 00:10:41
Entonces cojo un valor, empiezo a estudiar el signo. 00:10:44
Por cierto, aquí en la recta real X no hay que marcar más valores, ¿por qué? 00:10:47
Porque, ya lo hemos dicho, porque el dominio SR no tiene que marcar más valores, no tiene agujeros ni esto. 00:10:52
Empezamos, signo. Cojo un valor que esté a la izquierda del menos 1, el menos 80. 00:11:00
El menos 80 negativo. 00:11:04
Entre menos 1 y 1, el 0. 0, 1, negativo. 00:11:06
Y aquí, tal, e, e, positivo. 00:11:11
En el menos 1, ¿cuánto vale el signo? 00:11:14
Aquí que vale cero. 00:11:16
Y aquí que vale cero. 00:11:21
Es que la derivada vale cero. 00:11:22
Entonces, ¿qué dice la función? 00:11:25
Que aquí crece, que aquí decrece. 00:11:27
Genial. 00:11:31
Bueno, pues ya contestamos. 00:11:32
Fijaros que aquí, en este punto, habría un máximo relativo. 00:11:34
Y aquí un mínimo relativo. 00:11:39
Entonces, contestamos. 00:11:42
Por favor, que no se os olvide contestar. 00:11:43
¿Cómo contesto? 00:11:46
A ver, ¿cómo hago esto? 00:11:47
Ah, no, con el ratón. 00:11:54
Vale. 00:11:55
Con el ratón. 00:11:56
Vale. 00:11:57
Y contesto. 00:11:58
Entonces ya puedo contestar. 00:12:00
Por favor, la respuesta, siempre respuesta. 00:12:02
Acordaros, ¿eh? 00:12:05
Los problemas tienen respuesta. 00:12:06
Las ecuaciones tienen solución. 00:12:08
Respuesta. 00:12:11
Crecimiento. 00:12:12
Entonces ponemos F crece. 00:12:13
¿Eh? 00:12:18
Desde menos 1. 00:12:18
Menos 1. 00:12:20
Salir de 1. 00:12:25
y F decrece, está claro, ¿dónde crece F? 00:12:25
Aquí positivo, positivo, crece, crece, ¿dónde decrece? 00:12:35
Crece cuando la llegada es negativa, decrece, bueno, ya está, fenomenal, 00:12:42
vale, pues vamos al siguiente, siguiente, siguiente, es aquí, 00:12:50
en el siguiente dejamos 00:13:14
¿cuánto llevamos? 3 minutos 00:13:19
en el siguiente nos tiene ahí un área 00:13:21
entre dos funciones 00:13:26
entonces el consejo es 00:13:27
¿sí? así que un recinto 00:13:29
tiene un área de este recinto 00:13:32
y el recinto 00:13:33
es este, el recinto es el quitado 00:13:40
por esta función 00:13:47
con las cositas de ellas 00:13:48
y de esta función, vale 00:13:50
lo primero que vemos es que en este recinto 00:13:56
no interviene el eje X 00:13:59
Es que no interviene el eje X, por favor, es la región acotada por la gráfica de F de X y G de X, nada más. 00:14:00
No hay eje X, ni nada, así que el eje X nos da igual, porque no interviene, ni el eje Y, es que no interviene. 00:14:08
Vale, como es el recinto entre dos funciones, pues lo primero que tenemos que hacer es el punto de corte de las dos funciones para ver cómo van. 00:14:16
lo primero que vemos es que esta función g de x 00:14:24
esta función g de x es una parábola que es así 00:14:29
esto nos ayuda mucho, porque es una parábola así 00:14:34
porque el coeficiente de x al cuadrado es 1 es positivo 00:14:37
es así, esto ya nos da mucha importancia 00:14:40
y esto es una ecuación cúbica, bueno, ya veremos 00:14:44
entonces lo primero, punto de corte 00:14:47
punto de corte entre f y g 00:14:50
¿Cómo es eso el punto de corte? 00:14:57
Resolviendo el sistema formado por ellos 00:15:00
Yo tengo que 00:15:02
Igualando las funciones como lo queráis 00:15:04
Si yo una función 00:15:06
La primera función es esta 00:15:08
Y la otra es 00:15:11
Esta, la voy a poner así 00:15:13
Pues hay que resolverlo 00:15:14
¿Cómo se resuelve? Igualando 00:15:16
Lo pasa todo en un miembro 00:15:18
En estas cosas 00:15:25
De ecuaciones es bueno no saltarse paso 00:15:31
Muy bien 00:15:33
Entonces tenemos que resolver esta ecuación. 00:15:36
Ya estamos aquí en esta ecuación. 00:15:40
Resolver esta ecuación. 00:15:45
¿Cómo se resuelve esta ecuación? 00:15:46
Pues bueno, esta ecuación, pues vemos que es, por un lado, igual a cero. 00:15:47
Esteban, no te saltes cosas tú, por favor. 00:15:57
Cero y cero. 00:16:00
De aquí sale que x es igual a cero. 00:16:01
Y de aquí sale que x es igual a cero. 00:16:04
Entonces vamos a ver esto cómo va. 00:16:10
Entonces por un lado tenemos esta parábola, que es esta. 00:16:14
y por otro lado la función que corta es la negra, pero claro, esta es la negra y la otra es la azul, 00:16:17
porque corta ahí, este es el punto A, 0, lo que sea, y este es el punto B, 1, lo que sea. 00:16:31
¿Por qué digo lo que sea? Porque esto me da un poco igual lo que salga, lo que salga, pero si queremos lo hacemos. 00:16:50
Si esto es 0, esto será F de 0 o G de 0, porque pertenece a las dos funciones, y si es 1, 1 menos 3. 00:16:56
Entonces ya aquí estáis diciendo, ya está mal dibujada, ya está mal dibujada, bueno pues sí, está mal dibujada pero no afecta, pero en fin, pero como pedís que la dibuje bien, la voy a dibujar bien, que no pasa nada, vamos a dibujarla. 00:17:04
Como he puesto todos los dibujos en el lápiz, este es el punto A00, es el punto que va hacia abajo, B1, esto es F de X y esta es G de X. 00:17:20
Mirad, ¿cómo me aseguro yo que no hay más puntos de corte? Porque solo hay dos, luego solo puedo cortar ahí. 00:18:00
ahí, no hay otra posibilidad 00:18:09
nos están pidiendo 00:18:11
este recinto, este es el área que nos están pidiendo 00:18:13
entonces esto es 00:18:20
un área, un recinto 00:18:21
mejor dicho, recinto 00:18:24
entre 00:18:25
dos funciones 00:18:27
¿cómo se calcularía 00:18:29
entre dos recintos? muy fácil, profesor 00:18:31
el área es igual a la integral 00:18:33
desde donde empieza 00:18:35
¿dónde empieza? aquí 00:18:37
voy a marcar en rojo 00:18:39
empieza aquí 00:18:40
en el 0, y termina ahí, en el 1, desde el 0 al 1. 00:18:42
Recordad que estos sistemas de la integral siempre se refieren al eje x. 00:18:48
¿De quién? De la función que va por arriba, en este caso g de x, 00:18:51
menos la que va por debajo, que es el g de x. 00:18:56
Pues ya, ya lo tenemos. 00:19:00
Ya ya sí, ya lo tenemos. 00:19:04
Entonces esto es igual, ya lo pongo. 00:19:14
¿Cuál es la función g de x? 00:19:20
x cuadrado menos 3x 00:19:24
menos la otra función 00:19:26
hay este paréntesis 00:19:32
hay este paréntesis 00:19:33
x cubo menos 3x 00:19:35
bueno pues esto es integral 00:19:45
entonces vamos a integrar 00:19:46
antes de integrar pues ya sabemos que hay que operar 00:19:50
operar, superar, bueno 00:19:52
tenemos la suerte que menos 3x menos 3x 00:19:54
pues es x cuadrado menos 3x 00:19:57
y esto 00:20:04
ya sabemos que la integral es 00:20:04
x cuadrado menos 3x 00:20:07
x cuadrado menos 3x 00:20:08
Y ahora aplicamos la regla de barro, que nos dice que esto es lo que vale en 1, menos lo que vale en 0. 00:20:09
Lo voy a poner en el paréntesis, este maldito que hay que ponerlo siempre y siempre. 00:20:22
Esto me da un tercimo y un cuarto. 00:20:32
Que esto es, ta, ta, ta, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1. 00:20:36
Entonces ya puedo ponerlo. 00:20:42
El área es 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1. 00:20:51
Y se acabó el problema. 00:20:53
No, no, no. 00:20:57
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
28
Fecha:
1 de diciembre de 2024 - 18:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
20′ 59″
Relación de aspecto:
1.87:1
Resolución:
1376x736 píxeles
Tamaño:
779.30 MBytes

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