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1. La derivada - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Concepto de derivada

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Bien, vamos a ver el concepto de derivada. 00:00:03
La derivada va a ser una herramienta muy útil para estudiar las funciones. 00:00:08
No solamente en una gráfica de una función podemos analizar los valores de las variables, 00:00:15
sino también observar cómo crecen o decrecen y la rapidez con que lo hacen. 00:00:20
En nuestro mundo todo cambia, todo está sujeto a variaciones a lo largo del tiempo o de otras variables. 00:00:26
Por ejemplo, en economía se estudian las variaciones del precio de un producto a lo largo del tiempo 00:00:32
En física se estudia la velocidad de un móvil 00:00:38
que es la variación del espacio que recorre un móvil en función del tiempo 00:00:41
En medicina se estudia la variación del crecimiento de las células cancerígenas 00:00:45
de un tumor en un paciente en determinadas fases del proceso 00:00:50
La herramienta matemática que estudia cuán rápidos son estas variaciones es la derivada 00:00:54
Consideremos la siguiente gráfica que nos muestra el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo 00:01:00
El móvil se está moviendo con una velocidad constante 00:01:07
puesto que en tiempos iguales recorre espacios iguales 00:01:11
Su velocidad media coincide con la velocidad que lleva en cada instante de tiempo 00:01:15
velocidad instantánea 00:01:20
Esta velocidad en este caso es de 0,8 metros por segundo 00:01:22
No hay aceleración 00:01:27
En el intervalo que consideramos ahora el móvil, en este caso el coche, se encuentra parado 00:01:29
No hay incrementos en el espacio durante ese tiempo 00:01:38
En el último intervalo vuelve a estar en movimiento pero su velocidad no es constante 00:01:41
El coche está acelerado 00:01:51
La pregunta que nos hacemos es cómo calcular la velocidad instantánea del móvil en cualquier punto del recorrido 00:01:54
en el intervalo considerado desde t sub cero a t sub uno. 00:02:04
Para eso tenemos que recordar un concepto que vimos en el curso pasado 00:02:10
que es el de tasa de variación media de una función en un determinado intervalo a b. 00:02:13
Esa tasa de variación media se define como el cociente entre la variación que toman los valores de la función 00:02:20
entre la variación en x. 00:02:29
Gráficamente va a representar la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos A f de A y B f de B. 00:02:35
La tasa de variación media que estudiamos en matemáticas en el ejemplo del móvil equivale a calcular la velocidad media del móvil en un determinado intervalo de tiempo, 00:02:47
es decir, la variación que hay en el espacio en ese intervalo de tiempo, en ese incremento de T. 00:02:59
Bien, en cinemática lo que estamos ahora interesados es en calcular cuál es la velocidad del móvil 00:03:10
en un determinado instante de tiempo. 00:03:14
Bien, hemos visto que la pendiente de la recta secante me da la tasa de variación media. 00:03:18
Lo que vamos a hacer va a ser calcular ahora las pendientes de las rectas secantes 00:03:26
que pasan por los puntos P de coordenadas A, F de A y Q de coordenadas A más H, F de A más H. 00:03:34
De tal manera que vamos a ir considerando puntos Q cada vez más próximos a P. 00:03:55
Hemos visto que la pendiente de esa recta secante viene dada por la tasa de variación media 00:04:01
Si consideramos esos puntos, será f de a más h menos f en a partido de h 00:04:11
Es decir, la variación entre el cociente de la variación en y entre la variación en x 00:04:22
Si yo voy aproximando cada vez más el punto Q a P, eso significa que lo que estoy haciendo es tender H, 00:04:32
que es la distancia que hay entre estos dos puntos en el eje X, a cero. 00:04:47
Es decir, matemáticamente significa que estoy tomando el límite cuando H tiende a cero de ese cociente. 00:04:54
Bien, pues este límite, el límite cuando h tendría cero de esta tasa de variación media 00:05:03
es lo que me da la derivada de la función en a 00:05:16
y gráficamente lo que me va a dar es la pendiente de la recta tangente en p 00:05:21
Es decir, en cinemática cuando hacemos tender incremento de t a cero 00:05:32
Es decir, tomamos el límite cuando incremento de t tiende a cero de la velocidad media 00:05:42
Eso nos va a dar la velocidad instantánea del móvil en un instante de tiempo 00:05:49
Vamos a hacer este ejemplo de cálculo de la derivada aplicando la definición 00:05:55
Vamos a calcular cuánto vale la derivada de esta función en el punto de acisa x igual a 1. 00:06:04
Esta función es la función y igual a x al cuadrado y lo que queremos es calcular cuánto vale la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de acisa x igual a 1. 00:06:13
Según hemos visto, esta derivada es el límite cuando h tiende a 0 de lo que vale la función en a más h, 00:06:28
en este caso a es 1, por lo tanto 1 más h, menos lo que vale la función en 1 partido de h. 00:06:47
f de 1 más h sustituyendo la función será 1 más h elevado al cuadrado. 00:07:06
Menos lo que vale la función en 1 00:07:14
La función en 1, 1 al cuadrado es 1, 1 partido de h 00:07:17
Calculamos ahora este cuadrado en la suma, cuadrado del primero más cuadrado del segundo 00:07:23
Más doble producto del primero por el segundo, menos 1 partido de h 00:07:33
Este 1 se va con este menos 1 00:07:38
Si os fijáis nos queda la indeterminación 0 partido de 0 00:07:41
Pero si sacamos factor común a h en el numerador, se nos puede salvar esa indeterminación. 00:07:45
Este límite finalmente es igual a 2. 00:08:00
Eso significa que esta recta tangente tiene de pendiente la derivada de la función en 1. 00:08:09
Es decir, su pendiente es 2. 00:08:21
Por lo tanto será de la forma 2x más n. 00:08:25
En este caso se ve muy bien cuánto vale la orden en el origen que es menos 1 00:08:29
Así que esta sería la ecuación de la recta tangente a la curva 00:08:35
igual a x al cuadrado en el punto de abscisa x igual a 1 00:08:47
Y la derivada lo que me está indicando es la pendiente de la recta tangente en ese punto 00:09:08
Bien, en este apel de GeoGebra podéis ver cómo calcular la derivada de la función, 00:09:22
en este caso de la función y igual a x al cuadrado, en cualquier punto del dominio. 00:09:33
A la vez nos va pintando la función derivada. 00:09:44
Se puede observar que la derivada de la función y igual a x al cuadrado nos da la gráfica que está pintada en rojo. 00:09:48
Es una recta que corresponde a la función y igual a 2x. 00:10:08
Bien, ahora vamos a calcular la derivada de la función y igual a x al cuadrado para cualquier x. 00:10:17
Aplicando la definición sería el límite cuando h tiende a cero de f de x más h menos f de x partido de h 00:10:29
f de x más h sustituyendo la función donde pone x ponemos x más h sería x más h elevado al cuadrado 00:10:48
menos f de x menos x al cuadrado partido de h 00:11:03
desarrollamos este cuadrado 00:11:09
este x cuadrado se me va con el menos x al cuadrado 00:11:16
nos queda la indeterminación 0 partido de 0 00:11:27
pero es una indeterminación que podemos salvar 00:11:32
sacando factor común a h 00:11:38
ahora cuando tomamos el límite 00:11:44
nos queda que la derivada es 2x 00:11:50
es decir, que para la función y igual a x al cuadrado 00:11:59
la derivada de la función 00:12:04
lo podemos indicar así 00:12:07
o con la anotación de Leibniz 00:12:10
sería 2x 00:12:13
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 15:14
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
12′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
37.65 MBytes

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