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2Bto - 01 - Matrices - 04 - Suma y resta de matrices - Contenido educativo

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Subido el 14 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hay una errata hacia el minuto 3:20, donde escribo 3+6 debe poner 3+4 y, por tanto, el elemento a_31 de la matriz resultado debe ser 7 y no 9.

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Hola, en este vídeo vamos a empezar a estudiar la suma y resta de matrices. 00:00:02
Para poder sumar y restar matrices lo único que necesitamos es que ambas matrices tengan la misma dimensión. 00:00:08
Si no la tienen no podríamos sumarlas. Necesitamos que tengan exactamente el mismo número de filas y el mismo número de columnas. 00:00:15
La definición más formal es la que tenéis aquí escrita. 00:00:24
da las dos matrices cualesquiera, pero siempre que tengan la misma dimensión, ¿vale? 00:00:27
Como veis aquí en la nomenclatura, en la anotación matemática, 00:00:32
que ambas tienen que tener la misma dimensión, m filas por n columnas, 00:00:35
definimos matriz suma como aquella matriz que tiene la misma dimensión que las dos anteriores, 00:00:40
pero en la que cada uno de los elementos se obtiene como la suma de los elementos 00:00:45
de la primera y la segunda matriz que se encuentran en la misma posición, ¿vale? 00:00:50
¿Vale? Por eso, pues lo que decía al principio, es un requisito indispensable que las matrices tengan la misma dimensión para poder sumar los elementos, claro, porque si no, alguna de las dos matrices me sobraría. 00:00:54
¿Vale? Y también una consecuencia de esto es que la matriz resultado, ¿vale? La matriz suma va a tener la misma dimensión que las dos matrices anteriores. 00:01:05
¿Vale? Bueno, si lo habéis escrito con notación matemática, si escribimos las matrices A y B genéricas de dimensión m por n, ¿vale? 00:01:13
Como podéis ver en el último elemento, pues bueno, simplemente las escribiríamos una detrás de otra sumando, ¿vale? 00:01:23
Y como resultado, pues escribiríamos en cada una de las casillas directamente el resultado de la suma, ¿vale? 00:01:32
Bueno, para hablar de la resta de matrices, sería lo mismo, simplemente al elemento de la primera matriz se le resta el elemento de la segunda matriz. 00:01:39
Dicho esto, vamos a ver ahora un ejemplo de suma y resta de matrices con estas dos matrices 3x2 que tenemos aquí, ¿vale? 00:01:48
Tres filas por dos columnas, ambas tienen la misma dimensión, por tanto, podré sumarlas o restarlas, ¿vale? 00:02:02
Me piden primero que las sume y después que las reste. 00:02:08
Bueno, pues para sumarlas lo primero que tendríamos que hacer simplemente es copiarlas, primero la primera y después la segunda y simplemente ir operando, ¿vale? 00:02:11
Lo que vamos a hacer, por ser esta la primera, es que vamos a escribir toda la operación dentro pero luego no hace falta hacerla. 00:02:33
El primer elemento de la matriz resultado va a ser la suma de los primeros elementos de la, o sea, entender por primer elemento lo que está en la fila 1, columna 1, ¿vale? 00:02:39
Pues va a ser la suma de los elementos que están en las filas 1, columna 1 de sus respectivas columnas, es decir, menos 1 más 1. 00:02:50
El elemento 1, 2, ¿vale? El que está en fila 1, columna 2, será la suma de los elementos que están en esa posición. 00:02:58
Y continuaríamos, ¿vale? Siempre sumando elemento a elemento. 00:03:07
Tendríamos aquí menos 5 más 5, ¿vale? Fila 2, columna 2. 00:03:11
Y aquí los que están en fila 3, columna 1. Y por último los que están aquí en fila 3, columna 2. ¿De acuerdo? Venga, y simplemente pues nada, hacemos la operación. Esto luego lo haremos de cabeza, ¿vale? Pero bueno, menos 1 más 1, 0, 7, 2, 0, 9, 4. ¿Vale? Esa sería la matriz suma. 00:03:15
Vamos a ver ahora cómo haríamos la siguiente operación, que es la de la resta, que simplemente nos piden que a la segunda de las matrices que nos dan le restemos la segunda, lo vamos a hacer del tirón, le restaríamos menos 1, 4, 2, menos 5, 3, 6, 00:03:41
Y nada, pues simplemente tendríamos que poner como primer elemento la diferencia de 1 menos menos 1, es decir, 1 menos menos 1 es 2. 00:04:11
Segundo, el elemento de fila 1 columna 2, 3 menos 4 sería menos 1. 00:04:22
0 menos 2, menos 2. 00:04:29
5 menos menos 5 sería 5 más 5 que es 10. 00:04:33
4 menos 3 es 1 y por último menos 2 menos 6 sería menos 8 00:04:37
Esta sería el último elemento que está en la fila 3, columna 2 00:04:45
Bueno, si lo habéis entendido podríais parar aquí el vídeo pero yo voy a hacer un segundo ejemplo 00:04:52
Con dos matrices que tengo aquí, 3 por 3, son matrices cuadradas de orden 3 00:04:58
¿Vale? Y nada, pues vamos a ver cómo sería esta suma, pues bastante parecida a la anterior, ¿no? 00:05:02
O sea, simplemente se copian todos los elementos y se van sumando los elementos que están en la misma posición, ¿vale? 00:05:11
Os recomiendo que como yo creo que esto es bastante sencillo, que paréis el vídeo o que intentéis hacerlo a la vez que lo hago yo. 00:05:20
Aquí le he llamado B, pero entendemos que esto se llama D, ¿vale? 00:05:26
entonces esta sería la matriz de pues nada mirad aquí tiene estas dos filas iguales 00:05:29
no pasa nada insisto os recomiendo que intentéis hacerla solos quizá quitar el audio y ahora 00:05:41
comprobéis si la tenéis igual creo que la vais a tener igual porque bueno es bastante sencillo el 00:05:48
El elemento que está en la fila 1, columna 1, que sería la solución, el 1, 1, se da 2 más 1, 3. 00:05:53
El siguiente, menos 1 más 0, menos 1, 7 más menos 4, 3. 00:06:02
Siguiente fila, aquí tendríamos un 4, un 1 y 2 más menos 4, sería menos 2. 00:06:08
Y por último tendríamos aquí 2, 3 y 7. 00:06:15
¿vale? bueno, en el siguiente ejemplo 00:06:20
pues nada, simplemente nos piden las mismas matrices 00:06:25
que teníamos antes, solo que ahora nos piden que restemos, ¿vale? 00:06:27
hallemos la diferencia entre esas dos matrices, pues nada, copiamos los mismos elementos 00:06:32
igual que antes, ¿de acuerdo? 00:06:37
perdonad mi mala letra, uy, perdón, pero ahora nos piden operación resta 00:06:40
Tendríamos aquí 1, 0, menos 4, 1, 0, menos 4, menos 1, 3, 2 y tendríamos que ir restando elemento a elemento, ¿vale? En la primera posición, fila 1, columna 1, tendríamos 2, menos 1, 1, menos 1, menos 0, menos 1, 7, menos menos 4, 7 más 4 es 11. 00:06:45
3 menos 1 es 2, 1 menos 0 es 1 y 2 menos menos 4 sería 2 más 4 que es 6 00:07:07
Y en la última fila tendríamos 2 menos 3 y 3 00:07:14
Vamos a terminar el vídeo hablando de las propiedades de la suma de matrices 00:07:20
Habéis visto que lo que es la operación suma o diferencia es bastante sencilla 00:07:31
Y además es que cumple unas propiedades que van a ser bastante buenas y que nos resultan bastante familiares 00:07:37
porque las usábamos en otro tipo de conjuntos numéricos, como eran los números naturales o los números reales. 00:07:42
¿Qué ventajas o qué bondades tiene la suma de matrices? 00:07:52
La suma de matrices, dadas dos matrices que tengan la misma dimensión, es decir, que podamos sumar, como hemos visto hace un ratito, 00:07:57
cumplen las siguientes propiedades. 00:08:05
La primera de ellas es que es conmutativa, ¿vale? La suma de matrices es conmutativa, significa que no importa si yo sumo a más b o b más a, que el resultado va a ser el mismo, ¿vale? 00:08:07
Es también asociativa, o sea, si a mí en un momento dado me dan tres matrices de igual dimensión y las tengo que sumar, no importa el orden en que yo lo haga, ¿de acuerdo? 00:08:18
Porque, bueno, el resultado también va a ser el mismo. 00:08:28
En la suma de matrices también existe elemento neutro, ¿vale? 00:08:31
Y no es más que la matriz nula que tenga la misma dimensión que la misma que a mí me dan, ¿de acuerdo? 00:08:35
Porque, bueno, si no tiene la misma dimensión ya hemos visto que no se pueden sumar 00:08:41
Entonces, en el momento que existe una matriz nula de la misma dimensión que la que a mí me dan 00:08:44
No importa si yo esta matriz nula la sumo por la izquierda o por la derecha, ¿vale? 00:08:51
Por la que es la conmutatividad 00:08:55
No importa esto porque siempre el resultado va a ser el mismo 00:08:57
que no es más que la matriz original, ¿vale? O sea, a una matriz yo le sumo la matriz nula y obtengo la matriz original, ¿de acuerdo? 00:09:00
Y por último, pues bueno, hay que destacar la existencia de elemento simétrico, ¿vale? 00:09:11
Que es el que nos permite hablar de la existencia, bueno, de la operación diferencia, ¿vale? 00:09:16
Lo acabo de explicar antes. O sea, el elemento simétrico, bueno, es aquel que cuando yo se lo sumo a la matriz original me da la matriz nula como resultado. 00:09:21
Este elemento simétrico no es otro que la matriz opuesta a la matriz que a mí me den original. 00:09:34
Ya vimos en el vídeo anterior, en el tercer vídeo del tema, la existencia y cómo se calcula la matriz opuesta a otra que a mí me den. 00:09:39
¿Vale? Entonces si a una matriz yo le sumo su matriz opuesta, el resultado es una matriz nula 00:09:47
¿Vale? Porque todos los elementos se van a ir compensando, ¿vale? 00:09:53
Porque cada elemento que está en la misma posición en las dos matrices, claro, es el elemento opuesto 00:09:56
¿Vale? Tiene el valor opuesto al de la matriz original, por tanto, claro, si a un número yo le sumo su opuesto 00:10:04
El resultado es cero 00:10:10
Subido por:
Beatriz N.
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Fecha:
14 de septiembre de 2020 - 22:14
Visibilidad:
Público
Centro:
Sin centro asignado
Duración:
10′ 16″
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1.78:1
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