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Factorización utilizando la regla de Ruffini - Contenido educativo
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En este vídeo vamos a ver cómo utilizar la regla de Ruffini para factorizar un polinomio.
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Lo primero que tenéis que acordar es de lo siguiente.
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La regla de Ruffini es una forma abreviada de hacer una división de un polinomio, el que sea entre x menos algo.
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También vamos a utilizar la prueba de la división.
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La prueba de la división dice que el dividendo es igual al divisor por el cociente más resto.
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¿Y qué es factorizar?
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Factorizar es poner como una multiplicación un polinomio.
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En este caso, si tenemos que escribir un polinomio como una multiplicación,
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vamos a utilizar la prueba de la división y necesitamos que el resto de la división sea cero
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para que salga una multiplicación.
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Vamos a ver ahora un ejemplo.
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Tenemos esta división.
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Si hacemos la división utilizando la regla de Ruffini, obtendríamos lo siguiente.
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Arriba ponemos los coeficientes del dividendo, que son el 1, el 3, el 3 y el 1,
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todos, incluidos los que no están. En la esquina recordad que ponemos el valor de a, que en este
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caso es menos 1, recordad que hay que cambiarlo de signo, y ahora bajamos el primer número y
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aplicamos la regla de Ruffini, multiplicamos 1 por menos 1 que es menos 1 y sumamos, y así
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sucesivamente, 2 por menos 1 menos 2 y sumamos, y 1 por menos 1 que es menos 1 y sumamos, y obtenemos
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el resto igual a 0. Recordad que estos son los coeficientes del cociente, es decir, que el
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cociente sería 1 por x elevado al cuadrado, recordad que es un grado menos porque lo de arriba
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es de grado 3, más 2 por x más 1, es decir, el cociente es x al cuadrado más 2x más 1. Ahora lo
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que vamos a hacer va a ser aplicar la prueba de la división. El dividendo es igual al divisor por
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el cociente más el resto. En nuestro caso, recordad que el resto es 0. En nuestro caso,
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el dividendo es esto de aquí arriba. Pues lo escribimos. ¿Dónde pone dividendo? El
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dividendo sería x al cubo más 3x al cuadrado más 3x más 1. Eso es igual al divisor, que
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es x más 1 lo escribimos por el cociente que es x al cuadrado más 2x más 1 que lo tenéis ahí y lo
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que nos va a ocurrir es que como el resto es 0 tenemos el polinomio de arriba ese x al cubo más
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3x al cuadrado más 3x más 1 escrito como una multiplicación un factor y otro factor eso es
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factorizar un polinomio. Ahora lo que vamos a ver es una propiedad que nos va a permitir
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buscar los números que tenemos que poner para poder hacer la división. Esta es la
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propiedad. Si un polinomio es divisible entre x menos a, recordad que ser divisible es que
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el resto es cero, que es lo que queremos, entonces lo que ocurre es que a es divisor
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del término independiente del polinomio. Es decir, el número que tenemos que poner
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Aquí, al hacer la división, es un divisor del término independiente del polinomio que nos dan.
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Por ejemplo, en la división de antes, si os fijáis, lo que hemos puesto aquí, el menos 1, era un divisor del término independiente, de 1, que era el término independiente.
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Y al hacerlo, el resto nos ha salido 0.
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Eso quiere decir que todos los que pongamos ahí, todos los divisores, van a hacer que el resto sea 0.
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no. Lo que tendremos que hacer será probar cuáles de ellos hacen que el resto sea 0. Vamos a ver
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varios ejemplos para que lo veáis más claro. Vamos a intentar factorizar este polinomio. Lo
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primero que vamos a hacer es buscar el término independiente que en nuestro caso es menos 3 y
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calcular cuáles son los divisores de menos 3. Los divisores de menos 3 son el 1 y el 3 y recordad
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que tenemos que escribir tanto el positivo como el negativo. Tendríamos cuatro divisores más 1 menos
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1, más 3 y menos 3. Y ahora tenemos que probar, ir haciendo divisiones para probar. Escribimos
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primero los coeficientes de nuestro polinomio que son el 1, el 2 y el menos 3. Y ahora vamos
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a empezar a probar con los divisores del menos 3, con el 1 que es el primero. Hacemos la
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división por Ruffini y resulta que al hacer esta primera división nos sale como resto
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0. Tenemos ahí la prueba de la división, dividiendo es igual al divisor por cociente
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más resto. Como nuestro resto es 0, no lo vamos a escribir y ya tendremos el polinomio como una
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multiplicación. El polinomio es x al cuadrado más 2x menos 3, que sería el dividendo. El divisor
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sería x menos lo que hemos puesto en esta esquina, x menos 1, y ahora lo multiplicaríamos por el
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cociente, es decir, el resultado de la división. Recordad que esos son los coeficientes. Como eso
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de grado 2 empezaríamos por grado 1, sería 1 por x que es x más 3 y ya tenemos el polinomio
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escrito como una multiplicación de dos polinomios. Otro ejemplo, lo mismo empezamos con los divisores
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del término independiente, los divisores de más 6. Aquí tenemos unos pocos más de
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divisores, son el 1, el 2, el 3 y el más 6 y vamos a hacer la división probando. Empezamos
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con el 1, escribimos ahí el primer divisor de esa lista, que sería el 1, y hacemos la división. Al
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hacer la división, despacio, por Ruffini, observamos que al final nos queda de resto 2. Luego no nos
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sirve ese número y vamos a probar con el siguiente, con el menos 1. Tenemos que ir probando hasta que
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salga de resto 0. Si os dais cuenta ahora tampoco sale, sale de resto 12. Pues vamos a probar con
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el siguiente que sería el más 2. Escribimos el 1, el menos 5 y el 6 que son los coeficientes del
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polinomio y escribimos el más 2 y hacemos la división por Ruffini. Si no os acordáis mirad
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el vídeo de la división por Ruffini. Si os dais cuenta esta división si tenemos resto 0 por lo
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tanto en esa división aplicamos la prueba. Dividendo es divisor por cociente más resto en
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esa división y lo hacemos porque el resto de esa división es cero y nos va a quedar una
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multiplicación. Escribimos el dividendo que es x al cuadrado menos 5x más 6. Escribimos el divisor
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que sería x menos 2 por el cociente como era de grado 2. Esos son los coeficientes y empezamos
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con coeficientes de grado 1, 1 por x menos 3 y ya estaría. Otro último ejemplo. Ahora tenemos que
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coger los divisores de 2, que es el término independiente, sería menos 2, pero son los mismos
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divisores, son el 1 y el 2. Y vamos probando. Escribimos los coeficientes del polinomio 1, 1 y
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menos 2 y probamos con el 1 a ver si sale de resto 0. En este nos ha salido la primera de resto 0 y
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volvemos a aplicar la prueba de la división. El dividendo es el divisor por el cociente, el resto
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yo no le pongo porque es 0. El dividendo en este caso es x al cuadrado más x menos 2. El divisor
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sería x menos lo que hemos puesto, es decir, x menos 1 y el cociente sería de grado 1, 1 por x
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más 2. Y ya lo tenemos escrito como una multiplicación. Vamos a hacer ahora una de grado
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de 3. Empezamos con los divisores del término independiente, que es menos 6. Son todos esos
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de ahí que ya los pusimos antes. Segundo paso. Escribimos los coeficientes del polinomio,
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todos, el 1, el 2, el menos 5 y el menos 6. Y vamos probando con todos los divisores del
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6 hasta que salga resto 0. Empezamos por el 1 y hacemos la divisor por Ruffini. Vamos
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multiplicando y sumando y resulta que como veis nos sale el resto menos 8. Como no ha salido el resto
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0 vamos a por el siguiente, vamos a por el menos 1. Volvemos a hacer la división por Ruffini con el
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menos 1. Si vais haciendo la división, como observáis, tenemos resto 0. Luego aplicamos la prueba de la
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división con esa. El dividendo ahora es x al cubo más 2x al cuadrado menos 5x más 6. El divisor sería
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x menos lo que hemos puesto, es decir, x más 1, cambiamos de signo, y el cociente que tiene
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un grado menos x al cuadrado más x menos 6. ¿Qué tenemos que hacer ahora? Este polinomio
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último, x al cuadrado más x menos 6, tenemos que factorizarlo haciendo exactamente lo mismo
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como veis. Cogemos los divisores del término independiente, no hace falta probar con el
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1 porque no nos va a salir 0, esto es un truco que tenéis que aprender. Con los que hemos
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probado ya, no probamos, no nos va a salir 0. Y probamos con los siguientes, con el menos 1.
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Nos sale menos 8, no nos vale. Vamos al siguiente número que sería el más 2. Y al hacer la división
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por Ruffini, si observáis, tenemos resto 0. ¿Eso qué quiere decir? Que nuestro polinomio que era
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x al cuadrado más x menos 6 es lo mismo que el divisor, que es x menos 2, por el cociente, que es
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x más 3 pero esto es el polinomio x al cuadrado más x menos 6 que es el que tenemos ahí arriba
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bueno pues qué vamos a hacer ahora vamos a sustituir ese x al cuadrado más x menos 6 por
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su valor tendríamos que es x más 1 que teníamos antes y ahora el x menos 2 por el x menos 3 lo
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escribimos arriba y nuestro polinomio quedaría x más 1 por x menos 2 por x más 3.
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- Autor/es:
- M. Cristina García
- Subido por:
- M.cristina G.
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- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 194
- Fecha:
- 11 de enero de 2021 - 12:10
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES REY FERNANDO VI
- Duración:
- 10′ 16″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
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