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Posición relativa de dos planos en el espacio - Contenido educativo

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Subido el 2 de noviembre de 2018 por Manuel D.

205 visualizaciones

Se estudian las posiciones relativas de dos planos en el espacio, tanto desde un punto de vista vectorial (estudiando sus vectores directores) como analítico (estudiando sus ecuaciones cartesianas). Se resuelve un ejemplo.

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En este vídeo vamos a estudiar la posición relativa de dos planos en el espacio. 00:00:02
Como nos dice la intuición, dos planos pueden ser paralelos si no se cortan, 00:00:12
pueden ser secantes si su intersección es una recta o pueden coincidir si son idénticos. 00:00:17
Recordemos que tenemos dos familias de ecuaciones de un plano. 00:00:22
Por un lado, las que se expresan en función de sus vectores directores, 00:00:25
que son la ecuación paramétrica o vectorial, 00:00:29
Y por otro, la ecuación cartesiana. Esta ecuación es útil, por ejemplo, cuando conocemos el vector normal al plano ABC, pues A, B y C son los coeficientes de las incógnitas en la ecuación. 00:00:31
Con dos planos podemos formar un sistema con las ecuaciones cartesianas. A esto le llamaremos estudio analítico. 00:00:43
En cuanto al estudio vectorial, el problema es que por cada plano tenemos dos vectores directores, en total cuatro vectores, y uniendo los puntos posición de los dos planos tendremos otro vector más. 00:00:49
en total cinco vectores. Si el rango formado por los cuatro vectores directores es 2, los planos 00:01:00
son o paralelos o coincidentes. Si el vector pq está contenido en los planos, esto es, si el rango 00:01:07
de la matriz de los cinco vectores es también 2, los planos son coincidentes y si el rango aumenta 00:01:13
hasta 3 serán paralelos. Para que los planos sean secantes es necesario que el rango de la matriz de 00:01:17
vectores directores sea 3. Pasemos ahora al estudio analítico, que es aún más sencillo y conviene 00:01:25
utilizar. Calcular la intersección de dos planos equivale a resolver un sistema de dos 00:01:31
ecuaciones con tres incógnitas. Por el teorema Roche-Frobenius tenemos que comparar los rangos 00:01:35
de una matriz de coeficientes 2x3 y una matriz ampliada 2x4. Si el rango de la matriz de 00:01:41
coeficientes es igual al rango de la ampliada es igual a 1, el sistema es compatible e indeterminado. 00:01:47
La solución depende de 3-1 igual a dos parámetros, es decir, los planos coinciden. Si el rango 00:01:53
de la matriz de coeficientes es igual a 1 y el rango de la ampliada es igual a 2, el 00:01:59
sistema es incompatible, con lo que los dos planos son paralelos. Y si el rango de la 00:02:03
matriz ampliada coincide con el rango de la matriz de coeficientes y coincide con 2, el 00:02:09
sistema es compatible indeterminado y la solución depende de 3 menos 2, un parámetro. Es decir, 00:02:13
los planos se cortan en una recta. Vamos a aplicar ahora todo esto con el siguiente ejemplo. 00:02:19
En este ejercicio nos piden la posición relativa de dos planos. Esto es más sencillo. ¿Por qué? Porque solo tenemos que escribir los coeficientes del sistema de ecuaciones que forman. 00:02:25
Esto va a ser un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y habrá que mirar si el sistema es compatible o incompatible. 00:02:43
Claramente, la matriz A tiene rango 1. 00:02:53
Fijaos que la fila 1, si la multiplicamos por menos 3, obtenemos la fila 2. 00:02:58
Entonces, vamos a mirar el rango de la ampliada. 00:03:06
¿Qué pasa con el rango de la ampliada? 00:03:09
La ampliada, vamos a escribirla para no tener dudas, por si acaso. 00:03:11
¿Qué pasa aquí? 00:03:22
Bueno, pues que aquí obtenemos un menor no nulo. 00:03:23
Ese menor, 1. 00:03:26
1 menos 3, 3. ¿Qué determinante tiene? Pues 3 menos menos 3. Cuidado con los dobles signos. 6. Significa que esto es, como esto es distinto de 0, el rango de la ampliada valdrá 2. 00:03:28
Y eso es mayor que el rango de A, que es igual a 1. ¿Qué significa esto? Pues que pi y pi' no se pueden cortar porque el sistema es incompatible. 00:03:43
Y como el sistema es incompatible, son paralelos también. Son paralelos estos dos planos. Ya está. Planos paralelos. Los coeficientes son proporcionales, pero aquí, si hubiésemos tenido un menos tres, si aquí hubiésemos tenido un menos tres en esta casilla, hubiesen sido el mismo, hubiesen sido dos planos coincidentes. 00:03:57
Pero como tenemos ahí un 3, pues son paralelos. 00:04:28
Espero que os haya gustado, que os haya resultado sencillo. 00:04:31
Nos vemos en futuros vídeos. ¡Hasta luego! 00:04:33
Valoración:
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
205
Fecha:
2 de noviembre de 2018 - 16:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
04′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
51.74 MBytes

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