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AE1. 2.3 Multiplicación de polinomios. Identidades notables - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AE1 dedicada a los polinomios y las fracciones racionales. En la videoclase
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de hoy estudiaremos la multiplicación de polinomios y las identidades notables.
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En esta videoclase vamos a comenzar estudiando la multiplicación de polinomios. Como podemos
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leer, el resultado de multiplicar dos polinomios p por q va a ser otro polinomio que se va a obtener
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multiplicando entre sí todos los términos de p por todos los términos de q. Esto quiere decir que si
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p tuviera, por ejemplo, tres términos y q tuviera cuatro términos, tendríamos que hacer 3 por 4 igual
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a 12 multiplicaciones de términos entre sí, todos los de p por todos los de q. En cuanto a cómo
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multiplicar dos términos entre sí, como podemos ver aquí, el resultado se va a obtener, en primer
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lugar multiplicando entre sí los coeficientes y en segundo lugar multiplicando entre sí las
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partes literales y lo que vamos a hacer es multiplicar entre sí las incógnitas que sean
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iguales y lo que vamos a hacer es expresar en última instancia el producto sumando los exponentes
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de los términos iniciales. Evidentemente cuando hagamos en este caso el ejemplo que he mencionado
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3 por 4 igual a 12 multiplicaciones de términos es posible que obtengamos términos que al hacer
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las multiplicaciones sean semejantes. Evidentemente, lo que tendremos que hacer será agrupar todos
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estos términos semejantes, sumarlos o restarlos según corresponda para tener un polinomio
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que tenga términos que no sean semejantes, un polinomio propiamente dicho. En lo que
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respecta al grado del polinomio producto, bueno, pues si lo que vamos a hacer es multiplicar
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entre sí las partes literales en última instancia, el grado de p por q va a ser la
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suma de los grados de p y de q. La excepción va a ser el caso en el cual alguno de los
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polinomios fuera idénticamente nulo. Algo similar a lo que nos pasaba cuando hablábamos en la
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videoclase anterior del producto de un polinomio por un número. En ese caso lo que vamos a obtener
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es un polinomio idénticamente nulo y su grado va a ser cero. Algo muy importante con respecto a la
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multiplicación de polinomios son las así llamadas identidades notables que se corresponden con
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ciertos productos de binomios y en concreto tenemos el cuadrado de una suma a más b al cuadrado. Aquí
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tenemos el desarrollo para que podáis comprobar de dónde se obtiene la fórmula final, que
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es a al cuadrado más 2 por a por b más b al cuadrado, lo que coloquialmente llamamos
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el cuadrado del primero, el cuadrado del segundo y el doble del primero por el segundo, este
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2 por a por b. En el caso del cuadrado de la resta, a menos b al cuadrado, lo que vamos
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a obtener es a al cuadrado menos 2 por a por b más b al cuadrado, coloquialmente el cuadrado
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del primero, el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo. Y fijaos, esto es muy
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importante, que el cuadrado de una suma no es la suma de los cuadrados, no es a al cuadrado más b
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al cuadrado, puesto que tenemos también aquí este término 2 por a por b. Igualmente a menos b al
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cuadrado no es la resta de los cuadrados, no es a al cuadrado menos b al cuadrado, sino que es a al
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cuadrado más b al cuadrado y tenemos este menos 2 por a por b. Estas dos identidades,
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la siguiente que voy a discutir, nos aparecerán en muchísimas ocasiones, son terriblemente
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importantes y de ahí lo de identidades notables por la importancia que tienen. La tercera identidad
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notable que me falta es el resultado del producto de una suma por una diferencia a más b por a menos
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Y en este caso sí obtenemos la diferencia de los cuadrados. No es a menos b entre paréntesis al cuadrado, lo que es a cuadrado menos b al cuadrado, sino el resultado de suma por diferencia, a más b por a menos b.
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Coloquialmente decimos suma por diferencia igual a la diferencia de cuadrados. Llega un momento en que uno se queda con esta cantinela.
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Aquí tenemos la demostración, los términos cruzados se van a eliminar y por eso vamos a tener a al cuadrado menos b al cuadrado.
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Estas tres identidades, insisto, son terriblemente importantes, son identidades porque se verifican independientemente de que haya quien sea a quien sea b, podemos tener x más 2, podemos tener 3x menos 7 aquí por ejemplo,
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O podemos tener raíz cuadrada de x más 2 por raíz cuadrada de x menos 2. Independientemente de lo que haya allí, con tal de que tenga la misma estructura, vamos a obtener este resultado de lo de identidad y notable por la anterior importancia que tiene.
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Hay una extensión del cuadrado de una suma que se llama teorema del binomio, que es lo que ocurre cuando tengo una suma elevada a un coeficiente natural que no sea necesariamente 2.
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Puede ser el cubo de una suma, la potencia cuarta de una suma, la potencia quinta de una suma, etc.
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Aquí os presento el resultado. En el caso en el que n vale 2 se obtiene esta expresión que tenemos aquí.
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Contiene números combinatorios que se van a estudiar en la unidad AR4.
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Nosotros en nuestro primero o segundo de bachillerato no vamos a estudiar el tónema de binomio.
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Sencillamente os lo presento como curiosidad.
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Para practicar esto que acabo de comentar tenemos una vez más este mismo ejercicio.
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En el que teníamos estos polinomios P, Q y S y en este caso concreto se nos pide que multipliquemos P por Q.
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Fijaos que lo que he dicho es que tenemos que multiplicar todos los términos de P por todos los términos de Q.
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P tiene, vemos, tres términos, Q tiene también tres términos y eso quiere decir que tenemos que multiplicar 3 por 3 en total nueve términos entre sí.
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Quiero decir, nueve parejas de términos.
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Empezaríamos por 2X al cubo por X al cuadrado, que va a ser 2X a la quinta.
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2x al cubo por x, que va a ser 2x a la cuarta.
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2x al cubo por 2, que va a ser 4x al cubo.
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Y así sucesivamente.
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Lo que haremos hacer al final es no quedarnos con esos nueve términos, muchos de ellos serán semejantes.
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Y entonces lo que tendremos que hacer será sumarlos entre sí.
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Y es que, por ejemplo, menos x por este 2 es menos 2x.
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Al mismo tiempo que menos 4 por x va a ser menos 4x, esos dos términos serán semejantes.
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menos 2x menos 4x acabaremos expresando menos 6x ¿de acuerdo? En cuanto a el grado del producto cuando
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multipliquemos 2x al cubo que es el término con mayor grado de p por x al cuadrado que es el término
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con mayor grado de q veremos que obtenemos 2x a la quinta con grado 5 y se corresponde con la suma
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de 3 más 2 evidentemente puesto que estamos multiplicando vamos a sumar los exponentes los
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exponentes en este caso se corresponden con los grados, pues ahí tenemos la
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conclusión. Como he dicho ya se puede resolver este
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apartado de multiplicar p por q y también se puede resolver este ejercicio
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3, donde se nos pide que calculemos aquí el cuadrado de una suma, identidad
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notable, el cuadrado de una diferencia, también identidad notable, y aquí vemos
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que tenemos 3x cuadrado menos 2, una resta, por 3x cuadrado más 2, el mismo
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binomio pero en lugar de una resta con una suma, lo que se denomina el
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conjugado. Esta expresión, 3x al cuadrado menos 2, es conjugada de 3x al cuadrado más 2 porque la
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diferencia está únicamente en esta operación. La relación de ser conjugado es recíproca. 3x
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cuadrado más 2 es conjugado de 3x al cuadrado menos 2. Bien, pues aplicando las fórmulas que
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hemos visto en esta videoclase, también ya se podría resolver este ejercicio 3 que resolveremos
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en clase. Probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior.
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en el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios
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asimismo tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web no dudéis en traer
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vuestras dudas inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual un saludo y hasta pronto
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 8
- Fecha:
- 29 de septiembre de 2025 - 8:37
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 08′ 44″
- Relación de aspecto:
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- Resolución:
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- Tamaño:
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