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Factorización de Polinomios - Contenido educativo
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Factorización de polinomios sacando factor común e identificando con identidades notables.
Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio.
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Haya mentalmente, sin operar, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de polinomios.
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Bien, tenemos que recordar cuáles son las reglas para factorizar.
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Lo primero que hacíamos cuando queríamos factorizar era comprobar si podíamos sacar factor común.
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Una vez que teníamos esto visto, entonces nos fijábamos en el grado.
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Si el grado era mayor o igual que 3, utilizábamos para la factorización el método de Ruffini.
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Acordaos que teníamos que usar el criterio de divisibilidad.
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que me decía que si el polinomio era mónico, las raíces del polinomio, las raíces enteras del polinomio,
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que son las únicas que vamos a poder calcular con este método, estarían entre los divisores del término independiente.
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Si el grado, una vez que el grado coincidiese con 2, entonces podríamos hacer dos cosas.
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Bien, podíamos utilizar las identidades notables o si no encontrábamos ninguna similitud con identidades notables,
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entonces no nos quedaba más remedio que resolver la ecuación asociada mediante la fórmula de resolución de una ecuación de segundo pleno.
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Esta va a ser la manera de hacerlo, pero en este ejercicio nos piden que lo hagamos mentalmente.
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Al decirnos que no usemos operaciones, lo que nos están pidiendo es que usemos simplemente estas dos opciones.
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Sacar factor común e identificar con identidades notables.
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¿De acuerdo?
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Vamos a repasar las identidades notables.
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Recordamos las identidades notables.
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Tenemos el cuadrado de la suma, el cuadrado de la resta y la suma por diferencia.
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Lo que va a ocurrir en este ejercicio es que lo que yo me voy a encontrar va a ser esta parte de la igualdad,
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la parte en la que la identidad notable está desarrollada en sumas de términos.
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Y lo que voy a tener que hacer de manera mental es, identificando término a término,
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decidir con cuál de las expresiones en productos me quedo.
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Esa va a ser la idea.
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Tenemos toda la información en nuestra pizarra y con toda esta información vamos a ver cómo resolvemos el primero.
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En el A tenemos que P de X es X al cuadrado menos 1 y Q de X es X más 1 al cuadrado.
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PDX, lo miro, primer punto, ¿puedo sacar factor común?
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Pues aquí no hay nada que se repita en los dos sumandos
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Fijaos, os marco los sumandos
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Este es un sumando y este es otro sumando
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Y no hay nada que se repita
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Bueno, sí, el 1, pero el 1 no aporta nada
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Así que no puedo sacar factor común
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Ahora, voy a identificar con identidades notables
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Ya sé que tengo que mirar en el segundo miembro
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Y en el segundo miembro me encuentro que en el primer caso hay tres términos
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En el segundo caso hay tres términos y solo en el último caso hay dos términos
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Este sería el que más se ajustase al ejemplo que yo tengo
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Y efectivamente lo que yo veo aquí es una diferencia de cuadrados
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x cuadrado es, mirad, os lo voy a hacer aquí aparte para que veáis cómo va
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Mirad, yo tengo a cuadrado menos b cuadrado y lo quiero comparar con x cuadrado menos 1
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Entonces, ¿qué es lo que, cuál es mi hipótesis?
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Hombre, mi hipótesis es que a cuadrado es x cuadrado y que b cuadrado es 1
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Tened en cuenta una cosa muy importante que a veces se nos olvida
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Y es que A y B tienen que ser positivos
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Por lo tanto B cuadrado tiene que ser el 1
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Bien, ¿qué es lo que voy a concluir aplicando raíces y teniendo en cuenta que A y B tienen que ser positivos?
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Afirmo que A es X y afirmo que B es de las dos raíces, la positiva y la negativa
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Me quedo con la positiva
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Así las cosas, lo que me va a quedar es que voy a poder factorizar este polinomio
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haciendo x más 1 por x menos 1, ¿de acuerdo?
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En el siguiente caso ya lo tengo factorizado porque ya tengo polinomio irreducible elevado al cuadrado.
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Así que si lo queréis ver más claro tendría x más 1 por x más 1, ¿de acuerdo?
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Ya tengo pues factorizados los dos polinomios y ahora vamos a calcular quién es el mínimo común múltiplo,
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que serán los factores comunes x más 1 y no comunes x menos 1 elevados al mayor exponente con que aparece.
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Este sería el mínimo común múltiplo.
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Esta parte tiene que aparecer luego, si queréis lo podéis operar, pero no es necesario.
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El máximo común divisor me quedará p de x, q de x y serán sólo comunes al menor exponente.
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Ya estaría, ¿de acuerdo?
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Vamos entonces con el segundo apartado.
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p de x me dicen que es x al cuadrado más x y q de x me dicen que es x al cuadrado menos x.
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Son polinomios de segundo grado, quiero factorizarlos.
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El primer punto es sacar factor común y efectivamente puedo sacar factor común.
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Hay una x que se repite en los dos.
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Así que este primer término, si le divido entre x, me queda una x.
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Y el segundo término, al dividirle entre x, me queda uno.
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Operando de igual manera en el segundo polinomio, me queda x menos uno.
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Así que el mínimo común múltiplo de ambos polinomios, p de x, q de x, será comunes y no comunes al mayor exponente.
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Todos están con exponente 1.
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Fijaos, hacer esta cuenta es muy fácil porque suma por diferencia, diferencia de cuadrados.
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Y ahora me quedaría x al cubo menos x.
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El máximo con un divisor me va a quedar solo comunes al menor exponente
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Eso hace que me quede solamente con la x
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¿De acuerdo?
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Mi polinomio primero es x al cubo menos x
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Y el segundo de x es x al cuadrado menos 1
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Bueno, este ya no lo sabemos, es x más 1 por x menos 1
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y aquí efectivamente puedo sacar factor común a x al cuadrado menos 1.
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Así que la descomposición en producto de polinomios irreducibles
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identificando x al cuadrado menos 1 con identidades notables me va a quedar así.
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Así que el mínimo común múltiplo será comunes x más 1 por x menos 1
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y no comunes al mayor exponente.
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Esto lo hemos hecho antes y nos quedaba x al cubo menos x.
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Además, coincide exactamente con p de x.
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Máximo común divisor, p de x y de q de x,
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solo comunes al menor.
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x más 1 por x menos 1, quedándome x cuadrado menos 1.
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Y por último, vamos con el d.
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que p de x es x al cuadrado más 1 y q de x que es x al cuadrado.
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Bien, q de x no se puede factorizar porque ya está factorizado.
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Y x al cuadrado más 1, este polinomio no le puedo sacar factor común
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y este polinomio p de x no lo puedo identificar con identidades notables.
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Tiene dos términos, pero no es una resta de cuadrados, así que no se puede.
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Tendría que resolver la ecuación asociada, pero fijaos, la ecuación asociada sería la siguiente,
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x cuadrado más 1 igual a 0, así que x cuadrado tendría que ser igual a menos 1, pero eso es imposible.
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Así que no es imposible porque no hay ningún cuadrado cuyo resultado sea negativo.
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Debido a la regla de los signos al multiplicar
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Así que no tiene raíces, es un polinomio irreducible
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¿De acuerdo?
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Así que el máximo, el mínimo común múltiplo de p de x y q de x
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Será el producto de ambos
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x cuadrado por x cuadrado más 1
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Esto me quedará x a la cuarta más x al cuadrado
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y el máximo común divisor no tiene ningún divisor, no tiene ningún polinomio irreducible común.
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Así que, como siempre, cuando no hay divisores comunes, solo nos queda el que nunca falla, el 1.
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Bueno, pues hasta aquí el ejercicio 4.
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- Autor/es:
- Yolanda A.
- Subido por:
- Yolanda A.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 70
- Fecha:
- 12 de diciembre de 2020 - 12:10
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES MATEO ALEMAN
- Duración:
- 11′ 18″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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- Tamaño:
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