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Ejemplo de factorización de un polinomio con raíces irracionales - Contenido educativo

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Subido el 7 de marzo de 2021 por Andrés B.

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Ejemplo de factorización de un polinomio cuyas raíces son números irracionales.

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Bueno, vamos a ver un ejemplo más de factorización de polinomio en el que ocurre también una cosa curiosa que quería comentaros. 00:00:03
No es que sea complicado, ¿vale? Pero por si os lo contáis, pues que no os asustéis. 00:00:12
Entonces, en este polinomio, bueno, en este ejercicio nos piden factorizar el polinomio y calcular las soluciones de la ecuación de tercer grado, que sería igual a la del polinomio a cero, ¿vale? 00:00:18
¿Vale? Entonces, ¿qué raíces racionales tendría este polinomio? Pues tendría, como 00:00:28
tiene término independiente 2 y no tiene coeficiente principal, el coeficiente principal 00:00:38
es 1, pues las raíces serían más menos 1 y más menos 2. Esas son las posibles raíces 00:00:44
racionales del polinomio, según el teorema de las raíces racionales. Entonces, nada, 00:00:50
Yo escribo aquí mis coeficientes, serían 1, menos 1, menos 2 y 2, ¿vale? Los coeficientes del polinomio S. 00:00:54
Vamos a probar primero a ver si se puede dividir entre x menos 1, es decir, vamos a probar con la raíz x igual a 1. 00:01:04
Entonces bajo el 1, 1 por 1, 1, menos 1 más 1, 0, 0 por 1, 0, menos 2 más 0, menos 2, menos 2 por 1, menos 2 y 2 menos 2, 0. 00:01:10
Bueno, en la primera hemos sacado una de las raíces del polinomio, ¿vale? 00:01:21
Entonces ya sabemos que x igual a 1 es una raíz del polinomio, es decir, que si aquí pongo x igual a 1, 00:01:28
este polinomio va a dar 0, por lo tanto va a ser una solución de esta ecuación. 00:01:35
1 menos 1 son 0, menos 2, menos 2, más 2, 0, ¿vale? 00:01:41
Efectivamente se cumple. Luego esta es una raíz y por lo tanto puedo escribir la factorización del polinomio de esta manera. 00:01:48
Puedo escribir que x al cubo menos x al cuadrado menos 2x más 2 es x menos 1, ¿vale? 00:01:54
Si aquí hay más 1, aquí hay menos 1, por estos coeficientes que tendríamos el polinomio x cuadrado menos 2, ¿vale? 00:02:05
Bien, ¿qué nos queda por hacer? 00:02:14
Nos quedaría por resolver la ecuación de segundo grado 00:02:18
x cuadrado menos 2 es igual a 0 00:02:24
De esta manera puedo factorizar este polinomio sin tener que hacer Ruffini 00:02:26
Y de hecho, es que como intento hacerlo por Ruffini, no voy a sacar nada 00:02:30
Ahora veréis por qué 00:02:35
Me explico 00:02:37
Vamos a ver 00:02:38
Lo que digo es que lo que nos queda son las soluciones de esta ecuación 00:02:39
x cuadrado menos 2 es igual a 0 00:02:42
¿Vale? Esta ecuación se puede resolver sin la fórmula de segundo grado porque no tiene b vale cero, ¿vale? Entonces no hace falta usar la fórmula, directamente podemos despejar x cuadrado, movemos el 2 al otro lado, x cuadrado es 2 y nos damos cuenta de que x es raíz cuadrada de 2, ¿vale? 00:02:44
Que tiene dos soluciones, más raíz cuadrada de 2 y menos raíz cuadrada de 2, pero, estáis viendo, diréis, anda, pero esto no nos ha salido aquí, claro, no nos ha salido aquí arriba, pero ¿por qué no nos ha salido aquí arriba? 00:03:07
porque estas raíces 00:03:24
son las racionales 00:03:26
puede tener raíces irracionales 00:03:29
también 00:03:31
y esta raíz que nos ha salido es irracional 00:03:31
vale 00:03:34
entonces esto os lo cuento 00:03:35
pues para que veáis que 00:03:38
los teoremas que os he dado pues tienen sus limitaciones 00:03:41
el teorema de las raíces racionales 00:03:43
como siempre me indica 00:03:45
nos da las posibles raíces 00:03:46
racionales que tiene el polinomio 00:03:48
nos dice que estos valores son posibles raíces racionales 00:03:50
entonces, dos cosas 00:03:53
por un lado, no nos dice que tengan que ser obligatoriamente todas 00:03:56
ya he visto que solamente la única que es, es esta 00:03:59
y tampoco nos dice que no pueda tener raíces 00:04:02
que no sean racionales, pero las que son racionales tienen que tener 00:04:05
esta forma, o son 1 o menos 1 o 2 o menos 2 00:04:08
pero las racionales, ¿vale? no quiere decir 00:04:11
que no haya raíces que no sean racionales, aquí la hay 00:04:14
hemos encontrado una que no es racional, así que ahí lo podemos 00:04:17
comprobar, si resolvéis esta 00:04:20
Ahora si introducís aquí el valor raíz de 2, vamos a hacerlo, lo que pasa es que se tardará un poquito, pero vamos a hacerlo, vamos a meterlo aquí para que veáis que esto se cumple, 00:04:22
Entonces voy a poner aquí raíz de 2 al cubo menos raíz de 2 al cuadrado menos 2 raíces de 2 más 2 raíz de 2 al cubo, vamos a dejarlo como 2 elevado a 3 medios, ¿vale? 00:04:37
menos, raíz de 2 al cuadrado sería menos 2, menos 2 por 2 elevado a 1 medio, ¿vale? 00:04:59
más 2, si nos fijamos, 2 elevado a 3 medios, recordando lo que hemos visto en el tema de radicales 00:05:08
2 elevado a 3 medios, os recuerdo que es 2 elevado a 1 medio por 2 elevado a 2 medios 00:05:17
y 2 elevado a 2 medios es 2 elevado a 1, es decir, es 2, ¿vale? 00:05:25
con lo cual directamente voy a poner por 2, menos 2, menos 2, por 2 elevado a 1 medio, más 2, mirad, este menos 2 y este más 2 se van, 00:05:29
y 2 raíces de 2, que es lo que tengo aquí, y 2 raíces de 2 es lo mismo también, pero con el negativo y positivo pues también se van, 00:05:45
Entonces, conclusión, me da cero. Luego, efectivamente, son raíces. Lo que pasa es que no son racionales. Lo demás no hay ningún problema. Y si x igual a raíz de 2 es la raíz del polinomio, pues entonces los factores del polinomio van a ser x menos raíz de 2 y x más raíz de 2. 00:05:52
vale, ojo 00:06:19
pongo más y menos porque estos son dos soluciones 00:06:23
eh, os lo recuerdo 00:06:25
las raíces cuadradas tienen dos soluciones, por eso hay que poner 00:06:27
las dos, vale 00:06:29
entonces en consecuencia 00:06:31
pues nada, lo que nos queda, ya veis que 00:06:33
el problema no es que sea más complicado 00:06:35
ni nada, sencillamente es que 00:06:37
sorprende encontrarse esto, pero por lo demás 00:06:38
pues nada, la solución 00:06:41
sería x cuadrado, x cubo 00:06:43
menos x cuadrado menos 2x más 2 00:06:45
es igual a x menos 1, que este 00:06:47
sí que lo hemos sacado por Ruffini, no ha habido ningún problema, por, y ahora este 00:06:49
de aquí factorizado sería así, x menos raíz de 2 por x más raíz de 2. Entonces 00:06:53
ya estaría la solución y las raíces de este polinomio, es decir, ¿cuándo este polinomio 00:07:01
da cero? x cubo menos x cuadrado menos 2x más 2 es igual a cero, si y solo si, x igual 00:07:08
a la 1, que es la primera que hemos sacado, que la hemos sacado por Ruffini, y x igual 00:07:18
a más menos raíz de 2, que serían las otras dos raíces que hemos sacado por el método 00:07:21
de resolver la ecuación de segunda edad. Así que la solución de este ejercicio sería 00:07:29
esto, ¿vale? Respondemos a las dos preguntas que nos piden, que es resolver la ecuación, 00:07:34
que es esta de abajo, y factorizar el problema, que es esta de arriba. Entonces ya digo, lo 00:07:40
lo único que tenía de especial esto es que veáis que pueden salir salidos raíces irracionales 00:07:45
nunca mejor dicho lo de raíces ya lo veis que la palabra raíz os he dicho que matemática 00:07:53
es una palabra polisémica pero que en el fondo la palabra raíz viene de algún sitio 00:07:58
y entonces que veáis que tiene que ver en el fondo tiene que ver que se llaman raíces 00:08:02
porque salen una raíz y nada esto es lo que os quería contar 00:08:07
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Andrés Benito Platón
Subido por:
Andrés B.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
316
Fecha:
7 de marzo de 2021 - 17:24
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
08′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1092x614 píxeles
Tamaño:
37.60 MBytes

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