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Trigonometría: 46.Tangente - Contenido educativo

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Subido el 3 de diciembre de 2007 por EducaMadrid

1004 visualizaciones

- Representación en detalle de la función tangente y estudio de algunas propiedades. Límite

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En este vídeo vamos a representar gráficamente la función tangente. 00:00:00
Colocamos nuestros ejes, eje X horizontal o eje de acisas y eje vertical, eje Y o eje 00:00:09
de ordenadas, y ya de entrada simplemente ver el número de puntos que colocamos en 00:00:14
el eje X y en el eje Y nos hace ver que hay diferencias con las funciones sen y coseno 00:00:21
que hemos ya representado en unos vídeos anteriores. 00:00:25
Además, lo primero que nos aparece es que hay valores para los que esta función no 00:00:27
existe, ya sabemos porque hemos calculado en unos vídeos anteriores también los valores 00:00:32
de la tangente para los ángulos y nos hemos dado cuenta de que hay valores para los cuales 00:00:40
la tangente no se puede calcular. 00:00:45
Es por tanto una función que no está definida para todo número real, hay valores para los 00:00:47
cuales la tangente no existe y nosotros vamos a colocar unas líneas verticales discontinuas 00:00:52
en los puntos en los cuales no es posible calcular la tangente. 00:00:58
Así no es posible calcular la tangente de pi medio, no es posible calcular la tangente 00:01:03
de tres pi medios, ni la de menos pi medios, ni la de menos tres pi medios, ya serían 00:01:06
los puntos que hemos colocado dentro del intervalo que nosotros hemos puesto en el eje X que 00:01:12
va desde menos seis hasta seis. 00:01:19
Si situamos menos pi, estaría aquí, si situamos pi, estaría aquí. 00:01:22
Vamos a representar la función tangente en uno de los intervalos entre los que podemos 00:01:28
representarla, es decir, puesto que no podemos representarla en todo R, vamos a representarla 00:01:36
en uno de los intervalos y vamos a escoger el intervalo pi medios tres pi medios. 00:01:42
Ese intervalo, ahí, ese intervalo que parpadea, es donde vamos nosotros a representar la función 00:01:47
tangente. 00:01:55
Como hemos hecho anteriormente, en otros casos necesitamos unas tablas que nos vayan ayudando 00:01:58
a hacer el trazado. 00:02:03
Comenzamos poniendo dos pi tercios, dos pi tercios son ciento veinte grados, ya hemos 00:02:06
dicho que vamos a trazarla entre pi medios y tres pi medios, empezamos por dos pi tercios, 00:02:11
la tangente de dos pi tercios es un número que ahora colocaremos, pero lo primero que 00:02:16
vamos a hacer es colocar dos pi tercios en el eje X y el valor de la tangente es menos 00:02:22
raíz de tres, colocamos ahora menos raíz de tres sobre el eje Y, trazamos las líneas 00:02:27
y colocamos el punto. 00:02:32
Vamos ahora a por tres pi cuartos, ponemos tres pi cuartos en el eje X, la tangente de 00:02:35
tres pi cuartos es menos uno, ese sería el valor de la tangente, trazamos las líneas 00:02:41
correspondientes y colocamos el punto. 00:02:47
Vamos a por cinco pi sextos, colocamos el punto, cinco pi sextos, la tangente es menos 00:02:50
raíz de tres partido por tres, ahí estaría, trazamos las líneas, ahí estaría el punto. 00:02:57
Vamos ahora por pi, pi, 180 grados, su tangente es cero, la tangente de pi es cero, colocamos 00:03:03
el punto también y borramos esas líneas para dejar el dibujo más claro, tenemos hasta 00:03:14
ahora colocados cuatro puntos. 00:03:20
Vamos a por siete pi sextos, siete pi sextos está ahí, la tangente es raíz de tres partido 00:03:24
por tres, colocamos el punto en su lugar, trazamos las líneas, ese sería el punto, 00:03:29
vamos ahora por cinco pi cuartos, cinco pi cuartos, la tangente es uno, trazamos las 00:03:36
líneas y ahí estaría el punto y por último en esta tabla vamos a por cuatro pi tercios 00:03:44
cuya tangente es raíz de tres, hemos colocado ya cuatro pi tercios, raíz de tres, trazamos 00:03:50
las líneas, ahí estaría el punto, borramos, hemos trazado todos esos valores, vamos a 00:03:57
colocar algunos más en esta otra tabla, por ejemplo, para menos uno aproximadamente, para 00:04:03
menos uno treinta y siete, ya estamos poniendo solo dos decimales, la tangente de ese número 00:04:11
es, vamos a colocarla, menos cinco, hemos trazado la línea en la representación gráfica, 00:04:16
la línea vertical, esa sería la línea horizontal, por tanto, y ese sería el punto, vamos ahora 00:04:24
por menos uno cuarenta y cinco, esa sería la línea vertical, hay que estar muy cerca 00:04:29
de la anterior, un poquito hacia la izquierda pero muy cerca, la tangente vale menos ocho, 00:04:34
trazamos la línea, ese sería el punto, y vamos ahora por uno treinta y siete cuya tangente 00:04:41
es cinco, hemos trazado las líneas, ahí estaría el punto, y por último, menos uno 00:04:47
cuarenta y cinco, esa es la línea, ocho, quitamos las líneas, nos quedan esos puntos, 00:04:55
todos esos puntos nos dan una idea de por dónde va a ir la gráfica de la función 00:05:03
tangente, de acuerdo, trazamos la gráfica ahora, esa sería la gráfica de la función 00:05:07
tangente, esta función es periódica, igual que la enseñé en el coseno, pero su periodo 00:05:16
es pi, es decir, en el intervalo que nosotros la hemos trazado, ese intervalo tiene una 00:05:23
anchura de pi, y podríamos repetir esta función en los intervalos que también tenemos ahí, 00:05:29
los intervalos anteriores, vamos a hacerlo, en ese intervalo que también mide pi, en 00:05:38
este intervalo que también mide pi, trazamos la gráfica, en esos tres intervalos nos damos 00:05:43
cuenta de que es una función periódica, y esa sería la gráfica de la función tangente, 00:05:48
veamos los ceros de esta función, ahí tenemos uno, ahí tenemos el otro, el primero en pi, 00:05:56
el segundo en cero, y en pi, por supuesto no podemos trazar, no podemos hablar de máximo 00:06:08
ni de mínimo para esta función, y una vez que la hemos trazado vamos a fijarnos en detalle 00:06:16
en qué ocurre cerca de los puntos pi medios y del punto tres pi medios, cerca de esos 00:06:24
dos puntos, por ejemplo, vamos a intentar ver lo que se llama hacer un límite, aunque 00:06:31
esto es una definición que sobrepasa un poco lo que es nivel de secundaria, simplemente 00:06:39
queremos tener un poquito de idea de lo que significa cuando nosotros nos vamos acercando 00:06:42
al valor de pi medios por la derecha, quiere decirse que vamos tomando números cada vez 00:06:47
más cerca de pi medios, pero de la derecha hacia la izquierda, es decir, por números 00:06:53
mayores que pi medios, y vamos a ir viendo que le va pasando a las imágenes de estos 00:06:59
puntos, para ello nos vamos a ayudar una tabla de valores, como esta, en la que en esta columna 00:07:05
vamos a ir trazando los valores de x que se acercan a pi medios por la derecha, vamos 00:07:10
a empezar por 1.580, otro más cercano 1.579, 1.578, así vemos que nos vamos acercando 00:07:15
cada vez más al valor de pi medios, empezando por 1.580, cada vez nos acercamos más, si 00:07:24
tenemos una calculadora podemos ver cuál es el valor exacto de pi medios, y a la vez 00:07:33
vamos calculando cuáles son las imágenes para estos puntos, cuáles son los valores 00:07:42
de la tangente para estos puntos, por ejemplo, para 1.580 la tangente es menos 108.65, después 00:07:46
menos 121, en fin, ahí vemos todos los valores, y vemos lo pequeños que son estos valores 00:07:53
en el sentido de que al ser negativos cada vez son más pequeños, son números negativos, 00:08:02
y si nos fijamos tan solo en el valor absoluto, es decir, si lo consideramos sin el signo 00:08:07
vemos que cada vez aumentan más, pero al tener números negativos lo que vemos es que sobre 00:08:12
el eje de la i cada vez están más abajo, más abajo, más abajo, son números que estarían 00:08:17
cada vez mucho más abajo, y mucho más abajo en el eje de la i, si ponemos este número 00:08:22
está todavía más cerca, más cerca de pi medios, ya coincide con él en muchos decimales, 00:08:27
y la tangente de este número es menos 272.241,81, claro, qué número, qué abajo está ya este 00:08:34
número, ¿de acuerdo? Bueno, a raíz de esto lo que nosotros podemos decir es que el valor 00:08:43
de este límite, es decir, cuanto más nos acercamos a pi medios por la derecha, los 00:08:49
valores de la tangente cada vez se acercan más a lo que llamamos menos infinito, menos 00:08:53
infinito no es un número, sino es una manera de indicar precisamente eso, que los valores 00:09:00
cada vez se hacen más pequeños. Si trazáramos la gráfica, lo que hemos hecho es prolongar 00:09:06
esa recta, que podemos ya decir que esa recta se las llama asíntotas, esta recta a la que 00:09:17
la función se acerca cada vez más pero que nunca las toca, se llaman asíntotas, y eso 00:09:23
es lo que ocurriría, ¿de acuerdo? Hemos visto como hemos prolongado la recta que pasa por 00:09:29
pi medios, esa recta vertical que pasa por pi medios, y hemos prolongado la gráfica 00:09:35
de la función poniendo una flecha para indicar que cada vez se acerca más la gráfica de 00:09:39
la función a la recta pero nunca la toca. Esto es digamos que la representación gráfica 00:09:43
de lo que significa lo que acabamos de hacer, de los cálculos que acabamos de hacer, ¿de 00:09:48
acuerdo? Bien, pues esto es lo que significa, que el límite cuando x tiende a pi medios 00:09:55
por la derecha de tangente de x sea menos infinito, gráficamente es igual que lo que 00:10:02
hemos pintado ahí. Vamos a borrar esto porque ahora pretendemos hacer lo mismo pero acercándonos 00:10:06
a 3 pi medios por la derecha y necesitamos el espacio que nos queda aquí abajo, vamos 00:10:13
a trazar esas líneas para hacernos un hueco, está muy apretada la pantalla, y vamos a 00:10:18
escribir en estos dos rectángulos, ahí escribimos lo mismo de antes pero en este caso nos acercamos 00:10:24
a 3 pi medios y nos acercamos por la izquierda, es decir, por valores más pequeños que pi 00:10:28
medios que cada vez se van acercando más a él, mientras que en el caso anterior nos 00:10:36
acercamos por valores cada vez más cerca de pi medios pero eran mayores. Vamos a hacer 00:10:40
igual que antes, los valores de la tangente, tenemos nuestra tabla de valores, igual, y 00:10:45
vamos a escribir aquí los valores que se acercan, los valores de x, del eje de las 00:10:50
x que se acercan a 3 pi medios por la izquierda, 4,700, 4,701, 702, 703, 704, así hasta llegar 00:10:55
a 709, y las tangentes correspondientes para estos valores, ahí las tenemos. Vemos como 00:11:07
cada vez son números más grandes, 80, 87, 96, hasta llegar a 295,07 para 4,709. Si ponemos 00:11:14
un número que está todavía mucho más cerca de 3 pi medios por la izquierda, ese, que 00:11:24
ya coincide en varios decimales, vemos como la tangente de ese número es 504,952,40, 00:11:29
un número muy grande, ¿qué es lo que ocurre aquí? Pues aquí lo que ocurre es que conforme 00:11:39
más nos acercamos a 3 pi medios por la izquierda, mayores son los valores de la tangente de 00:11:44
esos números, y entonces lo que se suele decir es que el límite de la función tangente 00:11:50
cuando x se acerca a 3 pi medios por la izquierda es más infinito, lo cual quiere decir eso, 00:11:57
que cada vez los números son más grandes. Si hacemos lo mismo de antes, prolongamos 00:12:02
esa línea, que ya hemos dicho que se llama asíntota, y prolongamos la función, la gráfica 00:12:07
de la función, pues justamente eso es gráficamente el significado que tiene esta tabla de valores, 00:12:13
de límite que acabamos de ver cuál es el valor de él, ¿verdad? Bien, pues con esto 00:12:20
terminamos con la representación gráfica de la función tangente y también terminamos 00:12:30
con esta serie de vídeos encaminados a aclarar todo lo que significa la trigonometría para 00:12:36
alumnos de secundaria, si bien ya decimos que vídeos como este pueden quedar un poco 00:12:44
más cercanos a un nivel de bachillerato. 00:12:49
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
1004
Fecha:
3 de diciembre de 2007 - 12:45
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
12′ 56″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
17.94 MBytes

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