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Derivada 3. Aplicaciones: crecimiento y extremos - Contenido educativo

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Subido el 27 de febrero de 2023 por Agustin M.

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aplicaciones de la derivada: crecimiento y extremos

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vamos a dedicar este tema de las aplicaciones de la 00:00:02
derivada al estudio del crecimiento los extremos locales 00:00:06
el estudio de la convexidad de los puntos de inflexión 00:00:11
dada una función igual a x y su gráfica vamos 00:00:13
a usar una idea de forma recurrente en todos nuestros 00:00:18
razonamientos sabemos que en cada uno de los puntos de 00:00:21
nuestra función podemos trazar las rectas tangentes 00:00:26
gentes envuelven la gráfica de nuestra función pero a partir 00:00:31
de estas rectas tangentes podemos obtener de forma geométrica sin 00:00:35
ningún cálculo un valor aproximado de la derivada por ejemplo 00:00:41
en este punto 00:00:45
si miramos la pendiente de esta recta a tres unidades 00:00:47
que avanza sube dos podemos decir que la pendiente es 00:00:51
dos tercios 00:00:55
además 00:00:57
una pendiente positiva se corresponde con el hecho de que 00:00:59
nuestra función crece 00:01:02
si vamos a otro punto de la función donde la 00:01:06
función de crece podemos observar cómo se va a corresponder 00:01:08
con una pendiente negativa 00:01:13
por otro lado existirán puntos donde la derivada valga cero 00:01:17
y esos puntos se corresponden con extremos máximos o mínimos 00:01:21
locales 00:01:26
esta descripción intuitiva geométrica vamos a poderla caracterizar en función 00:01:29
de la derivada del siguiente modo 00:01:37
vamos a poder decir cuando nuestra función crece y cuando 00:01:40
decrece únicamente estudiando el signo de la derivada primera por 00:01:43
lo tanto tendremos 00:01:48
que si nuestra función derivada es mayor que cero en 00:01:51
todos los puntos donde determinado intervalo ave la función será 00:01:55
creciente si por el contrario 00:02:00
lo que tenemos es que ese prima de x es 00:02:03
menor que cero en todos los puntos x un determinado 00:02:06
intervalo a b c nuestra función será de creciente 00:02:10
vamos a aplicar lo anterior a un ejemplo concreto si 00:02:17
tomamos esta función efe de equis igual x menos x 00:02:21
cuadrado 00:02:25
obtenemos la derivada derivando a un polinomio 00:02:27
obtenemos que para estudiar el crecimiento y el crecimiento deberemos 00:02:31
estudiar el signo de esta expresión es decir por un 00:02:37
lado cuando la expresión es mayor que cero cuando es 00:02:40
menor que cero la solución de estas inecuaciones las regiones 00:02:44
donde nuestra función crece y decrece 00:02:49
estas ecuaciones se pueden resolver 00:02:53
resolviendo en primer lugar la ecuación esta ecuación de segundo 00:02:56
grado incompleta nos da como soluciones cero y dos y 00:02:59
estos valores los colocamos en la recta real 00:03:03
estos valores junto con otros puntos como son los puntos 00:03:07
de discontinuidad de la función nos dividen la recta real 00:03:10
en regiones donde la derivada puede cambiar de signo 00:03:15
para estudiar el signo de la derivada en cada una 00:03:21
de estas regiones damos valores valor a la izquierda de 00:03:23
cero ocho entre cero y dos y otro entre dos 00:03:27
e infinito 00:03:32
podemos tomar al menos uno el uno y el tres 00:03:34
que sustituir en el valor de la derivada 00:03:37
nos da un signo positivo en la primera región negativo 00:03:42
en la segunda y positivo una tercera por lo tanto 00:03:45
esta información de la primera se traduce en que la 00:03:50
función primero crece luego de crece y luego crece 00:03:53
tenemos esbozando el gráfico de la función podríamos hacerlo con 00:04:00
cualquier software 00:04:05
que nuestra función va a tener 00:04:08
siguiente aspecto aproximado 00:04:11
a partir de la tabla que describe el crecimiento y 00:04:18
de crecimiento de nuestras funciones 00:04:22
podemos ahora determinar los extremos locales 00:04:24
si intentamos trasladar a mano alzada una función que responda 00:04:28
a ese comportamiento tenemos que la función grecia extranjero el 00:04:32
te crece hasta el dos para volver a crecer de 00:04:36
nuevo 00:04:39
resulta evidente que en el cero alcanza 00:04:41
un máximo local y en el dos un mínimo local 00:04:45
como corresponde al gráfico 00:04:48
que teníamos de nuestra función 00:04:52
esta forma de obtener los extremos se puede sistematizar en 00:04:57
un procedimiento que va a costar de dos pasos 00:05:00
en primer lugar 00:05:05
igualaremos la derivada cero 00:05:07
esta forma obtendremos los puntos críticos 00:05:09
los puntos críticos serán candidatos a extremo 00:05:12
algunos acabarán siendo extremos y otros no para decidir si 00:05:17
un punto crítico es extremo no 00:05:21
usaremos 00:05:25
el criterio del cambio de signo de la derivada primera 00:05:27
que consiste 00:05:31
en observar si alrededor 00:05:33
de cada uno de estos puntos se produce un cambio 00:05:36
de signo en la deuda la primera si se produce 00:05:39
cambio de signo afirmaremos que se trata de un extremo 00:05:43
local si cambia de más a menos un máximo y 00:05:47
si cambia de menos a más 00:05:51
un mínimo en caso de que la función derivada no 00:05:53
cambie de signo alrededor de dicho punto diremos que no 00:05:57
hay un extremo local 00:06:01
Subido por:
Agustin M.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
27
Fecha:
27 de febrero de 2023 - 13:29
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LAGUNA DE JOATZEL
Duración:
06′ 04″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
29.14 MBytes

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