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Movimiento Armónico Simple - Problema resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de marzo de 2020 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo resolvemos un problema completo de movimiento armónico simple. Es un problema que salió en un examen de cursos anteriores.

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En este vídeo vamos a resolver un problema de movimiento armónico simple. 00:00:04

Como es un problema un poco largo, lo vamos a dividir en varios vídeos. 00:00:09

El problema dice así. 00:00:13

Una partícula oscila con un movimiento armónico simple. 00:00:15

En el instante inicial se encuentra a un tercio de la amplitud, alejándose del punto de equilibrio, 00:00:18

y se observa que tarda 0,42 segundos en volver a este punto por primera vez. 00:00:24

Su velocidad en valor absoluto en el punto de equilibrio es de 122 centímetros por segundo. Calcula la fase inicial, la frecuencia angular, escribe la ecuación de la elongación y represéntala gráficamente. 00:00:30

Para empezar vamos a calcular la fase inicial 00:00:45

Para calcular la fase inicial tenemos aquí la pista inicial 00:00:48

Por lo tanto vamos a utilizar la información de que en el instante inicial se encuentra a un tercio de la amplitud 00:00:53

En un movimiento armónico simple recordamos que vamos a tener una ecuación que es 00:01:01

x, que es la elongación en función del tiempo, es amplitud por el coseno de la frecuencia angular por el tiempo más la fase inicial. 00:01:08

Nos dicen que en el instante inicial, es decir, t igual a cero, se encuentra a un tercio de la amplitud. 00:01:22

Entonces, a tercios, es decir, un tercio de la amplitud, es igual a sustituir la t por cero. 00:01:28

Entonces nos queda, la a se queda igual, el coseno de omega por cero, que es cero, más phi sub cero, phi sub cero. 00:01:36

O lo que es lo mismo, dividiendo, se nos va la a, simplificando, el coseno de phi sub cero tiene que ser un tercio. 00:01:46

Si metemos esto en la calculadora nos va a decir que phi sub cero es igual a 0,3918 pi radianes 00:01:55

Recordad que tenéis que tener la calculadora en radianes y que la calculadora os va a dar un número que no es con pi 00:02:08

Dividimos entre pi y nos saldrá 0,3918 y luego le añadimos nosotros el pi 00:02:14

¿Qué ocurre? Que el coseno es una función tal que así que representa el eje x cuando cogemos un ángulo 00:02:19

Si yo tengo un coseno que es un tercio, un tercio está más o menos aquí 00:02:32

Pues nos va a dar, hay dos ángulos que nos pueden dar el mismo coseno 00:02:36

Uno es este ángulo de aquí y otro es este ángulo de aquí 00:02:40

Fijaros que la calculadora solamente nos da el ángulo positivo 00:02:47

pero también tenemos que considerar si pudiese ser el ángulo negativo, con lo cual tendríamos esta y su opuesta. 00:02:50

¿Cómo vamos a distinguir cuál de estas dos es la correcta? Pues utilizando la siguiente pista. 00:02:58

Nos dice que se está alejando del punto de equilibrio. Como se está alejando del punto de equilibrio, sabemos que la velocidad en el instante inicial es positiva. 00:03:05

¿Cómo calcularemos la velocidad? Derivando la ecuación de la elongación 00:03:15

La velocidad en función del tiempo va a ser, para derivar, recordad, derivada de x 00:03:20

La a es constante, se queda igual 00:03:29

La derivada del coseno me da un signo menos y el seno de la misma cantidad 00:03:33

pero como esto de aquí dentro no es únicamente una t tenemos que derivarlo también 00:03:40

esta es constante y queda cero y al derivar esta nos sale una omega que se queda multiplicando fuera 00:03:46

de la velocidad no nos interesa el valor porque omega no lo sabemos y a tampoco 00:03:52

no lo podríamos calcular sin embargo sí que nos interesa el signo en el instante inicial 00:03:58

en el instante inicial omega por t sale cero por lo tanto la velocidad en el instante inicial 00:04:04

es menos a omega por el seno de phi sub cero. Si phi sub cero fuese este ángulo de aquí 00:04:11

o este ángulo de aquí, tal como nos ha dicho la calculadora, tendríamos que tener en este 00:04:20

caso un signo negativo en el seno. ¿Por qué? Porque la amplitud es positiva, la omega es 00:04:25

positiva y aquí tenemos un signo menos. Por lo tanto, si aquí también tuviésemos un 00:04:31

signo menos, menos con menos es más y nos daría positivo, que es lo que estábamos 00:04:36

buscando. ¿Cuál de estos dos ángulos, el positivo o el negativo, tiene un seno que es negativo? Podemos 00:04:40

meterlo en la calculadora y veremos que es el negativo pero también podemos mirar la circunferencia 00:04:47

de aquí, el seno, recordamos que es la parte vertical, en este caso tendríamos una parte 00:04:52

vertical positiva y en este caso tendríamos una parte vertical negativa, por lo tanto el que 00:04:57

queremos coger es el negativo. Tenemos que descartar el positivo y la fase inicial es 00:05:03

menos 0,392 por pi radianes. Sigamos calculando ahora la frecuencia angular. Para calcular 00:05:09

la frecuencia angular que recordamos que es omega necesitamos el tiempo. ¿Por qué necesitamos 00:05:27

el tiempo? Porque omega está relacionada si recordáis con el periodo. Sin embargo 00:05:33

este valor que nos dan aquí este 0 42 segundos no es el periodo es el tiempo que tarda en volver al 00:05:38

mismo punto por primera vez veamos esto si yo tengo mi muelle y ahora mismo estamos aquí por 00:05:45

ejemplo este es el punto de equilibrio y esto repetido tres veces esto sería la amplitud el 00:05:57

periodo sería el tiempo que tardaría en ir hasta la amplitud volver hasta la amplitud negativa y 00:06:04

volver otra vez hasta llegar al mismo punto eso sería el periodo pero nos dicen por primera vez 00:06:12

fijémonos que cuando me voy hasta la amplitud y vuelvo y llego hasta aquí ya he vuelto a pasar 00:06:18

por este punto por primera vez significa esa vez que pasa pero yendo hacia la izquierda cuando pasa 00:06:24

pero yendo hacia la izquierda es decir con velocidad negativa significa que es este ángulo positivo que antes hemos descartado es decir primero estaba en esta posición ha ido hacia allá es decir ha llegado aquí y cuando ha llegado aquí ha vuelto a ir hacia atrás hasta este punto si miramos los ángulos el ángulo ha ido girando hacia allá aquí ha llegado a la amplitud y ha seguido girando y aquí es la primera vez que vuelve a pasar por el mismo punto 00:06:30

Por lo tanto, el interior del coseno va a valer esta phi sub cero que hemos descartado antes positiva, es decir, omega por t más phi sub cero va a ser más 0,3918 por pi, cuando esta t sea 0,42. 00:07:00

Podemos despejar omega y veremos que esta phi pasa restando pero al ser negativa es como sumar y como es el mismo valor es lo mismo que multiplicar por 2 00:07:23

2 por 0,3918pi entre t que es 0,42 00:07:35

El resultado de esta omega es 1,866 pi radianes segundo, por lo tanto omega valdrá 1,877 pi radianes por segundo. 00:07:45

Ya hemos calculado la frecuencia angular y la fase inicial, que las tenemos del vídeo anterior. 00:08:22

Vamos ahora a calcular la amplitud, que es lo único que nos falta para poder escribir la ecuación de la elongación 00:08:29

La ecuación de la elongación es x en función del tiempo es igual a a, que es la amplitud, por el coseno de omega t más phi sub cero 00:08:35

Efectivamente omega y phi sub cero ya los tenemos, t es la variable, por lo tanto nos falta solamente a 00:08:46

¿Cómo calcularemos a? Pues bien, utilizaremos que en el punto de equilibrio su velocidad en valor absoluto es de 122 centímetros por segundo. 00:08:54

Recordemos que punto de equilibrio significa x igual a 0. 00:09:06

x igual a 0 supone que como a no puede ser 0, este coseno sea 0. 00:09:17

Si recordamos la relación fundamental de la trigonometría, coseno cuadrado de phi más seno cuadrado de phi igual 1, el coseno cuadrado de phi es 0 cuando el seno al cuadrado, y por lo tanto el seno, es 1. 00:09:22

¿Qué tiene esto que ver? Pues bien, si derivamos la posición nos sale la velocidad 00:09:40

velocidad en función del tiempo es, ya lo hemos derivado en el vídeo anterior 00:09:45

menos a omega seno de omega t más phi sub cero 00:09:51

y nos están diciendo que cuando el coseno es cero, es decir, cuando x es cero 00:09:57

es decir, en la posición de equilibrio, este seno de aquí es o uno o menos uno 00:10:02

porque tenemos el cuadrado. Es decir, nos cancelaría este signo menos. En valor absoluto nos está diciendo que cuando x es 0 00:10:07

estamos en el punto de velocidad máxima. Punto de velocidad máxima significa que 122 es la velocidad máxima, 122 centímetros por segundo. 00:10:15

Esto de aquí se corresponde con la velocidad máxima. En valor absoluto le quitamos el signo menos y el seno como máximo puede valer 1. 00:10:29

Por lo tanto, para calcular la amplitud utilizaremos 122 centímetros por segundo es igual a A por omega que tenemos aquí calculada. 00:10:36

Si hacemos este cálculo, velocidad máxima es igual a A por omega, nos sale que la amplitud es 20,8 centímetros. 00:10:47

ahora que tenemos la amplitud podemos simplemente sustituir en la ecuación del movimiento 00:11:02

y tendremos que x en función del tiempo es 0,208 para que esté en metros 00:11:07

por el coseno de omega 1,87 pi t más la fase inicial que como es negativa pues menos 0,392 pi 00:11:14

y esto está en unidades del sistema internacional y esta sería la ecuación de la elongación o ecuación del movimiento 00:11:31

¿Cómo la representamos? Pues bien, como es un coseno, sabemos que va a tener un punto máximo y un punto mínimo 00:11:42

y que va a oscilar entre este punto máximo y este punto mínimo 00:11:52

Podemos ver que esta línea del centro es lo que llamamos el eje X, donde pintamos el tiempo 00:11:55

La gráfica siempre va a tener una forma senoidal o cosenoidal, es decir, una onda entre una y la otra 00:12:02

pintamos a continuación de un máximo al siguiente máximo un periodo 00:12:11

¿cuánto vale el periodo? pues tenemos que recordar que el periodo es 2pi dividido entre omega 00:12:19

como tenemos aquí omega calculamos cuánto vale el periodo y sale 1,07 segundos 00:12:25

con lo cual este tiempo es 1,07 segundos 00:12:34

lo que nos falta es colocar donde estaría el eje Y 00:12:39

Es decir, dónde empieza esta gráfica. Podemos hacerlo de varias maneras. Una forma es recordando que este signo menos lo que hace es desplazarnos la gráfica hacia la derecha con respecto del coseno o lo que es lo mismo, el eje hacia la izquierda. 00:12:42

Pero como no sabemos cuánto lo desplaza, es muy difícil aplicar este método. 00:12:58

otro método sería sustituir la T por 0 y calcularse cuánto vale la elongación 00:13:03

veríamos que queda a un tercio de la amplitud 00:13:10

el tercer método es volver a leer el enunciado donde nos dice que inicialmente se encuentra a un tercio de la amplitud 00:13:14

y además nos dice que se está alejando del punto de equilibrio 00:13:21

eso nos ayudará a decidir si lo colocamos aquí que es un tercio de la amplitud 00:13:24

o aquí que también es un tercio de la amplitud 00:13:29

pero observamos que en este punto se aleja del punto de equilibrio 00:13:32

mientras que en este punto se acerca al punto de equilibrio 00:13:36

por lo tanto empezaremos en este punto de aquí 00:13:39

haremos el eje un poco más grande que las líneas de la amplitud 00:13:43

esto será x y la amplitud está en 0,208 metros y menos 0,208 metros 00:13:46