Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Demostración sen(a+b) y cos(a+b) - Contenido educativo

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 29 de noviembre de 2022 por Jose Maria P.

43 visualizaciones

Bueno, buenos días chicos. Esto me recuerda un poco al tema de la pandemia que tenía que hacer en muchos vídeos de estos. 00:00:00

Como comenté en clase, esta demostración no la voy a pedir en el examen, pero dado que es la única fórmula que os he obligado a que os aprendáis, 00:00:07

las demás demostraciones son relativamente sencillas. 00:00:16

Pues vamos a ver con este dibujito cómo se demuestra que el seno de alfa más beta es el seno de alfa por el coseno de beta más el seno de beta por el coseno de alfa 00:00:20

y que el coseno de alfa más beta es el coseno de alfa por el coseno de beta menos el seno de alfa por el seno de beta. 00:00:31

Empezamos representando. Aquí tenéis nuestra referencia, nuestro origen, el ángulo alfa que llega hasta aquí. 00:00:38

Y tenemos en rojo, en discontinua veis la circunferencia agonométrica, en rojo tendréis la medida del seno, aquí la estoy marcando, 00:00:48

y en verde la medida del coseno, seno de alfa y coseno de alfa. 00:00:57

Beta lo colocamos a continuación de alfa, de tal forma que en este punto que marco aquí no tendré beta, sino que tendré alfa más beta. 00:01:02

Y lo que hacemos en este punto es dimensionar el seno y el coseno de beta, que tenemos aquí el triángulo, 00:01:13

en azul apoyado sobre la hipotenusa tendré el coseno, el coseno de beta, y en amarillo o naranja el seno de beta. 00:01:25

Ya tenemos las cuatro dimensiones que nos tienen que servir para escribir la fórmula del seno de alfa más beta y la fórmula del coseno de alfa más beta. 00:01:36

¿El truco cuál es? Pues dibujar dos triángulos que tienen esta referencia común. 00:01:44

El primero es este que marco aquí y que tiene como ángulo referencia alfa. 00:01:50

Y el segundo, este triángulo también tiene en este ángulo agudo es alfa y la explicación es la siguiente. 00:01:59

¿Veis? Aquí tengo alfa. Aquí justo tendré 90 menos alfa. 00:02:07

Formo un triángulo rectángulo y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. 00:02:13

Al ser este y este dos ángulos unidos, dos ángulos que son intersección de dos rectas que se cortan, opuestos por el vértice que se llaman, son iguales. 00:02:22

Es decir, este será 90 menos alfa. Y si este es 90 menos alfa, aquí tengo un triángulo rectángulo que dice que si este ángulo de aquí abajo es 90 menos alfa, 00:02:33

este de aquí arriba tiene que ser alfa. De tal forma que tengo dos triángulos que salen marcados en la figura. 00:02:46

Los dos con un ángulo agudo en el que tengo alfa. 00:02:53

¿Y qué es lo que ocurre con esas medidas? Que yo puedo determinarlas a ciencia cierta y expresar. 00:02:58

Fijaos. Esta es mi referencia para el seno de alfa más beta y para el coseno de alfa más beta. 00:03:05

De tal forma que la coordenada de este punto, que voy a recorrer ahora, será el seno de alfa más beta. 00:03:11

Que estará formada por esta dimensión de aquí, que será el cateto contiguo en el triángulo de arriba, 00:03:17

y esta dimensión de aquí, que será el cateto opuesto en el triángulo de abajo. 00:03:25

De tal forma que sacando el cateto contiguo del triángulo de arriba con alfa y el cateto opuesto del triángulo de abajo también con alfa, 00:03:33

y sumándolos tendré el seno de alfa más beta. Ahora vamos a eso. 00:03:41

Y para el coseno, recuerdo mi referencia, el coseno de alfa más beta será esta distancia que recorro aquí. 00:03:46

Que en este caso es una resta del cateto contiguo del triángulo de abajo menos el cateto opuesto del triángulo de arriba. 00:03:56

Lo difícil en este ejercicio es ubicar los dos triángulos. 00:04:10

Una vez que tengo ubicados los dos triángulos, calculando este cateto, este, este cateto, que es el mismo que este, y este cateto, 00:04:14

ya tengo todo lo que necesito para escribir el seno de la suma y el coseno de la suma en función del seno de alfa, el coseno de alfa, el seno de beta y el coseno de beta. 00:04:25

Vamos primero con el seno. Necesitamos esta medida, que será cateto contiguo partido por hipotenusa. 00:04:39

Es decir, coseno de alfa será igual a esta medida partido por el seno de beta. 00:04:48

Si hacéis el despeje, coseno de alfa igual a esto de aquí partido por seno de beta, y este de aquí lo dejáis en el lado derecho. 00:04:56

El despeje es muy sencillo, lo podéis hacer vosotros. Tendréis que esta medida de aquí será el seno de beta por el coseno de alfa. 00:05:04

Y lo mismo con esta de aquí, para completar la suma del seno de alfa más beta. 00:05:12

Esta medida es el cateto opuesto de alfa. Es decir, tenemos que usar el seno de alfa. 00:05:18

Seno de alfa será igual a esta medida partido por la hipotenusa, que es el coseno de beta, que tenéis en azul. 00:05:24

De tal forma que esta medida de aquí será como tenéis aquí, seno de alfa, coseno de beta. 00:05:32

Seno de alfa, coseno de beta, seno de beta, coseno de alfa, las dos sumadas. Aquí tenéis justo donde confluyen las dos. 00:05:37

Las dos sumadas darán el seno de alfa más beta. 00:05:45

Y lo mismo ocurre con el coseno de alfa más beta. Lo que pasa es que aquí lo que tenemos que calcular es una resta. 00:05:48

¿Veis? Esta medida de aquí será la grande, que llega hasta aquí, menos la pequeña. 00:05:55

¿Vale? Para la grande, fijaros, triángulo de abajo, y esta vez tenemos que coger el coseno. 00:06:02

Cateto contiguo con alfa. 00:06:09

Coseno de alfa será igual a esta medida partido por la hipotenusa, que vuelve a ser el coseno de beta. 00:06:12

De tal forma que esta medida de aquí, si hacéis el despeje, lo podéis hacer en un papel, queda coseno de alfa por coseno de beta. 00:06:18

Tal como tenéis aquí. ¿De acuerdo? Esta medida, coseno de alfa por coseno de beta. 00:06:25

Y para el caso este de aquí abajo, solo este trocito, no el total, este trocito, ¿vale? 00:06:30

No puedo recurrir al triángulo de abajo, tengo que recurrir al de arriba. 00:06:38

Y el de arriba, en este caso, al cateto opuesto enfrentado a alfa. 00:06:41

Es decir, seno de alfa será esta medida partido por la hipotenusa, que vuelve a ser el seno de beta. 00:06:46

De tal forma que esta medida de aquí será seno de alfa por seno de beta. 00:06:53

Si al total, que era esta medida de aquí, coseno de alfa por coseno de beta, le restáis seno de alfa por seno de beta, que lo tengo aquí, 00:06:57

y también lo tendré aquí abajo, obtengo justamente que el coseno de alfa menos beta es el coseno de alfa por coseno de beta menos el seno de alfa por el seno de beta. 00:07:05

Ya digo, era una demostración un poquito complicada de hacer en clase, no os la voy a pedir en ningún caso en el examen, 00:07:18

pero que sepáis que las dos fórmulas que os he obligado a aprenderos, que no os queda más remedio que aprenderos, 00:07:24

tienen su razón de ser en cuanto a geometría. 00:07:30

Espero que más o menos se haya quedado claro y que podáis usar esto en un futuro cuando necesitéis hacer demostraciones un poquito más complejas. 00:07:35

Nos vemos en clase. 00:07:44