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10 Ejercicios de inferencia estadística (I)
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Este vídeo pertenece a una lista de 11 vídeos en los que intento explicar la distribución normal y ejercicios.
Vamos a hacer ahora muchos ejercicios para poner en práctica ya por fin todo lo que estamos aprendiendo en estos vídeos.
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Los ejercicios que vamos a hacer ahora, en este vídeo y en el siguiente, todos están sacados de exámenes de selectividad de Madrid.
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De selectividad de la PAU, de la EBAU, como lo vayan a llamar.
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Entonces en este vídeo primero vamos a hacer ejercicios que son los más típicos.
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Generalmente tienen dos apartados. El primero pide un intervalo de confianza y el segundo te pide qué tamaño debe tener la muestra o algo relacionado con el error.
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¿Vale? ¿Cuánta gente debería haber encuestado para que el error fuera menor que no sé qué valor? ¿De acuerdo? Y en el siguiente vídeo ya veremos casos un poquito más extraños, que preguntan las cosas de otra manera, me dan otros datos, etc. No son tan típicos, ¿vale?
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Venga, pues empezamos aquí. El primer ejercicio dice, la altura en centímetros de los individuos de una población se puede aproximar por una distribución normal de desviación típica igual a 20 centímetros, ¿vale?
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tengo una población, no sé la media de altura que tiene esa población, sé que la desviación típica
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es 20 centímetros. A. En una muestra aleatoria simple de 500 individuos, o sea, cojo 500 individuos
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y se obtiene una altura media de 174 centímetros. Esta es la media muestral. Obténgase un intervalo
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de confianza del 95% para mu, para la media poblacional. O sea, dime entre qué dos valores
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hay un 95% de seguridad de que estará la media de la población. Es un apartado muy típico que
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tenemos que saber hacer con fluidez. Entonces la población de media desconocida y desviación
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típica 20 y mi muestra de 500 individuos y la media muestral era 174. Con esto me piden
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el intervalo de confianza al 95% para la media de la población. Pues ya sabéis que en el
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intervalo de confianza es el área que encierran dos valores simétricos, z alfa medios y menos
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z alfa medios. Si aquí dentro está el 95% de confianza, fuera se queda el 5%, repartido
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así, 2,5 a la derecha, 2,5 a la izquierda. Como en la tabla no puedo buscar dos valores que encierren un 95%, yo lo que hago en la tabla es buscar un valor, el z alfa medios,
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que deje a su izquierda al, en este caso, 95 más 2,5, o sea, al 97,5% de la población, o sea, al 0,975, que ya es lo que busco en la tabla. Esto sonará porque lo hemos visto
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en vídeos anteriores. Y el famoso valor que deja, busco por aquí dentro el 0,975 y el famoso valor que deja a su izquierda esto era el 1,96 famoso, ¿vale?
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Que ya algunos incluso lo sabréis. Con esto saco el error. El error era Z alfa medios por desviación típica entre raíz de n. Entonces Z alfa medios es 1,96,
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la desviación era 20, el número de individuos era 500 y me sale 1,753, ¿vale? Entonces ya sé que el intervalo de confianza es media menos error y media más error.
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Así que en este caso es 174, que era la media que me había salido en mi muestra, menos 1,753, 174 más 1,753. Y este es el intervalo de confianza que me sale. Tengo un 95% de seguridad de que entre estos dos valores, entre 172,247 y 175,753, está la media de altura de esa población.
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Apartado B. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza para mu al 90% tenga una amplitud? Esto también es muy típico. Ahora me preguntan, ¿y qué tamaño debería tener la muestra para que...? Otra cosa. Ahora lo que me preguntan es la N, el número de individuos que debería haber en la muestra.
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Y aquí dice, quieren que el intervalo de confianza, el 90%, tenga de amplitud a lo sumo 5 centímetros. Esto de amplitud no es que sea un término matemático que tengamos que conocer específico de este tema.
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Lo que me dicen es que el intervalo de confianza que yo construya, que va de un valor a otro, tenga como mucho una amplitud de 5 centímetros. ¿Y cómo le saco yo partido a este dato?
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Pues porque ya sabéis que el intervalo de confianza es media menos error y media más error. Entonces, al final, si la amplitud era 5 centímetros, lo que me viene a decir es que el error es a lo sumo de 2,5 centímetros.
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¿Entendéis? O sea, parto la amplitud en 2 y yo sé que no quieren que el error supere los 2,5 centímetros. Cojo la fórmula del error, que ya sabéis que es esta, z alfa medios por deviación típica partido raíz de n, y que eso sea menor o igual que 2,5.
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Ahora el zeta de alfa medios, lo que pasa es que lo tengo que volver a calcular, porque antes me habían pedido 95% y ahora 90%, entonces rápidamente, pues si aquí dentro queda el 90%, fuera queda el 10%, repartido así, 5 y 5, así que busco un zeta de alfa medios que a su izquierda deje el 90 más 5, o sea 95%, o sea que en la tabla tengo que buscar 0,95.
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Me voy a la tabla y si lo recordáis ocurría esto. Busco el 0,95 y tenía 0,9495 y 0,9505. Uno se queda corto y otro se pasa por lo mismo. Entonces lo que hago es coger el valor intermedio.
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entre 1,64 y 1,65, pues 1,645. Vuelvo al ejercicio, venga, el error queríamos que no fuera superior a 2,5, entonces cojo la fórmula y ya voy sustituyendo 1,645,
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la desviación sigue siendo 20, n es lo que no conozco, pero sé que me debería dar a lo sumo 2,5, entonces raíz de n que está dividiendo se va al otro lado multiplicando
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y 2,5 entonces que estará multiplicando se viene dividiendo, se intercambian los dos.
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Mira a ver todo lo que me da eso, raíz de n tiene que ser mayor o igual que 13,16,
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la raíz se va al otro lado como cuadrado, o sea que n tiene que ser mayor o igual que 173,18,
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o sea que n tiene que ser 174 personas como poco.
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Como poco deberíamos preguntar a 174 personas para que el intervalo de confianza al 90%
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tuviera de amplitud a lo sumo 5 centímetros.
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Otro ejercicio. La cantidad de fruta medida en gramos que contienen los botes de mermelada de una cooperativa se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica de 10 gramos. Fijaos, los ejercicios van a tener mucha literatura, pero al fin y al cabo, ir a los datos. Tengo una desviación típica de 10 gramos y me hablan de la cantidad de fruta que contiene unos botes de mermelada.
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¿Vale? Ah, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 100 botes, vale, cogen 100 botes
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Y la cantidad total de fruta que contenían fue de 16.000 gramos, todos los botes
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Determines un intervalo de confianza al 95% para la media de la población
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Bueno, pues tengo una población de media desconocida, de variación típica 10
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Y he cogido una muestra de 100 botes y la cantidad total que tenían era 16.000 gramos
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Entonces la media, ¿vale? Divido 16.000 entre 100 y me sale la media de fruta que tiene cada bote.
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160 gramos tienen de media en esa muestra.
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Y me pide el intervalo de confianza al 95%.
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Bueno, lo vamos a hacer esto un poco más rápido porque ya hemos hecho uno de estos.
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Tengo la fórmula de error, que es Z alfa medios por desviación típica partido raíz de N.
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Como Z alfa medios es el del 95%, ya lo he calculado antes, que era 1,96, ¿vale?
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Por 10 entre raíz de 100, total que sale 1,96.
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El intervalo de confianza es media muestral menos error, media muestral más error. O sea, 160 menos 1,96, 160 más 1,96 y este es el intervalo de confianza, o sea, tengo el 95% de confianza de que entre estos dos valores está la media de gramos de fruta que tienen los botes de esa cooperativa, de esa fábrica.
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B. A partir de una muestra aleatoria simple de 64 botes, vale, ahora cogen una muestra de 64 botes, se ha obtenido un intervalo de confianza para la media poblacional con un error de estimación de 2,35 gramos. Determínese el nivel de confianza utilizado.
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Fijaos, ahora me dan el error
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También me dan el número de botes
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Y lo que me preguntan es
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¿Qué nivel de confianza tiene ese intervalo?
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¿Vale?
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Cuando no sepáis por dónde tirar
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Ir a las fórmulas que conocéis
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Y vamos sacando cosas
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Por ejemplo, la muestra
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Yo sé que tiene 64 botes
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Y que el error es 2,35
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Bueno, pues voy a utilizar la fórmula del error
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Que era esta
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Error era Z alfa medios por desviación típica partido raíz de N
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Conozco el error, conozco la desviación
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Conozco N
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De aquí lo que puedo sacar es el Z de alfa medios
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raíz de 64 que está dividiendo
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se va multiplicando y el 10 que está arriba
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multiplicando se va dividiendo, en total me sale
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que z alfa medios es
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1,88 y ¿cómo utilizo
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yo eso? pues como sabéis
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el nivel de confianza era
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el área que quedaba encerrada entre dos valores simétricos
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z alfa medios y menos z de alfa
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medios, en este caso sé que z alfa medios
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es 1,88 y
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menos z alfa medios pues menos 1,88
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y quiero saber que nivel de confianza
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haya encerrado entre ellos dos
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Pues es un ejercicio de los que hemos visto en los primeros vídeos. Quiero calcular el área que hay entre dos valores, y el área que hay entre dos valores era el área que queda por debajo del mayor menos el área que queda por debajo del menor.
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La probabilidad de estar por debajo de 1,88 menos la probabilidad de estar por debajo de menos 1,88. La probabilidad de estar por debajo de 1,88, eso se mirará en la tabla, ¿vale? Porque ya está.
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Pero el otro, que es un número negativo, había que cambiarle el signo y el símbolo. Es la probabilidad de estar por encima de 1,88. Y la probabilidad de estar por encima de era 1 menos la probabilidad de estar por debajo de, ¿os acordáis? Bueno, es un poco lío, pero esto cuando lo vas escribiendo tú, lo haces con calma y veréis que no os equivocáis.
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Entonces, esto ya lo miro en la tabla, esto ya lo miro en la tabla, resulta que da 0,9699 menos 1 menos 0,9699, total 0,9398 es el área que queda encerrado. Entonces, el nivel de confianza es 93,98%, que yo imagino que han dado estos datos para que digamos que es, en definitiva, un 94% de confianza que tenía ese intervalo que han obtenido ellos.
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¿Vale? Y terminamos con un último apartado que dice, en cierta región el gasto familiar realizado en gas natural medido en euros durante un mes determinado se puede aproximar a una distribución normal de media 250 y desviación típica 65.
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Fíjate, aquí sí que conocen la media de la población, claro, como es el gas y se lo cobran a todo el mundo, aquí sí que a todo el mundo sí que le han preguntado o tienen un contador para saber cuánto gasta.
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Entonces en este caso sí que se conoce la media de la población que es 250 euros de gasto medio tiene esa población. Y me preguntan, se toma una muestra aleatoria simple de 81 familias, cojo 81 familias, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 230 euros?
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O sea, en esa población la media de gasto es 250, pero han cogido 81 familias y se preguntan cuál es la probabilidad de que la media de esa muestra de 81 familias supere los 230 euros.
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Vamos a ir organizándonos. Tengo una población que sigue una distribución normal conocida de media 250 y desviación típica de 75.
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Cojo una muestra de 81, entonces como es una muestra, la muestra se distribuye de esta manera, la media es la misma y luego es desviación típica partido de raíz de n.
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entonces mis datos son
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250 y 75
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partidos por radio 81 y me preguntan
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la probabilidad de que la media
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de esas 81 familias sea superior
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a 230 euros
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bueno, pues entonces ya sabéis
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que la fórmula para tipificar, ahora usamos
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esta, ¿vale? para convertir
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mi 230 en una Z
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que pueda mirar en la tabla, yo quiero
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mirar en la tabla la probabilidad de que Z sea superior a un valor
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tengo que tipificar el 230
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utilizo esta fórmula, como estamos hablando
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de muestras, pues abajo
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en el denominador es desviación típica a partir de raíz de n. Total que me sale 230, 950, tal, tal, menos 2,4. O sea, la probabilidad de que la media de esa muestra de familias,
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de 81 familias, sea superior a 230 es la probabilidad de que z sea superior a menos 2,4. Como es un número negativo, es la probabilidad de que z sea menor que 2,4.
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Y esto lo miro en la tabla. He tipificado el 230, lo he convertido en 2,4. Miro la tabla y me queda 0,9918. O sea, la probabilidad de que la media de esas 81 familias, el gasto sea superior al 130 es 0,9918.
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- Materias:
- Matemáticas
- Autor/es:
- Paco Gil
- Subido por:
- Francisco G.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 276
- Fecha:
- 13 de abril de 2020 - 11:59
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES VICTORIA KENT
- Duración:
- 11′ 45″
- Relación de aspecto:
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