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Gravitación - Velocidad orbital en trayectoria circular - Contenido educativo
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Argumentación física para la obtención de su expresión matemática.
Hola, en este vídeo vamos a trabajar el concepto de velocidad orbital
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para satélites en trayectoria circular, que es el tipo de trayectoria
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que más nos vamos a encontrar y además su tratamiento matemático es muy sencillo.
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Pues bien, esto es una trayectoria circular en la cual, como veis,
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su centro de giro está a una determinada distancia r pequeña.
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Si nosotros colocamos nuestra masa, que es la del satélite,
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que orbita en un punto cualquiera de la trayectoria, como ese que veis ahí,
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Y podemos definir un sistema de coordenadas local que va a ir rotando con él muy interesante y es este.
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Si os fijáis, la velocidad lineal, que es tangente a la trayectoria circular siempre,
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va a estar en todo momento alineado con este sistema de coordenadas naranjita que va a ir rotando con él.
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¿Qué tiene de bueno? Que se pueden ver muy rápidamente las componentes tangente y perpendicular a la trayectoria.
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el caso es que nosotros nos podemos preguntar por qué esta partícula o cuerpo satélite de masa m
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no sigue por la tangente en una trayectoria rectilínea
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y sabemos que en un movimiento circular esto es porque existe una fuerza llamada centripeta central o normal
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que es justamente perpendicular como veis al vector velocidad
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y que se encarga solamente de modificar su dirección y como no tiene componente tangente no se encarga de modificar el módulo, simplemente curva la trayectoria.
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Pues bien, la expresión matemática para esta fuerza es la masa por la aceleración centrípeta y como la aceleración centrípeta se puede demostrar que es la velocidad lineal al cuadrado entre r,
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tenemos que la fuerza centrípeta no es más que m por v al cuadrado entre r.
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¿De acuerdo? Si lo que debemos ver en forma vectorial, no solamente el módulo, y ahora que sabemos cosas de gravitación y coordenadas radiales, si os fijáis, justamente en esta elección en la cual uno de los ejes es el radial, va a permitirnos decir que la fuerza centrípeta no es más que este módulo del que hablábamos en la dirección radial, pero como está en el sentido contrario a u sub r, hay que añadirle este signo menos.
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sin embargo al fin y al cabo uno dirá ya pero esto no deja de ser una masa m pequeña orbitando alrededor de una masa m grande
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y nosotros sabemos que entre estas dos masas hay una fuerza que es por ejemplo en la masa m pequeña una fuerza gravitatoria
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por ejemplo así que está creada por la acción de la masa grande sobre la masa pequeña
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si nos interesa su expresión matemática como bien sabéis tenemos que es el producto de g por la
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masa grande por la masa pequeña entre real cuadrado en la dirección radial y en sentido contrario es
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decir que es una fuerza atractiva que significa esto que al fin y al cabo quien está jugando aquí
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el papel de fuerza centrípeta no es más que la fuerza gravitatoria de interacción entre m pequeña
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y M grande. Y esto es muy interesante porque nos va a permitir ver alguna cosilla. Por ejemplo, vamos a hacer ahora zoom en esta zona, ¿de acuerdo?
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Vamos a hacer ahí un buen zoom que nos permita ver la zona. Entonces, fijaos lo siguiente. Nosotros hemos dicho que la fuerza centrípeta va a ser ahora
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realizada por la fuerza gravitatoria y eso implica que el término que tenemos aquí
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tiene que ser igual al que tenemos aquí, porque como veis ambos comparten el signo menos
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y ambos comparten la coordenada radial. Para que sean completamente iguales
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se tiene que cumplir además que estas dos cosas en los globitos sean las mismas.
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Así que nada, vamos a escribirlas.
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Por un lado tenemos la fuerza centrípeta, que en módulo decimos que tiene que ser igual a la fuerza gravitatoria.
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Pero la fuerza centrípeta tenemos ahí escrito que es el producto de m por v al cuadrado dividido entre r.
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Mientras que en el otro lado tenemos que la fuerza gravitatoria es la constante de gravitación universal por la m grande por la m pequeña entre r al cuadrado.
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Claro, esta igualdad se puede masajear, por ejemplo, dividiendo toda la ecuación entre m pequeña, por ejemplo, multiplicando toda la ecuación por r pequeña,
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viéndose aquí al cuadrado, y permitiéndonos encontrar una relación entre la velocidad, la masa del objeto alrededor del que se orbita, y el radio de giro.
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Esto nos dice que v al cuadrado es igual a g por m entre r
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Pero como lo que nos interesa es v, es decir, el módulo de esta velocidad lineal dibujada aquí en azul
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Esta si os dais cuenta va a ser justamente la velocidad orbital, la velocidad con la que se orbita
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Y dado que es un módulo nos interesa solamente tomar el valor positivo de esta raíz cuadrada
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que es g por m entre r esta es la expresión matemática para esta velocidad orbital del satélite m pequeño
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y si os dais cuenta hay cosas interesantes por ejemplo solamente depende de la masa del objeto
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alrededor del cual orbitas y del radio de giro es más uno podría decir que incluso para una
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determinada velocidad conocida la masa alrededor de quien orbitas automáticamente te dice cuál es
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el radio de giro. Muy bien, pues hasta aquí hemos llegado con este concepto. Obviamente se pueden
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realizar modificaciones como qué ocurriría si esta masa se duplica o si este radio se vuelve el doble
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o la mitad o un tercio, etcétera. Pero la expresión matemática para cualquier masa y cualquier radio
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alrededor del cual se orbite es la que tenéis ahí presentada. Chao.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Sergio Montero Modino
- Subido por:
- Sergio M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 110
- Fecha:
- 25 de octubre de 2020 - 0:22
- Visibilidad:
- Público
- Duración:
- 06′ 20″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 26.81 MBytes