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1. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Vamos a continuar la clase con lo que es una combinación lineal de vectores. 00:00:03
Anteriormente hemos visto que dentro de V2, el conjunto de los vectores libres del plano, 00:00:09
podemos definir dos operaciones. 00:00:17
La suma de vectores, que ya sabemos sumar vectores tanto analíticamente como gráficamente, 00:00:19
como otra operación que era la de multiplicar un escalar por un vector. 00:00:26
Escalar es sinónimo de número real 00:00:30
En dos operaciones, de las cuales hemos visto ya en propiedades, etc. 00:00:34
Vamos a definir ahora, como hemos dicho, lo que es la combinación lineal de vectores 00:00:41
Imaginar que tenemos n vectores de v2 00:00:45
Lo vamos a denominar u1, u2, así hasta un n 00:00:51
Y luego tenemos una serie de escalares de números reales, lambda 1, lambda 2, así hasta lambda n. 00:00:56
¿Qué es una combinación lineal de vectores? De estos vectores, de U1 hasta Un, pues cualquier combinación que sea de esta forma. 00:01:03
Es decir, escalar por el primer vector más otro escalar por el otro vector más puntos suspensivos, escalar de nuevo otro escalar por el vector u sub n. 00:01:12
El resultado de hacer esta operación, como hemos visto, multiplicar un escalar por un vector me da un vector. 00:01:28
Así que cada uno de estos sumandos que tenemos aquí son vectores. 00:01:34
con lo cual el resultado de sumar vectores, como hemos visto también cuando hemos repasado 00:01:38
cuando hemos visto la suma de vectores, la suma de vectores me da un nuevo vector 00:01:44
es decir, que cuando yo hago una combinación lineal de vectores 00:01:48
lo que vuelvo a obtener es otro vector, otro vector libre del plano 00:01:51
es decir, que el resultado pertenece a V2 00:01:56
vamos a ver aquí gráficamente en este Apple que tenéis de GeoGebra 00:02:01
lo que es una combinación lineal. Fijaros, el vector AX, que está aquí en color negro, 00:02:07
es una combinación lineal de estos dos vectores, del vector AB y del vector AC. 00:02:15
¿Qué combinación lineal concreta de esos dos vectores es? 00:02:21
Pues en este caso, como los escalores toman los valores, el A es 1,5 y B es el otro escalar, 2, 00:02:25
eso quiere decir que el vector AB está multiplicado por 1,5 00:02:34
recordad que al multiplicar un escalar por un vector 00:02:40
teníamos un vector en la misma dirección que el mismo vector de partida 00:02:44
que el vector AB en este caso 00:02:49
el sentido, pues como en este caso el escalar es positivo 00:02:50
era el mismo que el del vector AB 00:02:56
y el módulo quedaba multiplicado por el valor absoluto de este escalar. 00:03:00
Es decir, el módulo de A B' es 1,5 veces mayor que el módulo de A B. 00:03:07
Análogamente haríamos con el vector AC. 00:03:14
En este caso el vector AC está multiplicado por 2, por el escalar 2, 00:03:17
con lo cual, al ser un escalar positivo, el vector AC' tiene la misma dirección 00:03:21
y sentido que el vector AC y el módulo del vector AC' es dos veces el módulo del vector AC. 00:03:30
Bueno, al sumar este vector, el vector AB' con el vector AC' es como cuando obtenemos el vector AX. 00:03:40
¿Cuántas combinaciones podemos hacer con los vectores AB y AC? 00:03:51
Pues infinitas, porque como yo puedo variar los escalares A y B 00:03:56
Haciendo barrer sus valores en el conjunto de los números reales 00:04:02
Pues en realidad lo que tenemos son infinitas combinaciones lineales de esos dos vectores 00:04:10
Por ejemplo aquí, que si voy variando el escalar 00:04:16
En este caso, tanto A como B varían entre menos 5 y 5 00:04:20
pues lo que hago es multiplicar el vector AB por este escalar, en este caso por menos 1,1 00:04:26
al variar el valor de B, del escalar B, pues también el módulo, dirección 00:04:35
bueno, la dirección es la misma que, la dirección de AC' es la misma que la de AC, la dirección es la misma 00:04:45
El sentido, cuando es positivo, mismo sentido, cuando B es negativo, sentido contrario, el del AC'. 00:04:54
Y la suma de estos dos vectores que yo obtengo, que son los que están punteados aquí en trazo discontinuo, es el vector AX. 00:05:01
El resultado va a ser siempre un nuevo vector libre del plano V2. 00:05:09
Por ejemplo, imaginar que yo tengo dos vectores que van a ser los siguientes. 00:05:16
El vector u de coordenadas 3, 5 y el vector v de coordenadas 1, menos 2. 00:05:28
Si a mí me dicen escribe una combinación lineal de ellos 00:05:40
Yo me puedo inventar unos escalares A y B 00:05:45
De tal manera que una combinación lineal de ellos sería esta 00:05:49
Por ejemplo, si cojo como A 00:05:55
Como el escalar que multiplica al vector U 00:05:58
El menos 2 00:06:01
Y escalar B 00:06:03
Pues más 4, por ejemplo 00:06:08
esto sería una combinación lineal de estos dos vectores 00:06:10
lo podemos calcular analíticamente 00:06:16
y lo que tenemos que hacer primero es 00:06:19
el producto de escalar por vector 00:06:26
recordad que al multiplicar el escalar por el vector 00:06:30
lo que tengo que hacer es multiplicar el escalar por cada componente del vector 00:06:35
en este caso sería menos 6 menos 10 00:06:38
Y al multiplicar 4 por el vector v, me quedaría el vector 4 menos 8. 00:06:42
De nuevo, la suma de estos dos vectores me da un nuevo vector. 00:06:51
¿Qué componentes va a tener? 00:06:55
Pues recordando cómo se sumaban vectores, componente a componente, menos 6 más 4. 00:06:57
La primera componente sería menos 2 y la segunda componente sería menos 18. 00:07:02
Esto lo estamos haciendo aquí analíticamente 00:07:08
y gráficamente pues sería como hemos visto en el Apple de GeoGebra. 00:07:10
Una combinación lineal, yo variando A y B puedo obtener infinitas combinaciones lineales de ellos. 00:07:17
Vamos a ver otro ejemplo. 00:07:24
En este caso me dan un vector S que va a ser, pongamos, menos 10, 4. 00:07:27
y yo lo que quiero hacer es calcular por qué números, por qué escalares tengo que multiplicar u y v 00:07:38
de tal manera que s sea combinación lineal de ellos, es decir, en este caso yo conozco s 00:07:50
y lo que quiero averiguar es lo que valen a y b para que s sea combinación lineal de estos dos vectores 00:08:06
Entonces, en este caso lo que tengo que plantear es un sistema 00:08:14
¿Cómo vamos a ver? 00:08:20
En este caso las incógnitas son A y B 00:08:23
Multiplicamos escalarmente primero 00:08:25
A por el vector 3, 5 00:08:38
Nos quedaría 3A más 5A 00:08:42
Y B, el escalar B, por el vector V 00:08:45
Y quedaría B menos 2B 00:08:51
Al sumar estos dos vectores, componente a componente, la primera componente sería 3a más b. 00:08:53
La segunda componente sería 5a menos 2b. 00:09:01
Bien, como este vector s tiene que ser el mismo que este otro, 00:09:07
fijaros que lo que aparece, lo que nos resulta es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 00:09:12
La primera ecuación sería menos 10 es igual a 3a más b. 00:09:19
Y la segunda ecuación sería 4, tiene que ser igual a la segunda componente de este vector, que hemos obtenido aquí, 5a menos 2b. 00:09:27
Este sistema lo resolvemos por el método que queramos, sustitución, igualación, reducción. 00:09:39
Por ejemplo, por reducción, si esta la multiplicamos por 2 y sumamos, se nos va a la b, ¿no? 00:09:48
Nos quedaría menos 20 es igual a 6a más 2b. 00:09:53
Sumando con la ecuación de abajo, obtendríamos menos 16 es igual a 11a. 00:09:59
Es decir, que a tiene que valer menos 16 onceavos. 00:10:14
Por ejemplo, b lo podemos hacer por sustitución. 00:10:20
b es igual a menos 10 menos 3a, ya sustituimos el valor de a que era menos 16 onceagos 00:10:24
y realizando las operaciones, menos 110 más 48 menos 62 onceagos 00:10:32
es decir, que los escalares que los valores de a y de b tenemos aquí en esta combinación lineal 00:10:47
serían menos 16 onceavos para la A, o sea, el vector U tiene que ser multiplicado por menos 16 onceavos 00:10:58
y el vector V tiene que ser multiplicado por B, que nos ha dado el valor de menos 62 onceavos. 00:11:09
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 15:59
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
11′ 23″
Relación de aspecto:
5:4 Es el estándar al cual pertenece la resolución 1280x1024, usado en pantallas de 17". Este estándar también es un rectángulo.
Resolución:
1280x1024 píxeles
Tamaño:
28.75 MBytes

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