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Teorema de Pitágoras (Perigal)

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Subido el 15 de noviembre de 2020 por Pablo Jesus T.

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En este vídeo vamos a hacer uno de los 600 métodos de la demostración del teorema de Pitágoras 00:00:13
utilizando el método de Perigal. 00:00:21
Así que vamos a trabajar aquí. 00:00:25
Podemos, si queremos, quitar tanto los ejes como la cuadrícula. 00:00:28
Y vamos a empezar haciendo un triángulo rectángulo. 00:00:33
recordáis que ya hicimos un triángulo rectángulo haciéndolo semiscrito o escrito perdón en una 00:00:35
semicircunferencia hoy lo vamos a hacer de otra manera como la herramienta recta y hacemos dos 00:00:43
puntos a y b ahora lo que vamos a hacer es coger la herramienta perpendicular y vamos a hacer el 00:00:52
que pase por el punto A, y como podéis ver, pues ya tenemos que aquí podremos hacer un triángulo rectángulo. 00:01:01
No ha sido tan matemático como escribiendo en una semicircunferencia, 00:01:10
pero así también podemos hacer triángulos rectángulos. 00:01:16
Lo que vamos a hacer ahora es un truco, porque a mí me va a interesar por cómo funciona después la demostración, 00:01:20
que a ver sea siempre el cateto largo y por tanto voy a coger la herramienta circunferencia centro 00:01:27
punto y hago esta circunferencia porque voy a hacer que el punto c esté obligado a moverse 00:01:33
como la herramienta punto intersección marcamos esta intersección este punto c y ahora cogemos 00:01:44
la herramienta podemos ocultar para que no nos estorbe la herramienta circunferencia 00:01:52
y cogemos la herramienta punto bueno primero la herramienta segmento que todavía no lo hemos hecho 00:02:00
un poco loco 00:02:11
la circunferencia 00:02:12
cogemos la herramienta segment 00:02:16
y unimos 00:02:18
desde A hasta C 00:02:20
podemos ocultar 00:02:22
también ahora ya la perpendicular 00:02:24
como veis pues tenemos ahí 00:02:25
el segmento H y lo que vamos a hacer 00:02:28
es coger 00:02:30
la herramienta punto y pintar 00:02:32
un punto 00:02:34
en ese segmento 00:02:35
es decir este punto D 00:02:38
está obligado a moverse 00:02:39
como veis en este segmento 00:02:41
por tanto, aunque yo puedo mover A o B 00:02:45
lo he hecho al revés, pero da igual 00:02:48
el triángulo siempre será rectángulo 00:02:50
pero además el cateto largo siempre será 00:02:54
antes de seguir voy a renombrar el punto de AC 00:02:56
fijaros, cuando doy botón derecho 00:03:01
renombrar y digo que se llame C 00:03:04
lo que hace es que como hay otro objeto que ya se llama C 00:03:07
Pero es del mismo tipo, por lo recuerdo, para luego, pues resulta que el otro le ha llamado de otra manera. 00:03:10
Como no nos interesa, también lo vamos a ocultar y ya vamos a ocultar también la primera recta de todas, 00:03:18
pues ya estamos listos para construir nuestro triángulo rectángulo. 00:03:25
Cogemos la herramienta polígono, A, B, C, A. 00:03:31
Bueno, habéis visto que este segmento no le ha llamado C porque ya existe también un segmento C, 00:03:39
pero ya sabemos que no hay ningún problema en renombrar el segmento C1 a C. 00:03:46
Y así los tenemos cada uno enfrente. 00:03:56
Vamos a hacer una cosita que es meter dentro los nombres de los segmentos y fuera los nombres de los puntos 00:03:59
porque me va a gustar más 00:04:07
si os dais cuenta también 00:04:10
C está en un color más clarito 00:04:13
porque a fin de cuentas es un punto 00:04:14
derivado, está 00:04:16
obligado a moverse donde hemos dicho 00:04:18
pero podemos coger la herramienta 00:04:20
copiar estilo visual 00:04:23
pinchar en A 00:04:24
y luego en C 00:04:26
y ya, cuidado de dejar 00:04:27
esto así 00:04:31
porque si no después podemos pegarlo donde no queremos 00:04:31
ya tenemos los tres puntos 00:04:35
exactamente en el mismo 00:04:36
color 00:04:39
bueno, ahora lo que vamos a hacer 00:04:40
es, ya que vamos a demostrar 00:04:45
el término de Pitágoras, construir 00:04:46
los cuadrados sobre los catetos 00:04:48
ponemos la herramienta 00:04:51
polígono regular 00:04:53
y vamos a empezar por el más sencillo 00:04:53
recordad siempre 00:04:57
que va a dibujar el cuadrado 00:04:58
en sentido antihorario 00:05:01
sobre la hipotenusa es el más sencillo 00:05:02
cuatro vértices 00:05:05
lo pone él y ya tengo 00:05:07
nuestro polígono 1 00:05:09
ahora para hacerle sobre el cateto corto 00:05:10
sobre B, pues fijaros 00:05:13
si yo hiciera PA 00:05:15
estaría haciendo sentido horario 00:05:17
lo pintaría mal 00:05:19
lo que hay que hacer es AC 00:05:20
y el último, pues lo mismo 00:05:23
si yo hiciera B, sería sentido horario 00:05:27
está claro que tengo que hacerlo 00:05:29
BA, si os equivocáis tampoco pasa 00:05:31
nada porque podéis dar para atrás y pinchar 00:05:33
al revés, bueno pues ya tengo 00:05:35
mis tres cuadrados 00:05:37
Ya puedo ver el teorema de Pitágoras. Incluso podría coger la herramienta Área. Está aquí, la herramienta Área. Si yo pincho sobre el polígono 1, el polígono 2 y el polígono 3, pues ahí tenemos una demostración numérica, no es una demostración, una comprobación del teorema de Pitágoras. 00:05:39
Podéis cambiar, mover los puntos A, B y C y los chicos comprobarían que la suma siempre es, la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. 00:06:04
Si a veces no da exactamente lo mismo es por el número de decimales. Si algún alumno se pone nervioso por eso, pues podría recordar que podemos ir aquí a configuración, propiedades, y aquí en vez de dos cifras decimales, pues poner las que queramos. 00:06:22
y entonces ya no podrán poner pegas de que no da exactamente lo mismo, ¿vale? 00:06:37
No lo cambiamos nosotros y lo dejamos así. 00:06:44
También podría ser esta construcción un buen momento para demostrar la generalización del teorema de Pitágoras con Geogebra, 00:06:48
de forma que aunque en vez de cuadrados hubiera construido pentágonos o semicircunferencias o triángulos, 00:06:55
lo cual también me serviría para el teorema de Napoleón, vamos enlazando cosas, 00:07:03
Pues resulta que se cumpliría que la suma de las figuras construidas sobre los catetos es igual al área de la figura construida sobre la hipotecusa. 00:07:07
Bueno, vamos a borrar estos tres textos porque recordad que si hago, selecciono, doy la tecla mayúsculas y selecciono abajo, tengo los tres. 00:07:19
No los quiero y los he borrado, no me interesaban. 00:07:30
también si os queréis quedar con ellos para algo pues los podríais haber ocultado simplemente vale 00:07:33
bueno ahora lo que vamos a hacer es trazar los puntos medios de cada polígono primero 00:07:40
dejadme perdonar que haga el polígono 3 el primero que es con el que voy a trabajar 00:07:56
el segundo y la hipotenusa, el tercero, J, K, L. 00:08:05
Muy bien. 00:08:09
Podría haberlo hecho al revés, 00:08:11
simplemente que las instrucciones que he puesto 00:08:12
llamaba J, luego en nuestro chuletario 00:08:15
llamaba J, el que nos interesa. 00:08:18
Bien, vamos a seguir. 00:08:21
Cogemos la herramienta paralela 00:08:23
y vamos a pinchar sobre la hipotenusa 00:08:24
y sobre J. 00:08:28
Hemos traído una paralela. 00:08:32
Y ahora vamos a coger la perpendicular y vamos a trazar una perpendicular a esta que pase por J también. 00:08:34
Y por si no lo veis, la demostración del teorema de Pitágoras por Perigal, pues ya está hecha. 00:08:43
Simplemente lo que hemos hecho ha sido dividir el cuadrado sobre el cateto largo en cuatro trapecios, 00:08:52
que irán cada uno a una esquina 00:08:58
por empezar por aquí 00:09:03
este se colocará aquí 00:09:05
este se colocará arriba 00:09:07
sentido anterario 00:09:10
este hacia D 00:09:11
y este hacia B 00:09:12
con unas simples traslaciones 00:09:14
y dejarán hueco en medio 00:09:17
para este cuadrado sobre el cateto corto 00:09:19
y ya lo tendríamos 00:09:23
Vamos a hacer unos pequeños cambios en los dibujos para que se vean mejor las cosas. 00:09:25
Vamos a elegir el triángulo 1, que es nuestro triángulo original. 00:09:40
vamos a dar propiedades 00:09:45
le vamos a poner en color negro 00:09:49
y una opacidad un poco más grande 00:09:52
hasta que os guste 00:09:55
no es necesario elegir una u otra 00:09:57
y vamos a coger nuestros tres polígonos 00:10:00
pol 2 con la tecla control 00:10:04
pol 3 y con la tecla 00:10:07
perdonad, pol 2 con la tecla control 00:10:09
pol 3 y con la tecla control 00:10:13
debería estar por aquí 00:10:17
pol 1 00:10:19
pol 1, pol 2 y pol 3 00:10:21
los vamos a poner en negro 00:10:24
también y aquí 00:10:25
lo que vamos a hacer 00:10:27
es que 00:10:29
no sé por qué hay algo más seleccionado 00:10:32
pol 1 si no 00:10:35
le vamos a quitar la opacidad 00:10:37
al seleccionar los polígonos 00:10:40
ha seleccionado también los segmentos por eso ha quitado la capacidad por cierto nuestro triángulo 00:10:42
original le podemos poner también estilo sobre el trazo un poco más fuertes si queremos vamos 00:10:49
que todo esto es opcional y podéis los colores que vosotros queráis simplemente es para 00:10:56
tenerlo preparado 00:11:03
bueno, ahora lo que vamos a hacer 00:11:06
pues dibujar 00:11:11
los cortes 00:11:12
de estas dos rectas que teníamos 00:11:14
antes 00:11:16
intersección 00:11:17
vamos a ir en sentido anterior 00:11:20
y P 00:11:27
y estos cuatro puntos ya sí que nos permiten 00:11:28
construir los trapezoides 00:11:32
como la herramienta polígono 00:11:34
y partiendo de J 00:11:36
Barcelona, María, J 00:11:39
ya tengo uno de los 00:11:42
trapezoides 00:11:45
voy a ir construyendo los otros cuatro 00:11:47
los otros tres realmente 00:11:50
con la herramienta polígono siempre 00:11:53
y bueno, partiendo de J siempre 00:12:01
pero es lo de menos. Muy bien, ahora lo que vamos a hacer es seleccionar desde C1 hasta P2 con la tecla mayúscula expulsada 00:12:05
y veis que pone como que ya no hubiera etiqueta, esto es porque algunos objetos no tienen etiqueta, los trapezoides, 00:12:20
pero le marcamos, ya pone todas las etiquetas 00:12:28
y ahora quita todas las etiquetas 00:12:30
y tenemos nuestros cuatro trapezoides ahí dibujados 00:12:33
nos falta la quinta pieza que es este cuadrado 00:12:37
así que cogemos la herramienta polígono 00:12:41
y cogemos también 00:12:44
pues esta pieza que va a ser el otro cuadrado 00:12:46
como veis ya que lo hemos limpiado en el otro 00:12:51
pues aquí también la pieza C5 00:12:54
que las ha llamado C1, C2, C3, C4 y C5 00:12:57
con la tecla control 00:13:02
seleccionamos todas o con mayúscula 00:13:04
y le quitamos la etiqueta 00:13:07
bueno, pues ya estamos listos 00:13:11
para empezar a mover 00:13:13
y para empezar a mover 00:13:16
pues vamos a utilizar 00:13:18
lo que aprendimos en la clase del martes 00:13:19
como vamos a hacer 5 movimientos 00:13:23
pues vamos a hacer 5 deslizadores 00:13:25
empezamos por definir 00:13:27
número de movimientos 5 00:13:31
ahora fijaros 00:13:33
lo que va a pasar 00:13:35
yo voy a intentar poner t igual a 0 00:13:36
que es como 00:13:39
me gusta mi temporizador 00:13:41
pero cuando le doy enter 00:13:42
me da error al redefinir 00:13:44
eso es porque yo voy a definir 00:13:46
t como un número 00:13:49
y hay un segmento 00:13:50
que se llama t 00:13:53
entonces no puedo utilizar t 00:13:54
Pero si me empeñara en utilizar T, que evidentemente es lo que vamos a hacer, no porque sea importante que se llame T, sino para que aprendáis esto que vamos a hacer, sería buscar el segmento T. 00:13:57
Pero el segmento T, si nosotros le buscamos aquí, puede ser que ni le encontremos porque esté como elemento auxiliar. 00:14:09
si pinchamos en propiedades 00:14:19
da igual de que cosa sea 00:14:22
pinchamos en este icono 00:14:24
podemos hacer que se vean 00:14:26
los objetos auxiliares 00:14:28
¿vale? 00:14:29
ahora ya que se ven todos los 00:14:32
objetos, sí que debería 00:14:36
haber uno que se llamara T 00:14:38
si tardáramos en encontrarlo 00:14:39
mira, ya lo he encontrado 00:14:42
era el HI del polígono 3 00:14:43
si tardáramos en encontrarlo 00:14:45
pues aquí también podemos hacer que los ponga, perdón, aquí por tipo de objeto, 00:14:47
ahora lo tenemos en orden de construcción. 00:14:54
Pero bueno, como ya lo hemos localizado, pues le damos renombrar y le llamamos TTT. 00:14:57
Eso no influye para nada, porque ahora vamos a hacer que se vuelvan a quitar los objetos, 00:15:07
bueno, antes de hacer que se quiten los objetos auxiliares, como es el único segmento que está viéndose, se nos ha olvidado que era del polígono 3. 00:15:12
¿Dónde está el polígono 3? Sí que los hemos debido a eso. 00:15:27
Hay que volver a buscar TTT en el polígono 3. 00:15:33
le damos botón derecho o etiqueta visible 00:15:46
y si, yo quitaría desde luego 00:15:52
los objetos auxiliares que nos estorban un montón 00:15:55
de hecho, podemos definir otras cosas como objetos auxiliares para que se quiten 00:15:59
bueno, pues ya tengo listo para poder utilizar 00:16:03
T, entonces pongo T igual a 0 00:16:07
recordad que ahora en propiedades 00:16:10
o que ese deslizador 00:16:16
se mueva entre 0 enter 00:16:18
hasta 5 enter 00:16:20
0.1 enter 00:16:21
que 00:16:24
esto es el problema porque 00:16:25
algunos quieren trabajar 00:16:30
algebra 5 00:16:31
esto no se vaya así 00:16:33
bueno, os decía 00:16:36
en el deslizador podemos poner 00:16:36
5 o en emob 00:16:40
sería más adecuado 00:16:42
y bueno, aquí sí que 00:16:43
lo vamos a dejar como oscilante, no como el mar 00:16:46
y ya tenemos 00:16:48
la variable t 00:16:51
que nos va a servir 00:16:55
ahora vamos a ir un momentito 00:16:55
a nuestro chuletario 00:16:59
a coger 00:17:01
el comando 00:17:02
este 00:17:04
donde va a crear las 5 00:17:05
le damos a algebra 00:17:08
le damos control v 00:17:15
bien, recordad que esto 00:17:18
lo que nos hacía 00:17:20
es una trampa, una lista con 5 deslizadores 00:17:21
que cuando yo digo que se mueva T 00:17:28
pues veis que el primero avanza hasta 1 00:17:31
luego avanza el segundo, luego avanza el tercero 00:17:33
luego avanza el cuarto y luego avanza el quinto 00:17:36
luego lo podéis mirar en el vídeo 00:17:38
en el fichero adjunto el código 00:17:41
para que lo entendáis 00:17:46
pero ya lo explicamos en la clase del martes 00:17:47
muy bien pues ahora lo que voy a hacer es como vimos también el martes pues trasladar 00:17:51
los trapezoides para eso necesito vectores vectores que me permitan como voy a definir 00:18:01
la traslación 00:18:08
este 00:18:09
vector 00:18:12
va a ir a 00:18:13
al punto C 00:18:15
vamos a ir a todos 00:18:17
o sea que realmente 00:18:22
lo que hay que hacer 00:18:23
estoy yendo en sentido antihorario por ir 00:18:26
pero vamos que 00:18:28
hay que ir a todos los vértices desde J 00:18:30
y uno 00:18:32
desde K hasta L que va a mover 00:18:33
este, ya tengo mis 00:18:36
vectores, sería lo suyo que le renombráramos 00:18:38
entonces aquí podemos llamarle u1 00:18:41
evitarlo de poner subrayados porque queda 00:18:44
más bonito, pero luego a la hora de renombrarlo 00:18:47
es más complicado, entonces le llamamos u1 00:18:50
ya que los hemos definido en sentido 00:18:53
antihorario, pues no tenemos ningún problema 00:18:56
u2 para ir en orden 00:18:58
renombrar u3 00:19:00
renombrar u4 00:19:04
y finalmente renombrar U5 00:19:10
esto nos va a permitir simplemente que luego la orden 00:19:15
sea más sencilla de escribir porque podremos usar, copiar y pegar 00:19:19
bien, recordar que las piezas 00:19:24
se llamaban C1, C2, C3, C4 y C5 00:19:28
si no las podríamos haber cambiado a trapezoide 00:19:31
y ahora nos volvemos a ir 00:19:36
a nuestro chuletario 00:19:39
y cogemos esta orden 00:19:43
por cierto, esta orden en realidad en vez de trapezoide 00:19:47
al final nos vamos a quedar con lo de C1 00:19:50
así que copiamos 00:19:53
control C 00:19:57
nos volvemos a ir a nuestro geogebra 00:19:58
y le damos control V 00:20:01
bueno, pues ya veis que esto 00:20:05
C1 nos dice que es un argumento 00:20:08
ilegal 00:20:13
porque lo hemos puesto con mayúsculas 00:20:14
vamos a poner C1 00:20:18
como veis ya nos hace este polígono 00:20:20
simplemente 00:20:24
le damos enter y ya tenemos la primera pieza 00:20:26
le volvemos a dar enter 00:20:30
con cuidado de acordaros la C minúscula 00:20:33
C2, U2 y mid 2, volvemos a dar control V y ahora vamos a poner 3, C3, U3, mid 3, control V, C4, 00:20:37
siempre podéis 00:21:10
si pasa algo que no es lo que queréis 00:21:13
ir hacia atrás 00:21:15
y mid 4 00:21:17
ahí 00:21:18
lo hemos hecho mal 00:21:22
una coma nos hemos 00:21:25
el número 4 00:21:30
nos dice que está mal 00:21:40
no es un número 00:21:41
es un vector 00:21:45
nos llamamos al vector bien 00:21:46
un 4 00:21:49
a mirar, le pusimos 00:21:49
su rayado, fijaros 00:21:52
que curioso 00:21:54
vamos a empezar por borrar 00:21:55
esto 00:21:58
y les dije 00:22:00
pero le pegamos 00:22:04
tengo mucha manía 00:22:05
y vamos a ver 00:22:09
ahora 00:22:14
venga 00:22:15
Control-V, C4, U4, M4, y finalmente Control-V, pues C5, U5, M5. 00:22:17
Bien, vale, pues ya tenemos nuestras cinco piezas, ya tenemos nuestros vectores y aunque no lo creáis, ahora ya solamente es cuestión de moverte y ahí tenemos nuestra demostración por el método de Perigal, ¿vale? 00:22:41
Bueno, esto evidentemente lo tenemos que hacer mucho más bonito. Vamos a empezar por el C1, polígono, C2, con la tecla control, C2, no, esta era una circunferencia. 00:23:12
O el 1 no era, lo que queremos son los trapezoides, C1, minúscula, C2, ahora sí que lo estoy cogiendo bien, C3, C4 y C5, pues los vamos a ocultar, porque lo que queremos es que vean los que traslada, ¿vale? 00:23:34
También vamos a ocultar los vectores, los tenemos aquí, bueno aquí como ni siquiera, solo voy a ir pinchando en los circulitos, podríamos ocultar ya todos los puntos excepto A, B y C, a ver donde tenemos puntos, las mayúsculas, J, K, L, estas dos rectas, 00:24:04
Perpendicular, los puntos, intersecciones, a ver qué más podemos ocultar, bueno, ya los tenemos, ahora podríamos ocultar, eso sí, todos los puntos estos, 00:24:41
donde están estos cuatro puntos, que no se vea la etiqueta, en realidad que no se vea el punto 00:25:03
a ver si no nos equivocamos, otros cuatro puntos y otros cuatro puntos 00:25:20
fijaros que lo que ha hecho en realidad es por detrás hacer que no se vean los puntos 00:25:35
O sea, que traslade los puntos, perdón. A ver, aquí yo creo otros tres puntos. Hay un H' por ahí. Bueno, tenemos un H', un F', el D, el E. 00:25:47
Bueno, algunos de estos puntos, como podéis imaginar, ya estarán en la lista de objetos auxiliares. 00:26:14
Vamos a hacer que nos los ponga por tipo de objeto. 00:26:26
Fijaros que he estado haciendo esto, pero como los puntos que quiero que vean solo son A, B y C, 00:26:30
podría irme aquí 00:26:36
a puntos y ya 00:26:39
todos estos 00:26:41
los puedo ir haciendo 00:26:42
clic y me ahorro 00:26:45
tenerlos que buscar en el orden 00:26:47
de la construcción 00:26:49
así que solo 00:26:50
quedan a ver 00:26:53
tampoco hay ningún segmento 00:26:54
tenemos el 00:26:57
numerito aquí arriba 00:26:59
queda 00:27:00
perfecto, por 1, por 2 00:27:03
y por 3 00:27:05
yo creo que ya también podemos 00:27:06
ocultar sus etiquetas 00:27:08
todo esto es un poco pesado 00:27:11
y ahora bueno, pues vamos a poner colores 00:27:14
vamos a poner colores 00:27:16
los trapecios 00:27:18
por empezar por algún sitio 00:27:20
los cuadriláteros, buscamos donde viene 00:27:24
cuadriláteros, arriba 00:27:26
conicalista 00:27:27
polígono, aquí está, cuadriláteros 00:27:30
bueno, pues 00:27:32
son C1 prima 00:27:34
C2' C3' tenemos aquí, facilísimo, le ponemos en color rojo más o menos a mitad de opacidad y sin ningún grosor del trazo, en C2 lo ponemos en azul hasta la mitad de opacidad más o menos, ningún grosor del trazo, 00:27:36
C3 lo ponemos ningún grosor del trazo 00:27:59
vacía hasta la mitad 00:28:02
en verde, por ejemplo 00:28:04
y C4 00:28:07
pues lo ponemos, por ejemplo, en amarillo 00:28:10
¿vale? y finalmente el C5 00:28:13
le podemos poner en morado 00:28:19
y sin ningún grosor 00:28:21
bueno, pues todo esto 00:28:25
para que cuando yo mueva T 00:28:28
pues 00:28:30
haga este efecto 00:28:33
y se vea perfectamente 00:28:34
que ese T es el A 00:28:37
también, ya hemos terminado 00:28:39
pues podemos ver 00:28:41
que aunque yo mueva B 00:28:43
mueva A 00:28:45
o mueva C 00:28:47
pues 00:28:48
la construcción no tiene 00:28:50
ningún problema y se 00:28:53
realiza correctamente 00:28:55
así que bueno 00:28:57
Espero que os haya gustado porque es una construcción bastante chula y bastante sencilla de hacer la parte matemática. 00:28:59
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
185
Fecha:
15 de noviembre de 2020 - 18:04
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
29′ 12″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
99.45 MBytes

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