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FU1. 3.4 Cociente de funciones. Ejercicio 11 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos el cociente de funciones. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar el cociente de funciones. En este caso, dadas dos funciones 00:00:40
reales de variable real f y g, se define la función cociente f dividido entre g como 00:00:52
aquella que hace corresponder a los valores de x que pertenecen a la intersección de 00:00:58
los dominios de f y de g, excluyendo los ceros de g de x, los ceros del denominador del cociente 00:01:03
f dividido entre g, una imagen que se va a calcular como el cociente de las imágenes 00:01:10
de x a través de f y de g. Fijaos en que esta definición del dominio, aunque parezca 00:01:16
compleja, tiene todo el sentido. En primer lugar necesitamos partir de la intersección 00:01:22
de los dominios de f y de g. Fijaos en que necesariamente debe existir la imagen f de 00:01:27
x y g de x para poder calcular este cociente. Así pues, los valores de x deben en principio 00:01:33
pertenecer a la intersección de los dos dominios. Pero aún más, en un cociente no podemos 00:01:38
dividir entre 0, de tal forma que de los valores de x pertenecientes tanto al dominio de f como de g 00:01:44
debemos excluir aquellos valores de x del dominio de g que hagan que g de x sea 0, puesto que aunque 00:01:50
existiera f de x y g de x, el cociente f de x entre g de x no estaría bien definido. Para ver cómo 00:01:58
funciona vamos a resolver este ejercicio que tenemos como ejemplo. Se nos dice que tenemos 00:02:06
las funciones reales de variables real f de x igual a 1 entre x menos 2 y g de x igual a x al 00:02:10
cuadrado menos 1 y se nos pide que determinemos las funciones f dividido entre g de x, g dividido 00:02:16
entre f de x y los dominios de ambas. Vamos a comenzar por f dividido entre g. Lo que vamos 00:02:23
a hacer es determinar la expresión algebraica de esta función sin más que dividir algebraicamente 00:02:30
las expresiones de f y de g. Y aquí tenemos para f 1 entre x menos 2 dividido entre x al cuadrado 00:02:35
menos 1. Si realizamos esta división de fracciones algebraicas obtenemos para f dividido entre g la 00:02:43
expresión 1 entre x al cubo menos 2x cuadrado menos x más 2. Una función racional. Fijaos que el 00:02:51
dominio de f de x es toda la recta real excepto el 2. Se trata de una función racional. Debemos 00:02:59
a excluir el cero del denominador. Y en cuanto al dominio de g de x, el dominio se trata de toda 00:03:04
la recta real, puesto que es una función polinómica. Y lo que vamos a hacer es determinar, utilizando 00:03:11
la definición que hemos visto hace un momento, el dominio de f partido por g como la intersección 00:03:16
de los dos dominios, excluyendo los valores de x pertenecientes al dominio de g, la función que 00:03:21
tenemos en el denominador, que hacen que g de x sea cero, o sea, excluyendo los ceros del denominador. 00:03:27
La intersección de los dominios de f y de g es toda la recta real excepto el 2, 00:03:34
puesto que tenemos que hacer la intersección de ese conjunto y toda la recta real. 00:03:40
Lo tenemos aquí, toda la recta real excepto el número 2. 00:03:43
También hemos de excluir los valores de x del dominio de g que hacen que g de x sea 0. 00:03:47
En este caso debemos excluir los valores de x pertenecientes a la recta real, que es el dominio de g, 00:03:52
que hacen que g de x sea 0, o sea que x al cuadrado menos 1 sea 0. 00:03:59
La solución de esta ecuación es x igual a 1 y x igual a menos 1. 00:04:03
Así pues, a la intersección de los dos dominios tenemos que excluirle a su vez los valores de x menos 1 y más 1. 00:04:09
Eso es lo que tenemos aquí. 00:04:16
Recta real menos el número 2, la intersección de los dominios de f de g, menos menos 1 y 1, 00:04:18
que son los valores de x pertenecientes al dominio de g que hacen que g de x sea 0. 00:04:25
así pues el dominio de la función f dividido entre g va a ser toda la recta real excluyendo 00:04:29
menos 1, 1 y 2 y fijaos en que esto tiene sentido la función f dividido entre g de x es una función 00:04:35
racional su dominio en principio será toda la recta real excepto los ceros del denominador y 00:04:43
estos son precisamente los valores menos 1, 1 y 2 en el caso de la función g entre f de x vamos a 00:04:49
operar de forma análoga. Vamos a dividir de forma algebraica la expresión de g de x entre la 00:04:58
expresión de f de x. Volvemos a hacer la división de fracciones algebraicas y en este caso lo que 00:05:05
obtenemos es una fracción algebraica cuyo denominador es una constante, así que lo que 00:05:11
obtenemos en realidad es una función polinómica. x al cubo menos 2x cuadrado menos x más 2. Para 00:05:15
determinar el dominio de g partido por f vamos a operar de forma análoga como hicimos anteriormente. 00:05:23
vamos a utilizar la definición. Vamos a determinar ese dominio como la intersección de los dominios 00:05:27
de g y de f excluyendo los valores de x, en este caso pertenecientes al dominio de f, que es la 00:05:33
función que tenemos en el denominador, que hacen que ese denominador f de x sea igual a cero. La 00:05:39
intersección de los dominios de g y f, ya hemos discutido anteriormente, es toda la recta real 00:05:44
excluyendo el número 2 y en este caso vamos a excluir los valores de x pertenecientes al dominio 00:05:49
de f, que será toda la recta real excluyendo el 2, que hacen que el denominador f de x, 00:05:56
1 entre x menos 2, se haga 0. Lo que nos va a quedar no tiene solución. 1 entre x menos 00:06:02
2 no va a ser igual a 0 nunca. De tal forma que a la intersección de los dos dominios 00:06:09
deberíamos excluirle el conjunto vacío. Y lo que nos va a quedar como dominio de g 00:06:15
partido por f de x es toda la recta real excluyendo el número 2. Y vamos a comprobar que obtenemos un 00:06:19
resultado llamativo y matemáticamente relevante. Fijaos en que si yo voy a la definición de la 00:06:27
función g partido por f de x, una vez hemos operado obtenemos una función polinómica y en principio 00:06:33
las funciones polinómicas van a estar bien definidas para cualquier valor de x perteneciente 00:06:40
a la recta real incluyendo el número 2. De hecho yo podría calcular la imagen de esta función con 00:06:45
el número 2. 2 al cubo menos 2 por 2 al cuadrado menos 2 más 2 tiene un valor real. Esta función 00:06:51
estaría bien definida para el valor x igual a 2. No obstante no debemos perder de vista que esta 00:06:57
función se ha obtenido a partir del cociente de dos funciones f y g y no tiene sentido utilizar 00:07:04
para esta función el valor de la variable independiente x igual a 2 puesto que no está 00:07:11
bien definido f de x en la definición de la propia función cociente g de x partido por f de x. Este es 00:07:17
un ejemplo en donde hemos de diferenciar lo que se denomina dominio natural de la función del 00:07:24
dominio real de la función. Esta función que tenemos aquí es una función polinómica y de 00:07:30
forma natural su dominio sería toda la recta real. No obstante, puesto que en realidad se define a 00:07:35
partir de este cociente, su dominio real es toda la recta real excluyendo el número 2. El polinomio 00:07:42
existe, tiene una imagen, toma una imagen cuando x es igual a 2, pero si tenemos en cuenta cuál es la 00:07:49
definición de esta función, g partido por f de x, no tiene sentido que preguntemos por la imagen de 00:07:54
la función cociente cuando x vale 2, puesto que el denominador es 0 y no está definida la 00:07:59
división entre cero. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos 00:08:05
y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No 00:08:14
dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:20
Un saludo y hasta pronto. 00:08:26
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
16 de noviembre de 2025 - 14:24
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′ 54″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
21.60 MBytes

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