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Derivación logarítmica - Contenido educativo

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Subido el 29 de octubre de 2020 por Esteban S.

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Hola, ¿qué tal? Alumnos y alumnas de segundo de bachillerato. 00:00:02
Estamos aquí para calcular la derivada de esta función que veis. 00:00:06
x elevado a raíz de x. 00:00:11
Esta función tiene un problema y es que si nos fijamos en la base x elevado a algo, 00:00:12
lo voy a poner aquí, 00:00:20
si pensamos que esta función es x elevado a algo, a un número, 00:00:23
pues en la tabla de derivadas, la derivada de esta función es esta. 00:00:28
Pero también nos podemos fijar en que tenemos la variable en el exponente, entonces sería un número elevado a x, bueno, voy a poner a f si queréis, venga, entonces la derivada sería a elevado a f por el neoperiano de a por la derivada. 00:00:33
Es decir, que esta función no sabemos si derivarla como una potencia o como una exponencial 00:00:52
¿De acuerdo? 00:00:58
Como no sabemos, pues, o sea, es que es de las dos 00:01:01
Es de las dos funciones a la vez 00:01:03
Entonces lo que tenemos que hacer es una argucia 00:01:05
Vamos a ver la argucia que hacemos 00:01:08
Esta argucia consiste en lo siguiente 00:01:09
Yo pongo aquí la función 00:01:14
Ya está, esta es la función 00:01:17
Bueno, pues entonces aquí lo que nos tenemos que acordar es 00:01:21
¿Seremos capaces de transformar este x elevado a raíz de x en otra operación más sencilla en matemática? 00:01:26
Pues sí que nos acordamos cómo se hace. 00:01:32
Y esto se hace tomando logaritmos, porque hay una propiedad importantísima de los logaritmos 00:01:35
que nos decía que el logaritmo de a elevado a b es b por el logaritmo de a. 00:01:42
Aquí vemos que se transforma una potencia en un producto, b por logaritmo de a 00:01:50
Pues entonces lo que hacemos aquí es esto, se toman logaritmos 00:01:58
Se toman logaritmos en los dos miembros, para que la igualdad se siga manteniendo 00:02:02
Pues vamos a ver que ocurre 00:02:09
Logaritmo de f de x es igual al logaritmo de x elevado a raíz de x 00:02:10
Por tanto, logaritmo de f de x es igual a, por las propiedades estas de los logaritmos 00:02:19
Esto es raíz de x, por el logaritmo de x 00:02:26
Bastante bien 00:02:30
Muy bien, y ahora lo que hacemos es derivar 00:02:32
Y ahora vamos a derivar las dos expresiones que tenemos en los dos miembros 00:02:36
Derivamos 00:02:41
Vamos a derivar 00:02:48
¿Cuál es la derivada del logaritmo de f de x? 00:02:49
Ya no lo sabemos, logaritmo de f de x es f' de x partido por f de x, que de y, por tanto, y esto es igual a derivada del segundo miembro, y en el segundo miembro ahora tenemos un producto, raíz de x por logaritmo de x es derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero por la derivada del segundo. 00:02:52
Muy bien, seguimos avanzando 00:03:22
Ahora ya solo nos falta operar aquí 00:03:24
Acordaros que yo lo que quiero calcular es cuánto vale el f' de x 00:03:26
Bueno, pues en esta igualdad ya puedo despejar 00:03:30
Entonces tengo que f' de x 00:03:37
Será igual, este está dividiendo 00:03:38
Va a ir a f de x por todo esto que hay aquí 00:03:42
Todo esto que hay aquí lo puedo escribir ya más bonito 00:03:46
2 partido por raíz de x, más, y raíz de x entre x, estaréis de acuerdo conmigo que es 1 partido por raíz de x, muy bien, voy a acercar para que quede más clarito, muy bien, y yo quiero calcular f' de x, pues f' de x es igual a f de x, ¿quién era f de x? 00:03:52
f de x 00:04:15
era mi función de la cual yo quería ir a la derivada 00:04:17
así que f de x 00:04:20
es x elevado a raíz de x 00:04:23
por 00:04:25
esto de aquí, entonces esto si saco 00:04:26
como un denominador es 2 raíz de x 00:04:32
logaritmo de x 00:04:34
fijaros, luego ya he terminado 00:04:36
luego ya he terminado 00:04:41
lo pongo aquí, lo pongo aquí en grande 00:04:42
la derivada 00:04:45
espera un momento 00:04:49
es que me sale esto y no me gusta 00:04:52
ahora, venga 00:04:54
Termino, la derivada 00:05:06
Pero bueno, este man 00:05:08
Ahora, la derivada de esta función es 00:05:10
x por raíz de x por logaritmo de x 00:05:15
Vale, pues esto es la derivación logarítmica 00:05:20
Hacemos un resumen rapidito de lo que hemos hecho 00:05:32
Repetimos, la derivación logarítmica 00:05:35
Por cierto, no lo he dicho 00:05:38
Esto se llama derivación logarítmica. 00:05:40
Logarítmica. 00:05:51
¿Por qué se llama derivación logarítmica por esto? 00:05:52
Porque hemos tomado derivadas. 00:05:55
Muy bien. 00:05:56
Bueno, la derivación logarítmica la empleamos cuando tenemos una potencia 00:05:57
en la que tanto en la base como en el exponente tenemos la variable x. 00:06:02
Hay función. 00:06:06
entonces es muy sencillo 00:06:07
lo que hacemos es tomar logaritmos 00:06:11
y así conseguimos que el exponente baje 00:06:13
baje, por decirlo así, como un producto 00:06:17
y luego lo que hacemos es derivar 00:06:21
así que acordaros, se toma logaritmos 00:06:23
y luego derivamos 00:06:25
luego despejamos f' de x y ya está 00:06:27
sustituimos f de x por su función y ya está 00:06:30
Bueno, pues otras funciones más que sabemos derivar. 00:06:35
Poco a poco nos vamos dando cuenta que prácticamente sabemos derivar todas las funciones que se pueden derivar. 00:06:40
Sabemos derivarlas. 00:06:47
Muy bien, un saludo y gracias por haber escuchado. 00:06:48
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
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Fecha:
29 de octubre de 2020 - 8:42
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
06′ 52″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
259.63 MBytes

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