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Matrices 3 - Producto de matrices (primera parte) - Contenido educativo

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Subido el 11 de julio de 2018 por Manuel D.

574 visualizaciones

Vídeo que motiva la definición de producto de matrices. Para su uso en las asignaturas de Matemáticas de 2º de Bachillerato.

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo al curso de Matemáticas II de segundo de bachillerato 00:00:02
al tema de matrices. Después de los vídeos anteriores en los que explicamos las matrices 00:00:12
elementales y las operaciones más sencillas, suma, resta y multiplicación por escalares, 00:00:19
en este vídeo vamos a introducir una operación fundamental entre las matrices, el producto 00:00:25
de matrices. Como veremos, su definición formal es un tanto extraña y por ello parece 00:00:30
necesario introducirla con un ejemplo que la motive. Comencemos. 00:00:38
Supongamos que tenemos una serie de rutas aéreas de vuelos entre tres ciudades de salida 00:00:45
ABC y dos ciudades de llegada 1 y 2. Las de la izquierda pintadas de azul, las de la derecha 00:00:51
de verde. Pues esa disposición, ese gráfico, se suele llamar grafo en matemáticas, la 00:00:57
información de los vuelos se representa muy bien en forma de tabla, que sería una matriz 00:01:04
en la que tenemos tres filas, una por cada una de las ciudades de salida y dos columnas 00:01:09
por cada una de las ciudades de llegada. Si nosotros tuviésemos que hacer escala en las 00:01:14
ciudades verdes y tuviésemos que ir de las ciudades azules a unas nuevas 00:01:22
ciudades rojas, en este caso tenemos cuatro ciudades de destino, pues 00:01:26
tendríamos, ahí tenéis en el gráfico, pues una serie de vuelos posibles entre 00:01:30
cada una de las ciudades. En este caso nosotros vamos a tener dos matrices, una 00:01:35
para los posibles primeros vuelos y otra para los posibles 00:01:39
segundos vuelos después de hacer escala. De manera que imaginémonos que yo 00:01:45
quiero salir de la ciudad B, en azul, pasando por una de las dos verdes, haciendo escala 00:01:51
en ellas y llegando a la ciudad roja número 3. Entonces, ¿qué posibilidades yo tengo? 00:01:56
Bueno, pues evidentemente, si yo parto de la información recogida en las dos matrices 00:02:03
anteriores, yo me tendré que fijar en esos dos, en esa fila y esa columna que quedan 00:02:08
resaltadas de rojo. Lo que yo tendré que hacer, pues es la siguiente operación. 4 00:02:15
4x4, 16 vuelos pasando por la ciudad verde número 1, más 1x2, 2 vuelos pasando, haciendo escala en la ciudad 2, 00:02:20
la ciudad de abajo verde 2. En el fondo lo que yo he hecho es multiplicar el producto escalar de esos dos vectores 00:02:29
4x1 por 4x2 y me da 18. Si yo cogiese todas las posibles combinaciones de ciudades azules y ciudades rojas 00:02:35
haciendo escala en las ciudades verdes, pues yo tendría al final una matriz de 3 filas y 4 columnas, 3 por 4, 12 posibles rutas. 00:02:45
Total, pues que en este caso, para salir de la B y llegar a la 3, tendremos 18 posibilidades como habíamos contado anteriormente. 00:02:57
Y este sería el producto. ¿Cómo vamos a definir en general el producto de matrices? 00:03:05
Lo primero y más importante es que no siempre se pueden multiplicar matrices. 00:03:10
tienen que tener una dimensión muy determinada. 00:03:14
Lo importante, la clave es que el número de columnas de la matriz de la izquierda, la matriz A, 00:03:18
tiene que coincidir con el número de filas de la matriz B, de la matriz de la derecha. 00:03:25
Es decir, que los subíndices interiores tienen que coincidir 00:03:29
y el resultado va a ser una matriz que tiene n filas, el número de filas de la matriz de la izquierda, 00:03:33
y p columnas, el número de columnas de la matriz de la derecha. 00:03:38
La definición de cada una de las entradas de la matriz resultante, es decir, C sub ij, se realiza mediante esa fórmula 00:03:42
que no es más que multiplicar una fila, la fila i de la matriz de la izquierda por la columna j de la matriz de la derecha 00:03:52
es decir, fijamos i, ij y lo que hacemos es variar el subíndice interior y eso se puede esquematizar mediante la siguiente fórmula 00:04:01
que es un sumatorio en el que, como decíamos, el subíndice interior K varía desde 1 hasta m, 00:04:11
que es la dimensión que coincide de las dos matrices, el número de columnas de A y el número de filas de B. 00:04:18
En el ejemplo anterior, vamos a desarrollar el ejemplo entero, lo que conviene cuando tengamos que multiplicar matrices es hacerlo por el siguiente orden. 00:04:26
Fijamos la primera fila y multiplicamos por la primera columna. 3 por 3 más 2 por 1, 11. Y escribimos el elemento 1, 1 así. Lo que avanzamos ahora es en las columnas, así que en la matriz de la derecha avanzamos columna y multiplicaríamos 3 por 0 más 2 por 2, 4. 00:04:35
avanzamos 3 por 4 más 2 por 2 16 y por último 3 por 0 más 2 por 5 10 00:04:54
y ahora hemos acabado la primera fila del producto pasamos a la segunda 00:05:01
es decir pasamos de la fila 3 2 a la fila 4 1 y multiplicamos por todas las columnas de la derecha 00:05:06
obteniendo el resultado que veis ahí marcado 00:05:13
haríamos lo siguiente con la última fila y completaríamos así el producto de matrices 00:05:16
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
574
Fecha:
11 de julio de 2018 - 9:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
05′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
33.11 MBytes

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