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AN5. 3.2. Integral definida de Darboux - Contenido educativo

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Subido el 10 de diciembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos la integral 00:00:22
definida de Dagbu. En esta videoclase vamos a estudiar la integral definida. No existe una 00:00:34
única forma de definir esta integral. Existen distintos autores y comúnmente se asocia a Riemann 00:00:51
la definición de esta integral definida. Y entonces vamos a comenzar o comienzo la exposición con la 00:00:57
integral de Riemann, como podéis ver aquí. Tanto en esta diapositiva como en la siguiente tenéis el 00:01:03
desarrollo teórico, así como en los apuntes que están en el aula virtual. No obstante, quisiera 00:01:09
señalar que aunque comúnmente se habla de integral de Riemann, en este nivel de bachillerato la 00:01:14
integral que se utiliza no es precisamente esta de Riemann, sino la integral de Daub. Y esta es la 00:01:20
que voy a describir en esta videoclase. No voy a utilizar, no me voy a apoyar esta vez en este 00:01:26
desarrollo matemático que tenéis aquí en esta diapositiva y en los apuntes de la ola virtual, 00:01:32
sino que me voy a apoyar en un caso particular, en un caso muy concreto, en un ejemplo que voy 00:01:38
a desarrollar con GeoGebra. La integral definida da respuesta a lo que se conoce como el problema 00:01:43
del área. Supongamos que tenemos la representación gráfica de una cierta función real de variable 00:01:49
real f, como esta que tenemos aquí, y queremos calcular el área de la superficie limitada por 00:01:54
la gráfica de la función, el eje de las x y dos rectas verticales que se corresponden en este caso 00:02:01
con las abscisas x igual a menos 2 a la izquierda y x igual a 7 por la derecha. A este área se le 00:02:06
llama área subtendida por la función, puesto que se encuentra por debajo y limitada con el eje de 00:02:12
las X. Nosotros podemos determinar el área de un cuadrado, de un rectángulo, de un triángulo, 00:02:18
de un polígono regular, de un polígono que no sea regular, ese tipo de figuras. Y aquí nos 00:02:27
encontramos con el problema de que esta figura tiene un límite que no es recto, es curvado. En 00:02:31
el caso de figuras con límites curvos podemos calcular el área de un círculo y de otras que 00:02:37
se relacionan con estos, como podría ser un sector circular, una corona circular, etcétera. 00:02:43
Pero no tenemos ahora mismo con los elementos de la geometría básicos forma de calcular el área 00:02:49
de esta figura que tiene este extremo superior curvado. La idea de la integral definida lo que 00:02:55
hace es, bueno, no puedo calcular a lo mejor este área directamente con una fórmula, pero sí puedo 00:03:04
buscar una forma de, utilizando cuerpos geométricos sencillos que van a ser rectángulos, ir encontrando 00:03:12
aproximaciones sucesivas cada vez mejores a cuál será el área de este cuerpo, de 00:03:18
esta superficie. 00:03:25
Lo que vamos a hacer, para empezar, es el desarrollo que corresponda a lo que vamos 00:03:28
a llamar dentro de un momento suma inferior y la idea es la siguiente. Voy a ver si pudiera 00:03:32
encontrar un rectángulo, un único rectángulo, cuya área sea calcular longitud de la base 00:03:37
por longitud de la altura, que sea seguro de menor área que la que estoy buscando, 00:03:42
que sea una cota inferior al área que estoy buscando. 00:03:49
Puedo hacerlo de la siguiente manera. 00:03:53
Voy a tomar como base del rectángulo el segmento que va desde el menos 2 hasta el 7, 00:03:55
las dos abstizas que me estaban limitando el área, si recordáis. 00:04:01
Y como altura, puesto que estoy intentando que el área que estoy determinando sea menor que el área real, 00:04:04
voy a tomar el menor valor de la función dentro del intervalo que va de menos 2 a 7 00:04:10
y que en este caso se corresponde con el valor x igual a menos 2. 00:04:15
Este rectángulo que tengo aquí tiene un área que se calcula longitud de la base por longitud de la altura 00:04:19
igual a 5,112 unidades al cuadrado, depende de cuáles sean las unidades de x y de y, 00:04:24
y el área de este rectángulo es seguro menor que el área que estoy buscando, 00:04:30
que se corresponde con ese rectángulo más este trozo que estoy marcando con el ratón 00:04:35
y que no estoy contabilizando todavía. 00:04:41
Es una aproximación. El área que estoy buscando es mayor o igual que 5,112 unidades al cuadrado. 00:04:44
Una aproximación muy burda, como podéis apreciar. 00:04:52
Pero es una aproximación. El área que estoy buscando es mayor o igual que esta. 00:04:55
¿Puedo encontrar una aproximación que sea mejor? 00:05:00
si, en lugar de tomar un único rectángulo, tomara, por ejemplo, dos. 00:05:02
Voy a dividir este segmento a la mitad y voy a construir dos rectángulos, como podéis ver. 00:05:07
Divido en dos mitades iguales. 00:05:14
Tengo dos rectángulos con base, primero, esta longitud y el segundo con esta otra longitud. 00:05:18
Y, puesto que quiero hacer una aproximación inferior, estoy determinando una cota inferior, 00:05:24
lo que voy a hacer es, dentro de cada uno de estos segmentos, buscar cuál es la menor altura de la función. 00:05:28
En este caso sigue siendo este valor. 00:05:35
En el caso del segundo rectángulo, si yo veo las alturas de la función en ese intervalo, el menor valor es este que tengo aquí. 00:05:38
Y ahora ya no tengo un único rectángulo, tengo dos. 00:05:45
Voy a calcular o voy a determinar esa cota inferior al área que estoy buscando como la suma de las áreas de este primer rectángulo 00:05:49
con la base que va desde este punto a este punto y con altura la que corresponde a la altura de la función aquí 00:05:56
y este segundo rectángulo con base que sería la longitud que va desde este punto hasta este punto 00:06:03
y longitud de la altura pues la que corresponde a este valor de aquí. 00:06:08
La suma de estas dos áreas ahora resulta ser 10,742. 00:06:12
Sigue siendo una aproximación, una cota inferior, una aproximación por abajo al área que yo estoy buscando. 00:06:18
Es menos burda que la anterior, puesto que, bueno, se aproxima un poquito mejor. 00:06:25
Aún así, sigo teniendo todo este trozo y todo este trozo de aquí que no estoy teniendo en consideración. 00:06:30
Sí tengo un poco en cuenta la forma de la función, mejor que antes, pero todavía no es una buena aproximación. 00:06:38
Podría afinarlo un poco más si en lugar de poner dos intervalos pusiera tres. 00:06:44
O incluso cuatro, o incluso cinco, o incluso seis. 00:06:49
Fijaos lo que estoy haciendo. Estoy subdividiendo el intervalo en el que yo estoy interesado, el que va de menos 2 a 7, con una partición. 00:06:54
Lo estoy partiendo, en este caso, en seis segmentos iguales, uno a continuación del otro. 00:07:04
En la partición, lo que estoy considerando es las alturas dentro de cada uno de estos segmentos en los que he dividido el segmento inicial. 00:07:10
Estoy buscando cuál es la altura de la función mínima. 00:07:19
En este caso sería este punto de aquí, en el intervalo siguiente que va de aquí a aquí sería este, en el siguiente que va de aquí a aquí sería este, así hasta llegar al último, 00:07:23
en cuyo caso, pues estoy viendo que la altura menor de la función se corresponde a esta que tengo aquí. 00:07:33
Voy a multiplicar longitud de base por altura de, en este caso, los seis rectángulos y sumarlo, y veo que obtengo como valor de esa suma inferior 13,705. 00:07:38
El área que estoy buscando es mayor o igual que 13,705 y es un valor aproximado por abajo. 00:07:49
El valor real será mayor o igual que este. 00:07:57
La aproximación es mejor que las anteriores, puesto que lo que no estoy contando, el área que no estoy contando, 00:07:59
que sería de esta parte en blanco y que se encuentra inmediatamente por debajo de la función y hasta llegar a los rectángulos, va siendo cada vez menor. 00:08:06
Si vuelvo hacia atrás, en el caso en el que tenía un único intervalo, me estaba perdiendo todo el área de esta superficie al considerar la siguiente partición con dos intervalos. 00:08:14
Si os habéis dado cuenta, este trozo ya lo estoy contando y el área que no estoy considerando es solamente este trozo y este de aquí, más pequeño que el anterior. 00:08:28
Cuando en lugar de dos intervalos tengo tres, la aproximación es mejor, cada vez es mejor, y si vais viendo, los rectángulos, conforme voy añadiendo cada vez más, van cubriendo cada vez más el área que yo estoy intentando localizar. 00:08:37
En este caso vamos a llegar hasta 20, por ejemplo. 00:08:54
Podemos ver cómo tengo 20 rectángulos, todos en este caso he decidido que tengan la misma longitud en la base, 00:08:59
así que estoy dividiendo el intervalo que va de menos 2 a 7 en 20 intervalos iguales, uno a continuación del otro. 00:09:07
Dentro del cambio de intervalo busco cuál es el mínimo valor de la función y lo que hago es construir los rectángulos de esta manera. 00:09:13
Calculo el área de cada uno de ellos como longitud de la base por longitud de la altura. 00:09:20
que se corresponde con ese mínimo valor de la función, sumo todos estos rectángulos, el área de todos estos rectángulos, 00:09:24
y en este caso esa suma inferior, porque me da una cota por abajo, es igual a 15,381. 00:09:30
Y si os fijáis, este área sigue siendo menor que la que yo deseo, porque sigo dejándome estas ahora muy pequeñitas áreas, 00:09:36
20 pero muy pequeñitas, encima de los rectángulos hasta alcanzar el valor de la función. 00:09:46
Fijaos que aquí la aproximación es bastante buena, pero aquí por ejemplo es peor que en otros casos. 00:09:51
Tal vez la mejor aproximación sea aquí desde luego, a continuación sea un poco mejor, esta sea peor, esta es mejor. 00:09:58
Si hago cada vez más intervalos podéis ir viendo como el valor de la suma inferior va aumentando. 00:10:04
Cada vez me iré aproximando más al valor real del área que yo quiero encontrar. 00:10:15
Cada vez estos espacios en blanco por encima de los rectángulos van a ser más pequeños. 00:10:22
Y lo que yo me pregunto es, ¿qué ocurrirá en el límite en el que n tiende a infinito? 00:10:27
¿Qué ocurre cuando estos intervalos, el número de intervalos, es cada vez mayor? 00:10:34
Pues si llego hasta 100, 80, 90, vamos a ver qué ocurre cuando llego a 100, por ejemplo, fijaos en que los huequitos que yo estoy considerando son muy pequeños. 00:10:39
Aquí se aprecian un poco, aquí no se pueden apreciar, también porque el grosor con el que estoy representando la función tapa todo. 00:10:54
Pero fijaos que conforme ha ido aumentando el número de intervalos, el valor de la suma inferior ha ido creciendo. 00:11:02
La idea es que cada vez me voy aproximando más al valor real. 00:11:08
Pero, una vez más, ¿qué ocurre en el límite cuando n tiende a infinito? 00:11:13
Conforme n crece, el valor es mejor, pero ¿y en el límite? 00:11:17
Podríamos hacer lo mismo, pero en lugar de tomar los valores más pequeños, tomar los valores mayores. 00:11:24
En ese caso, estaríamos definiendo la suma superior. 00:11:29
Vamos a repetir el mismo proceso. 00:11:33
Vamos a intentar aproximar el área que estamos intentando determinar utilizando rectángulos, 00:11:35
pero en este caso lo que queremos es que el área que obtengamos sea una cota superior. 00:11:41
Queremos que el área sea mayor que aquella que queremos determinar. 00:11:46
Vamos a operar de la misma manera, vamos a calcular el área aproximándola con rectángulos 00:11:50
y en este caso lo que vamos a hacer es empezar con un único rectángulo que tenga como base 00:11:55
la longitud del segmento en el que estamos intentando calcular el área, 00:11:59
subtendida por la función y como queremos tener una cota superior lo que vamos a hacer es tomar 00:12:03
como altura el mayor valor de la función dentro de ese intervalo que se corresponde con este punto 00:12:08
de aquí. El área de este rectángulo multiplicando la longitud de esta base por la longitud de la 00:12:13
altura que se corresponde con el máximo valor de la función en el intervalo es en este caso 00:12:19
24,075 unidades al cuadrado, insisto, dependiendo de las unidades de x y de y. Esto me permite 00:12:23
asegurar que el área que estoy buscando es menor o igual que 24,075 unidades al cuadrado. 00:12:31
Se trata de una cota superior. 00:12:39
Esta aproximación, igual que pasaba con la primera aproximación de la suma inferior, es muy burda. 00:12:41
Estoy contando como parte del área este trozo bastante grande y este otro trocito pequeño que tengo aquí a la izquierda y a la derecha. 00:12:47
¿Cómo podría hacer lo mismo una gota superior con rectángulos, pero que sea un poco más aproximada? 00:12:56
Pues igual que antes, en lugar de tomar un intervalo, un rectángulo, vamos a tomar dos. 00:13:03
Voy a partir el intervalo en dos partes iguales, estoy haciendo una partición con dos intervalos. 00:13:08
Voy a considerar dos rectángulos, cada uno de ellos con longitud de base la que corresponda a la mitad del segmento inicial. 00:13:14
y con altura el menor, perdón, en este caso el mayor valor de la función dentro del intervalo. 00:13:20
Aquí seguirá siendo este punto, el máximo de la función, 00:13:26
y dentro de este intervalo el máximo valor sería este que tengo aquí. 00:13:29
Y ahora voy a tomar como aproximación la suma del área de este rectángulo y de este otro. 00:13:33
Y si os dais cuenta, ahora es menor porque este trozo que antes había contabilizado, 00:13:39
cuando tenía solo un rectángulo, ahora ya no lo estoy contabilizando. 00:13:43
Y ahora ya no tengo una aproximación de 24 aproximadamente unidades al cuadrado, sino de 21. Es una mejor aproximación. Sigue siendo un exceso con respecto al área que yo quiero determinar, pero es mejor. 00:13:47
Igual que antes cuando hablaba de las sumas inferiores, una forma de encontrar cada vez una mejor aproximación consiste en hacer una partición con cada vez más intervalos, lo que equivale a decir a tomar cada vez más rectángulos. 00:14:02
Vamos a incrementar el número de rectángulos. Tenemos 2, 3, 4, 5, 6. 00:14:15
Fijaos como ahora, evidentemente, el área sigue siendo en exceso, la de los rectángulos en exceso, con respecto a la de la función, 00:14:22
pero ahora el exceso, que sería este trocito de la parte de arriba de estos rectángulos, cada vez va siendo menor, cada vez la aproximación va siendo mejor. 00:14:30
Y el área propuesta va disminuyendo. Ya tengo una cota superior que sería 18, aproximadamente 18 unidades al cuadrado. 00:14:38
Igualmente, me pregunto, ¿qué es lo que ocurre conforme aumento el número de rectángulos? 00:14:48
Estoy viendo como la aproximación es cada vez mejor. Voy a llegar a 20, igual que antes. 00:14:53
Ahora tengo 20 rectángulos. El área de estos 20 rectángulos, determinados, como he dicho anteriormente, es excesiva. 00:14:59
tengo estos trocitos que tengo de área computada en exceso, pero cada vez los rectángulos reproducen mejor la curva de la función. 00:15:07
Si os fijáis, aquí arriba casi no se ve diferencia, igual que antes se debe al grosor con el que estoy representando la función. 00:15:16
Aquí en este extremo parece que tengo algo más de exceso que aquí o bien que aquí. 00:15:24
Y me pregunto lo mismo, ¿qué es lo que ocurrirá en el límite cuando el número de intervalos tiende a infinito? 00:15:29
Y en este caso, vamos a hacer igual que antes, vamos a incrementar los intervalos hasta 100, por comparar de una manera más o menos aproximada a lo que teníamos antes. 00:15:35
Ahora tengo 100 rectángulos. He dividido el intervalo inicial con la partición de 100 intervalos. 00:15:49
Tengo 100 rectángulos que he determinado con una altura que sería el máximo valor de la función dentro de cada uno de estos pequeños intervalos que tengo aquí. 00:15:55
Y he calculado esta suma superior como la suma de las áreas de estos 100 rectángulos. 00:16:04
Y ahora tengo el valor 16,196. 00:16:08
La aproximación es cada vez mejor. Me basta con mirar la función. 00:16:13
Desde luego hay un pequeño exceso que se ve mejor en este lado de la derecha. 00:16:18
Aquí en esta parte no se aprecia demasiado bien. 00:16:22
Aquí se vuelve a ver, aquí otra vez no. 00:16:26
La aproximación es por exceso, tal y como lo estoy construyendo. 00:16:29
el área que yo estoy buscando es menor o igual que este valor de 16,196 unidades al cuadrado 00:16:31
y veo que cuantos más intervalos ponga la aproximación va a ser cada vez mejor, lo estoy viendo. 00:16:37
Pero matemáticamente ¿qué ocurrirá? Igual que me preguntaba antes, ¿qué ocurrirá cuando el número de intervalos tienda a infinito? 00:16:43
Antes de hacer esta discusión con n tendiendo a infinito en el número de intervalos con el que hacemos la partición, 00:16:53
con el que dividimos este intervalo, vamos a comparar la suma inferior y la suma inferior, 00:16:59
las que hemos estado discutiendo hace un momento. 00:17:05
Y vamos a hacer el mismo desarrollo, pero esta vez simultáneamente comparando suma inferior y suma superior. 00:17:08
Vamos a comenzar con un único intervalo, un único rectángulo. 00:17:14
Y aquí tenemos el rectángulo que correspondía a la suma inferior de partida. 00:17:17
La longitud de la base es el intervalo completo y la altura corresponde con el mínimo valor de la función. 00:17:22
y es este rectángulo que tenemos en color oscuro, cuya área es 5,112, esa suma inferior, unidades al cuadrado, por supuesto, 00:17:27
y como suma superior, ese único rectángulo con la misma base, pero en este caso con una altura que se corresponde con el máximo valor de la función. 00:17:36
Se trata de un rectángulo clarito que tiene como base el eje de las x y que llega hasta este máximo valor de altura. 00:17:45
No es el rectángulo que empieza aquí, es el rectángulo que empieza en el eje de las x, igual que antes. 00:17:52
Lo que pasa es que la suma inferior se va a superponer por encima de la suma superior. 00:17:57
En el caso del rectángulo inferior, el rectángulo de la suma inferior, el área es 5,112 unidades al cuadrado. 00:18:03
En el caso del rectángulo de la suma superior es 24,075 unidades al cuadrado. 00:18:09
De tal forma que tengo garantizado que el área en el que estoy interesado, la subtendida por la gráfica de la función, está comprendida entre 5,112 y 24,075. 00:18:15
Tengo una aproximación, tengo un límite inferior y un límite superior. 00:18:26
El valor del área que busco está acotado por esos valores. 00:18:30
A lo mejor no es la mejor acotación que yo puedo encontrar entre 5 y 24. 00:18:33
Me gustaría afinarlo más. 00:18:37
Me gustaría que la distancia entre la suma inferior y la suma superior disminuyera para tener una mejor acotación. 00:18:39
¿Cómo puedo hacer eso? 00:18:45
Pues igual que veíamos anteriormente, incrementando el número de intervalos. 00:18:46
Vamos a aumentarlo en 2, 3, 4, 5, 6. 00:18:50
veíamos como la suma superior iba disminuyendo y la suma inferior iba aumentando. 00:18:53
De tal forma que podemos comprobar como la acotación tiene una distancia cada vez menor. 00:19:01
Antes teníamos entre 5 y 24, incrementando el número de intervalos de 1 a 6, 00:19:06
vemos como el área va a estar acotada, está limitada, entre 13,705 y 18,084. 00:19:14
Todavía hay una cierta separación entre estos valores, pero es mucho mejor la aproximación que la de antes. 00:19:22
La separación entre 13,7 y 18,1 aproximadamente es mejor que anteriormente. 00:19:28
Si vamos incrementando el número de intervalos en nuestro camino n tendiendo infinito, 00:19:33
veremos cómo la suma inferior sube, cómo la suma superior baja y cómo la diferencia entre esos dos valores va siendo cada vez menor. 00:19:40
Vamos a ver qué es lo que ocurre cuando, igual que anteriormente, incrementamos el número de intervalos hasta 100. 00:19:49
Y vamos a ir mirando cómo los valores de la suma inferior, efectivamente, sube y el de la suma superior baja. 00:19:56
Y, por ejemplo, con 100 intervalos llegamos hasta aquí. 00:20:04
La suma inferior toma un valor 15,926, así que el área que yo estoy buscando será mayor o igual que este valor, 15,926 unidades al cuadrado. 00:20:08
La suma superior es 16,196, así que será menor o igual, el área que estoy buscando, a 16,196 unidades al cuadrado. 00:20:17
Fijaos que estoy en torno a 16. Aquí tengo 15,9, aquí tengo 16,2. 00:20:27
Tengo entre 16 y 16,2, si quisiera dar unos valores muy aproximados, como valor para el área que yo estoy buscando. 00:20:34
Fijaos que lo que estaba diciendo anteriormente con la suma inferior por un lado y superior por el otro sigue siendo cierto, por supuesto. 00:20:44
Cada vez la suma inferior se va ajustando más al área que yo busco, la suma superior también. 00:20:51
La suma inferior por abajo, la suma superior por arriba. 00:20:57
¿Qué ocurrirá en el límite cuando n tiende a infinito? 00:21:00
Bien, pues el desarrollo de Dagú lo que dice es que si el límite de la suma inferior cuando n tiende a infinito existe, o sea, converge, 00:21:05
Y el límite de la suma superior también existe y ambos límites coinciden, ese valor común al que van a alcanzar los dos límites va a ser el valor del área que estamos buscando. 00:21:13
En este caso he dividido el intervalo inicial de menos 2 a 7 en 10.000 pequeños intervalos, tengo una partición de 10.000 intervalos. 00:21:24
La suma inferior toma el valor 16,062 unidades al cuadrado, la suma superior 16,065 unidades al cuadrado y vamos a comparar con el valor real del área, que es 16,063 unidades al cuadrado. 00:21:35
Vemos como con 10.000 intervalos el valor de la suma inferior y la superior ha convergido por lo menos hasta las cifras de las centésimas. 00:21:49
De tal forma que podría afirmar que el área es aproximadamente 16,06 unidades al cuadrado. 00:21:59
Sé que es superior a 16,062, inferior a 16,065 y puedo afirmar que estará alrededor de 16,06, como realmente ocurre. 00:22:08
En este caso no voy a intentar aumentar el número de intervalos porque tenemos un problema numérico. 00:22:19
la precisión con la cual GeoGebra va a estar calculando estas áreas no va a ser suficiente 00:22:25
y no vamos a poder comprobar cómo realmente la suma inferior y superior convergen. 00:22:31
No vamos a poder ver cómo realmente aquí aparece en las cifras de las milésimas un 3. 00:22:35
Luego, siempre tendremos una serie de limitaciones cuando estemos haciendo estos cálculos numéricamente. 00:22:40
Pero si pudiéramos encontrar una expresión algebraica para esas áreas, esas sumas inferior y superior, 00:22:46
y pudiéramos hacer realmente de forma algebraica los límites y comprobar que ambos convergen al mismo valor, 00:22:52
ahí tendríamos el valor exacto que correspondería con ese área subtendida. 00:22:58
Y ahí tendríamos resuelto el problema del área. 00:23:03
Por último, para finalizar esta videoclase de la integral de Dabu, 00:23:08
vamos a ver la forma en la cual vamos a representar esa integral definida. 00:23:12
El símbolo será este que tenemos aquí. 00:23:17
Y si os dais cuenta, se parece muchísimo al símbolo de la integral indefinida. 00:23:20
Tenemos el símbolo de la integral, f de x, diferencial de x, igual que en el caso de la integral indefinida. 00:23:24
Lo único que en este caso tenemos arriba y abajo del símbolo de la integral, este valor real a y este valor real b, 00:23:31
que son los límites del intervalo de la base en la cual estamos calculando el área. 00:23:39
Este símbolo se lee integral entre a y b, o en algunas ocasiones desde a hasta b, de f de x diferencial de x. 00:23:45
La lectura es la misma que en el caso del símbolo de la integral indefinida, haciendo hincapié en desde a hasta b, o bien entre a y b. 00:23:54
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:24:02
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:24:11
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:24:16
Un saludo y hasta pronto. 00:24:21
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
10
Fecha:
10 de diciembre de 2024 - 12:08
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
24′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
58.42 MBytes

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