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PR1. 2. Probabilidades - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad PR1 dedicada a la probabilidad en experimentos aleatorios simples.
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En la videoclase de hoy estudiaremos distintas definiciones de probabilidad.
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En esta videoclase vamos a estudiar distintas definiciones de probabilidad, comenzando por
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la definición intuitiva común, la coloquial, la habitual que nosotros utilizamos, cuando hablamos
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de algo es probable, algo es muy probable, algo es poco probable. Como veis aquí, la probabilidad se
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define como una cierta medida, sin dar más detalles, de lo verosímil que es la hipótesis de que un
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determinado suceso pueda ocurrir. Y nosotros, mentalmente, asociamos una probabilidad elevada
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a un suceso que es muy fácil que ocurra, que es muy verosímil que ocurra, y asociamos una
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probabilidad baja o un suceso que es muy difícil que ocurra, que es poco verosímil que ocurra.
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Pero esta definición intuitiva común no es numéricamente rigurosa. Una definición de
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probabilidad que sí es numéricamente rigurosa es la que se llama probabilidad empírica o también
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probabilidad frecuentista, puesto que lo que vamos a hacer es, a los sucesos elementales que
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correspondan a un determinado experimento aleatorio, lo que vamos a hacer es repetir
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ese experimento aleatorio un determinado número de veces, que aquí llamamos n. Vamos a repetir
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el experimento, vamos a ir tomando nota de cuántas veces va ocurriendo cada uno de los
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elementos, los sucesos elementales en el espacio muestral. Ese número de veces van a ser las
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frecuencias absolutas y dividiendo entre n el número de veces que hemos repetido el
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experimento aleatorio obtenemos las probabilidades relativas pues bien lo
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que vamos a hacer es asignar como probabilidad de cada uno de los sucesos
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elementales cada uno de los elementos individuales del espacio mostrar esas
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frecuencias relativas que van a tener una serie de propiedades que van a ser
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adecuadas fijaos en que se cumple con la idea
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intuitiva común un suceso que es muy fácil que ocurra se va a repetir muchas
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veces, de tal forma que tendrá una frecuencia relativa elevada y le daremos una probabilidad
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empírica, puesto que se obtiene a partir de la repetición de la experiencia que va a ser elevada.
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Mientras que un suceso que va a ocurrir muy difícilmente se va a repetir realmente pocas
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veces, va a tener una frecuencia bastante baja y entonces le estaremos asociando una probabilidad
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empírica baja. La ley de los grandes números establece que esas frecuencias relativas van
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a tender a estabilizarse hacia un cierto valor constante cuando el número de repeticiones tienda
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a infinito. Eso quiere decir que cuando repetimos el experimento pocas veces, pocas es 4, 5, 6, 7
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veces, podemos observar cómo el añadir una repetición más en uno cualquiera de los sucesos
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elementales, cada uno de los elementos individuales del espacio mostral, puede hacer que cambie mucho
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las frecuencias relativas. Eso quiere decir que el hacer una observación más puede cambiar las
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probabilidades lo cual no tiene demasiado sentido desde el punto de vista intuitivo. Bien, para
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conseguir valores que sean estables de las probabilidades, que no cambien, al menos no
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cambien excesivamente con una o dos o tres repeticiones más, necesitamos que el número de
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repeticiones sea suficientemente grande. Eso es uno de los resultados de las leyes de los grandes
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números. Necesitamos que el número de repeticiones, para que las frecuencias relativas coincidan con
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o las probabilidades, sean muy elevados.
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Y quiero hacer una observación.
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Ley de los grandes números debería llamarse ley de los enormemente grandes números.
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Discutiremos en clase, y probablemente discutiremos en alguna videoclase posterior,
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cómo cuánto de grande tiene que ser este valor de n
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para que esas frecuencias relativas que estoy diciendo se estabilicen
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con ejemplos sencillos como, por ejemplo, el lanzamiento de un dado de 6 caras.
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Otra forma de definir o de calcular las probabilidades es el uso de la ley de Laplace
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La ley de Laplace nos dice que si un determinado espacio muestral está formado por sucesos elementales equiprobables
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Esto es, que todos y cada uno de ellos tienen en principio la misma probabilidad
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Es decir, se van a obtener con igual facilidad
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En ese caso la probabilidad de un suceso cualquiera, no necesariamente elemental
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se va a poder calcular como el número de elementos del espacio muestral dentro de ese suceso dividido entre el número de elementos dentro del espacio muestral.
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Un ejemplo típico de espacio muestral con elementos individuales equiprobables es el que acabo de mencionar.
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Lanzamos un dado de seis caras y si éste está equilibrado, es decir, no está trucado,
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En principio esperamos que cada una de las seis caras aparezca con igual facilidad.
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A cada una de ellas les vamos a asociar una probabilidad igual.
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Y entonces vamos a pensar, por ejemplo, en cuál es la probabilidad de que me salga el número 1.
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El número 1 está formado por un único elemento del espacio muestral, así que cardinal de A sería 1.
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Hay seis elementos dentro del espacio muestral, 1, 2, 3, 4, 5, 6, así que cardinal del espacio muestral sería 6.
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la probabilidad de obtener un número uno sería un sexto. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
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número impar? Bueno, los números impares en un dado son tres, uno, tres y cinco. El cardinal de
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ese suceso sería tres, puesto que tenemos tres elementos individuales, dividido entre seis,
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que es el cardinal del espacio muestral, tres sextos, un medio. Y en nuestra experiencia esto,
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en principio, sería así. ¿Cómo podemos comprobar, ya que estamos, que un dado está equilibrado,
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que no está trucado. Vamos a lanzar el dado una cierta cantidad de veces y vamos a calcular las
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frecuencias relativas, puesto que hemos calculado y hemos determinado las frecuencias absolutas
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anotando cuántas veces se obtiene cada uno de los seis valores posibles. Esperamos que si el dado no
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está trucado, cada uno de esos seis valores se obtenga en igual cantidad, de tal forma que las
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frecuencias relativas sean iguales. Fijaos que estoy relacionando la probabilidad de Laplace
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con la probabilidad empírica. Lo que decía anteriormente, con una más repetición podemos
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obtener una variación en las frecuencias relativas que harán que las probabilidades que estamos
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calculando así varíen. Bueno, pues lo que ocurre es que no hemos obtenido un número suficiente,
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suficientemente grande de repeticiones como para que las probabilidades empíricas que se calculan
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a través de las frecuencias relativas converjan a esos valores teóricos que determinaríamos con
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la probabilidad de Laplace. Si con un número elevado de repeticiones vemos que las frecuencias
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relativas se estabilizan pero no a los valores 1 sexto, estamos hablando del dado, pues en ese
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caso el dado no va a estar equilibrado. Si convergen a un valor constante que sea 1 sexto
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para cada uno de los 6 resultados, entonces el dado sí será equilibrado. La definición más
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adecuada en la actualidad para la probabilidad es la que se realiza a partir de los axiomas de
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Kolmogorov, que no tiene ningún tipo de consideración ni la definición más
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adecuada para la probabilidad es la que se obtiene a partir de los axiomas de
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Kolmogorov. Como podemos ver, de acuerdo con los axiomas de Kolmogorov, una
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probabilidad va a ser una ley que a cada suceso contenido en el espacio
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muestral le va a asociar un número real que vamos a llamar probabilidad de A y
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representaremos con esta letra P minúscula, aunque en ocasiones lo
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podamos también representar con P mayúscula, que verifica estas tres
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condiciones, los axiomas de Kolmogorov. En primer lugar, la probabilidad de cualquier suceso es un
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valor real definido no negativo. Será positivo o igual a cero. Y solamente será cero la probabilidad
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del suceso imposible. De tal forma que la menor probabilidad posible, igual a cero, es la
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probabilidad del suceso imposible. Hay un límite superior y esto, de acuerdo con el segundo
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corolario es la probabilidad del suceso seguro, que va a ser 1. Así pues, una probabilidad va a ser
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un número comprendido entre 0 y 1. 0, la probabilidad del suceso imposible, y no hay
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probabilidades menores que 0, puesto que, entendámonos, no hay nada más difícil que ocurra que el suceso
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imposible. Y 1, la probabilidad del suceso seguro. Y nuevamente, no puede haber una probabilidad de
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un suceso que sea mayor que 1, puesto que no hay nada que sea más fácil que ocurra
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que el suceso seguro. Así que, insisto, una probabilidad es un valor numérico real comprendido
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entre 0 y 1. 0 sólo para el caso del suceso imposible, 1 sólo para el caso de un suceso
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que sea seguro. Además, para cualquier pareja de sucesos A y B incompatibles, esto es, que
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no puedan ocurrir simultáneamente, no hay ningún elemento del espacio muestral que
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esté simultáneamente en A y en B, se cumple, de acuerdo con este axioma, el tercero, que la
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probabilidad de la unión es la suma de las dos probabilidades. La probabilidad de que ocurra A
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o B es la suma de la probabilidad de A y la probabilidad de B. A partir de estos tres axiomas
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se deducen de forma inmediata dos colorarios que van a ser tremendamente útiles y que vamos a
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utilizar muchísimo a lo largo de esta unidad y las siguientes. El primer colorario es el que nos
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habla de la probabilidad del suceso contrario. La probabilidad del suceso contrario a 1 dado se va
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a calcular como 1 menos la probabilidad del suceso dado. Asimismo, en un caso general, no únicamente
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en el caso en que dos sucesos sean incompatibles, podríamos calcular la probabilidad de la unión
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como la suma de la probabilidad del suceso A más la probabilidad del suceso B menos la probabilidad
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de la intersección. Fijaos que en el caso en el que A y B son incompatibles, la intersección está
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vacía y esta probabilidad es cero y obtendríamos esta expresión que tenemos aquí. Con esto que
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acabamos de ver, de la definición axiomática de la probabilidad de Kolmogorov y también la
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definición de probabilidad de Laplace, que hemos visto inmediatamente anterior, podremos resolver
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estos ejercicios propuestos 3 y 4 que resolveremos en clase y probablemente en alguna videoclase
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posterior. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
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- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
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- Fecha:
- 27 de enero de 2025 - 20:10
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 11′ 34″
- Relación de aspecto:
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