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AR1. 1.3 Números racionales - Contenido educativo

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Subido el 21 de agosto de 2025 por Raúl C.

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En esta videoclase continuamos con el siguiente conjunto, el conjunto de los números racionales. 00:00:14
Los números racionales, como podemos leer, son aquellos que se pueden expresar en forma de fracción. 00:00:19
Y la clave está en que esto va a ser el cociente de dos números enteros y el denominador debe ser distinto de cero. 00:00:24
Nosotros no podemos definir un número en el cual el denominador sea cero, puesto que lo que estamos expresando en forma de fracción es una división 00:00:31
y nosotros no podemos dividir entre cero, las divisiones entre cero no están definidas. 00:00:40
Teniendo en cuenta esto, que las fracciones en el fondo lo que están haciendo es representar divisiones, 00:00:46
podemos tener en mente que todas las fracciones van a tener una expresión decimal equivalente, 00:00:53
que va a ser aquel número decimal que se obtenga como cociente efectuando la división. 00:00:59
Nosotros sabemos, puesto que lo hemos estudiado ya en primaria, que el resultado de la división de dos números enteros puede ser exacta, 00:01:05
cuando contiene un número finito de decimales, y aquí tenemos el ejemplo 8 quintos, que es igual a 1,6. 00:01:13
Puede ser periódica pura, cuando la parte decimal va a estar formada por una secuencia infinita de decimales, 00:01:19
pero que va a estar formada por un grupo de números que se va a repetir infinitamente, a este grupo se llama periodo, 00:01:26
Periódico apura quiere decir que el periodo comienza inmediatamente después de la coma que separa los decimales, coma o punto. 00:01:35
Y en este caso podemos ver como el número un séptimo se puede expresar como 1,142857 y este 142857 que se repite indefinidamente. 00:01:45
Podemos representarlo con un arco. 00:01:56
Mi editor de texto no me ha dejado poner un arco y por eso he puesto esta especie de ángulo, pero debería ser un arco. 00:01:58
O bien, teníamos expresiones decimales exactas, periódica pura. 00:02:06
Nos faltan expresiones que sean periódicas mixtas. 00:02:10
También hay una secuencia infinita de decimales. 00:02:14
También hay un grupo que se va a repetir indefinidamente, infinitamente, que se va a llamar periodo igualmente. 00:02:19
pero en el caso de los números periódicos mixtos, el periodo no comienza inmediatamente después de la coma, 00:02:25
que separa la parte entera de la parte decimal, sino que hay un anteperiodo, una pequeña parte, 00:02:30
pequeña, no tan pequeña, inmediatamente antes de la parte periódica, a continuación de la coma decimal. 00:02:37
Por ejemplo, aquí tenemos el número 1 sesentaavo, cuya expresión decimal es 1,0166666. 00:02:44
6 vemos como el 6 es el periodo puesto que se repiten 00:02:51
indefinidamente y este 0 y este 1 a la derecha de la coma decimal 00:02:55
inmediatamente antes del periodo sería el anteperiodo. Aquí tenemos 1, 00:02:59
0, 1 y únicamente el 6 estaría debajo de un arco 00:03:03
indicando que esa parte se repite indefinidamente. Una vez más 00:03:07
no tengo arcos en el editor de textos y por eso he utilizado 00:03:11
este acento, acento circunflejón, que debería ser un arco. 00:03:16
Así pues, como podemos ver, los números racionales, insisto, es el conjunto de todas las fracciones que se expresan como el cociente de dos números enteros, el denominador distinto de cero, 00:03:20
equivale al conjunto de todos los números decimales que o bien tiene un número finito de decimales o bien tiene un número infinito de decimales en los que hay una parte que tiene que ser periódica, que se repite indefinidamente. 00:03:34
bien inmediatamente a partir de la coma, o bien dejando una pequeña carencia, una parte que se llama anteperiodo, y a continuación comienza la parte periodo. 00:03:49
Nosotros sabemos que las fracciones así definidas no son únicas en el sentido en el que distintas fracciones pueden no tener distinta expresión decimal, sino la misma. 00:04:01
Por ejemplo, la fracción 1 medio y la fracción 2 cuartos, ambas tienen la misma expresión decimal equivalente, 0,5. 00:04:12
Y entonces, si nosotros pensamos en los números racionales a partir de los números decimales, 00:04:22
1 medio y 2 cuartos, que tienen la misma expresión decimal, no deberían corresponder a distintos números racionales. 00:04:28
Así pues, si nosotros queremos utilizar la definición de números racionales con las fracciones, 00:04:36
debemos buscar algo que nos permita decir que un medio y dos cuartos en el 00:04:40
fondo representan el mismo número racional. Y esa herramienta es la 00:04:46
equivalencia de fracciones. Dos fracciones, como veis aquí, se dicen 00:04:50
equivalentes cuando sus expresiones decimales son las mismas. 00:04:55
¿Cómo podemos saber si dos expresiones en forma de fracción son equivalentes? 00:05:00
Hay distintas alternativas. Si al multiplicar el numerador y el denominador de una de ellas por un mismo número entero, distinto de cero, se obtiene la segunda, entonces estas dos fracciones son equivalentes. 00:05:05
Esa es la definición que tengo aquí, escrita en forma algebraica. 00:05:20
O bien el producto cruzado, es al multiplicar el numerador de una por el denominador de la otra, se obtiene el mismo valor. 00:05:25
Que al multiplicar el denominador por el numerador, cambiando las fracciones, en ese caso también las fracciones son equivalentes. 00:05:32
Teniendo en cuenta esta relación de equivalencia, insisto, un medio, dos cuartos, son fracciones equivalentes, 00:05:40
puesto que tienen la misma expresión decimal, 0,5, nosotros lo que vamos a hacer es elegir una de esas fracciones equivalentes 00:05:46
para que sea representante de todas las demás, todas aquellas que tienen en este caso como expresión decimal 0,5. 00:05:54
Ese representante se llama representante canónico y se va a elegir aquella fracción que sea la más sencilla posible, 00:06:01
aquella que tenga numerador y denominador más pequeños. Así que lo que vamos a hacer es definir 00:06:09
el conjunto de los números racionales, lo vamos a representar con la letra mayúscula Q, como el 00:06:15
cociente de números enteros con denominador, por supuesto, distinto de 0, que sean coprimos. Y esto 00:06:21
quiere decir que no tengan divisores comunes, de tal forma que 2 cuartos no es el representante 00:06:28
canónico de 0,5, puesto que el 2 del numerador y el 4 del denominador tienen un divisor común, 00:06:35
que es el número 2. Tendríamos que simplificar esa fracción. Al numerador 2 lo dividimos entre 2, 00:06:41
el 4 también lo dividimos entre 2 y nos quedaríamos con quien sí es el representante 00:06:47
canónico un medio. 1 partido por 2 tiene un numerador y un denominador más sencillos que 00:06:51
2 partido por 4 y cumplen con esta definición que tenemos aquí. El conjunto de los números 00:06:57
racionales, también tiene un cardenal infinito numerable, alef cero. Nosotros podríamos buscar 00:07:03
una forma de establecer una correspondencia biunívoca entre los números racionales y los 00:07:10
números naturales, utilizando números ordinales. Nosotros podemos ordenar como una primera, segunda, 00:07:17
tercera, cuarta fracción, todas las fracciones contenidas dentro del conjunto de los números 00:07:23
racionales. Al igual que nosotros en los números enteros distinguíamos números 00:07:28
enteros positivos y negativos, vamos a distinguir números racionales positivos 00:07:33
y negativos. Los números racionales positivos habitualmente los 00:07:38
representaremos con un símbolo más por delante o bien ningún símbolo y los 00:07:42
números racionales negativos habitualmente los representaremos con un 00:07:47
signo menos por delante. Algo importante, ese signo menos se pondrá bien delante 00:07:50
de la fracción en el centro, a la altura de la línea que divide numerador y denominador, o bien 00:07:57
se pondrá en el numerador y nosotros escribiremos un numerador que sea un número entero negativo y 00:08:03
un denominador que sea un número entero positivo. No escribiremos habitualmente el signo menos en 00:08:09
el denominador. No es que sea incorrecto, pero es algo que no se hace. En el caso de los números 00:08:14
racionales positivos, por cierto, nosotros formaremos estos números utilizando números enteros que tengan 00:08:21
el mismo signo. Lo más habitual es escribir un número en el numerador y en el denominador que sean ambos 00:08:28
positivos, pero si hubiéramos puesto, por ejemplo, menos uno dividido entre menos dos, también 00:08:34
obtendríamos un número positivo. Nosotros tendremos en mente que esos dos signos menos se van a cancelar 00:08:40
y escribiremos un signo más o bien no escribiremos nada, pero en la definición eso estaría incluido. 00:08:47
En el caso de los números racionales incluyen los números enteros y los números enteros van a ser 00:08:55
aquellas fracciones que tengan como denominador el número 1, el número más 1. Un concepto importante 00:09:01
es que los números racionales son densos y eso quiere decir que entre cualesquiera dos números 00:09:07
racionales nos podemos encontrar con infinitos números racionales a su vez. El conjunto de los 00:09:12
números racionales está ordenado, al igual que lo están los números enteros, al igual que lo están 00:09:18
los números naturales, y es más sencillo ordenarlos teniendo en cuenta la expresión decimal. 00:09:23
¿Para qué se utilizan los números racionales o bien por qué aparecen los números racionales en 00:09:31
la historia de la humanidad? Bueno, pues permite realizar repartos en los que los resultados no 00:09:35
son valores enteros y, como podéis ver, también dan respuesta al problema de la medida. Vamos a 00:09:40
representar magnitudes por números y queremos utilizar una cierta unidad, por ejemplo, de 00:09:46
distancia para medir la distancia entre dos puntos y nos encontramos con que no hay un número natural 00:09:52
dos, tres, cuatro veces que podamos utilizar exactamente esa unidad de distancia para 00:10:01
representarla. Entonces tenemos que utilizar fracciones. En el aula virtual de la asignatura 00:10:06
tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes 00:10:15
bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase 00:10:22
o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:10:27
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
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Fecha:
21 de agosto de 2025 - 18:33
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
10′ 58″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
27.82 MBytes

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